1、5.1.2 5.1.2 导数的概念及导数的概念及其几何意义其几何意义复习回顾复习回顾1.导数（瞬时变化率）定义：如果如果当当 无限趋近于无限趋近于 0 时，平均变化率时，平均变化率 无限趋近于一个确定的无限趋近于一个确定的值，值，即即 有极有极限限，则，则称称_，并把这个确定的值叫做并把这个确定的值叫做_(也称为也称为_),记作记作_或或_.用用极限符号极限符号表示这个定义，就是表示这个定义，就是_ xyxyx0()fx0|x xy00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx y f(x)在在x x0处处可导瞬时变化率 yf(x)在在xx0处的处的导数第一步，写出 并化简；
2、00()()f xxf xyxx00()lim.xyfxx 第二步，求极限 ，若 存在，则0limxyx 0limxyx 2.求函数 yf(x)在 xx0 处导数的步骤探究新知探究新知思考：思考：观察函数 yf(x)的图象，平均变化率表示什么？瞬时变化率表示什么？00()()f xxf xyxx00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 割线P0P 的斜率切线P0T 的斜率P0 xyOyf(x)f(x0+x)f(x0)x0 x0+x f(x0+x)-f(x0)xTP探究新知探究新知 在曲线yf(x)上任取一点P(x,f(x)，当点P(x,f(x)沿着曲线yf(x)无限趋近于
3、点P0(x0,f(x0)时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线yf(x)在点 P0 处的切线.xyOyf(x)f(x0)x0T切线的定义：P0P思考思考：此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？探究新知探究新知初中学过的圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的.此处的切线定义是以逼近的方式对切线作出的定义；追问追问2：通过逼近方式对切线作出的定义，是否适用于圆的切线呢？P0P思考：导数f(x0)的几何意义是什么？探究新知探究新知00()()f xxf xyxx00()limxyfxx 0 x 割线P0P 的斜率k切线P0T 的斜率k00 x
4、点P 点P000000()()lim=()xf xxf xkfxx 函数 yf(x)在x=x0处的导数 f(x0)曲线 yf(x)在点P0(x0,f(x0)处切线的斜率k0导数f(x0)的几何意义PxyO0 x()yf xT0000()()lim()xf xxf xkxfx 00()(,()yf xM xf x曲线在点处的切线方程为0tan()PTkfx即探究新知探究新知000()()yyfxxx1.求曲线y-2x2+1在点(1,-1)处的切线方程.小试牛刀小试牛刀解：设f(x)-2x2+10lim(24)xx 4 0(1)(1)(1)=limxfxfkfx 220 2(1)1(2 11)=l
5、imxxx 所以所求切线方程为y-(-1)=(-4)(x-1),即4x+y-3=0.解决切线问题的关键:利用导数的几何意义求出切线的斜率k0=f(x0).点斜式探究新知探究新知 在点P0附近的曲线可以用点P0处的切线P0T 近似代替，这是微积分中重要的思想方法以直代曲.xyOyf(x)f(x0)x0TP0P思考：图中哪条直线最贴近点P0附近的曲线？htO3t4t0t1t2t典例分析典例分析例1 下图是高台跳水运动中运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线分别在t0,t1,t2 附近的变化情况.在t0,t1,
6、t2 附近的曲线在t=t0,t1,t2处的切线近似代替斜率刻画斜率的正负：增减趋势 斜率的大小：增减快慢以 直代 曲例2 如图表示人体血管中的药物浓c=f(t)(单位:mg/ml)随时间t(单位:min)变化的函数图像,根据图像,估计t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时,血管中药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格的形式列出.(精确到0.1)典例分析典例分析 血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度.函数f(t)在此时刻的导数,从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.数形结合以直代曲以简单对象刻画复杂的对象,4.17.00.191.048.0)8.0(,kf如 t 0.2 0.4 0
7、.60.8药物浓度的药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率 4.004.17.0下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值，.)(lim0 xxfxxfyxfx导函数的概念000(),(),(),()().f xxxxxfxxfxxyf x 从从求求函函数数在在处处导导数数的的过过程程可可以以看看到到当当时时是是一一个个确确定定的的数数 当当变变导导化化时时便便是是的的函函数数 我我们们称称它它为为的的简简称称函函数数导导数数探究新知探究新知(),yf xy 的的导导数数有有时时也也记记作作即即 0000000()(1)lim,.()x xxf xxf xfxyxf xxx 由由，知知是是这这一一表表点点示
8、示一一个个确确定定 数数处处的的导导数数的的这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一.(2)导函数导函数 f(x)是指某一区间内任意点是指某一区间内任意点x而言的而言的,就是函数就是函数 f(x)的导数的导数.(3)函数函数 f(x)在点在点x0处的导数处的导数 f(x0)就是就是导函数导函数 f(x)在在x=x0处的函数值处的函数值,.0|)()(0 xxxfxf f(x0)与f(x)的联系与区别解解1：典例分析典例分析11(,2),.2yx 求求函函数数的的图图象象在在点点处处的的切切线线的的斜斜率率 并并例例写写出出切切线线方方程程3 3xfxfxy)21(2112421411xx21
9、xyk切线斜率xxxxx21)21(2112112004limlim=421xxyxx 124()440.2yxxy 因因此此所所求求切切线线方方程程为为,即即解解2：xxfxxfxy)(xxx2121xyk切线斜率xxxxxxxxx21121x2001limlimxxyyxxx x 4)21(12124(),440.2yxxy 因因此此所所求求切切线线方方程程为为即即典例分析典例分析11(,2),.2yx 求求函函数数的的图图象象在在点点处处的的切切线线的的斜斜率率 并并例例写写出出切切线线方方程程3 3即率处的导数就是切线的斜在,)(.10 xxxf即简称导数的导函数是),()()(.2xfxf .)(limlim00 xxfxxfxyyxfxx3.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法.00000()()()limlimxxf xxf xykfxxx 切线课堂小结课堂小结
