1、5.3.2函数的极值函数的极值1“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,说的是庐山的高低起伏,错落有致.在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最高点.那么,在数学上,这种现象如何来刻画呢?讲课人：邢启强2一、复习与引入一、复习与引入:上节课上节课,我们讲了利用函数的导数来研究我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调性这个问题函数的单调性这个问题.其基本的步骤为其基本的步骤为:求函数的定义域求函数的定义域;求函数的导数求函数的导数f(x);解不等式解不等式f(x)0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间;解不等式解不等式f(x)f(x
2、1).(1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念.由定义由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说也就是说极值与极值与最值是两个不同的概念最值是两个不同的概念.(2)函数的函数的极值不是唯一极值不是唯一的的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个不止一个.(3)函数的极值点一定函数的极值点一定出现在区间的内部出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点区间
3、的端点不能成为极值点.而使函数取得而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点也可能在区间的端点.请注意以下几点请注意以下几点:讲课人：邢启强7yxaob yf x （3 3）在点）在点a,b附近附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律的导数的符号有什么规律?（1）函数）函数y=f(x)在点在点a,b的函数值与这些点附近的函数值有什么关系的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2 2）函数）函数y=f(x)在点在点a,b的导数值是多少的导数值是多少?(图一图一)问题：问题：0)(xf0)(xf0)(xf0)(af0)(bfxy yf x
4、ohgfedc(图二图二)讲课人：邢启强8o oa aX X0 00b bx xy y0)(0 xf0)(xf0)(xfo oa aX X0 0b bx xy y0)(0 xf0)(xf0)(xf 如上左图所示如上左图所示,若若x0是是f(x)的极大值点的极大值点,则则x0两侧附近点的函数值必须小两侧附近点的函数值必须小于于f(x0).因此因此,x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能是增函数只能是增函数,即即f(x)0;x0的右侧附近的右侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数,即即f(x)0 同理同理,如上右图所示如上右图所示,若若x0是是f(x)极小值点极小值点,则在则在x0的左侧附近的左侧附
5、近f(x)只能只能是减函数是减函数,即即f(x)0.讲课人：邢启强9 从而我们得出结论从而我们得出结论:若若x0满足满足f(x0)=0,且在且在x0的两侧的导数异号的两侧的导数异号,则则x0是是f(x)的极值点的极值点,f(x0)是极值是极值,并且如果并且如果f(x)在在x0两侧满足两侧满足“左正右负左正右负”,则则x0是是f(x)的极大值点的极大值点,f(x0)是极大值是极大值;如果如果f(x0)在在x0两侧满足两侧满足“左负右正左负右正”,则则x0是是f(x)的极小值点的极小值点,f(x0)是极小值是极小值.从曲线的切线角度看从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为曲线在极值点处切线
6、的斜率为0,并且并且,曲线在极曲线在极大值点左侧切线的斜率为正大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率曲线在极小值点左侧切线的斜率为负为负,右侧为正右侧为正.一般地一般地,当当函数函数f(x)在在x0处连续处连续时时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是:(1):如果在如果在 x0附近的左侧附近的左侧f(x)0右侧右侧f(x)0那么那么,f(x0)是极大值是极大值;(2):如果在如果在 x0附近的左侧附近的左侧f(x)0那么那么,f(x0)是极小值是极小值.讲课人：邢启强10讲课人：邢启强11 x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(
7、x)+0 0 +f(x)极大值极大值28/3 极小值极小值-4/3 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,f(x)极大值极大值=28/3;而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,f(x)极小值极小值=-4/3.讲课人：邢启强12 探索探索:x=0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf(x)x3 3v 若寻找若寻找可导函数可导函数极值点极值点,可否只由可否只由f(x)=0 0求得即可求得即可?f(x)=3=3x2 2 当当f(x)=0=0时，时，x=0=0，而而x=0=0不是不是该函数的极值点该函数的极值点.f(x0)=0 =0 x0 是可导函数是
8、可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)的极值点的极值点 f(x0)=0=0注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件讲课人：邢启强13要注意以下两点要注意以下两点:(1)不可导函数也可能有极值点不可导函数也可能有极值点.例如函数例如函数y=|x|,它在点它在点x=0处不可导处不可导,但但x=0是函数的极小值点是函数的极小值点.故函数故函数f(x)在极值点处不一定存在导数在极值点处不一定存在导数.(2)可导函数的极值点一定是它导数为零的点可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为反之
9、函数的导数为零的点零的点,不一定是该函数的极值点不一定是该函数的极值点.例如例如,函数函数y=x3,在点在点x=0处的导数为零处的导数为零,但它不是极值点但它不是极值点,原因是函数原因是函数在点在点x=0处左右两侧的导数都大于零处左右两侧的导数都大于零.因此导数为零的点仅是该点为因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号其充分条件是在这点两侧的导数异号.因此因此,利用求导的方法利用求导的方法,求函数的极值时求函数的极值时,在函数的定义域内寻求在函数的定义域内寻求可能取到极值的可能取到极值的“可疑点可疑点”,除了确定其除了确定其导数为零的点导数为
10、零的点外外,还必须确定还必须确定函数定义域内所有函数定义域内所有不可导的点不可导的点,这两类点构成了函数定义域内所有的这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值的可能取到极值的“可疑点可疑点”.讲课人：邢启强14总结总结:求求可导函数可导函数f(x)的极值的步骤如下的极值的步骤如下:(2).求导数求导数f(x)(3).求方程求方程f(x)=0的根的根.(4).列表检查列表检查f(x)在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号,如果左负右正如果左负右正,那么那么f(x)在这个根处取得极小值在这个根处取得极小值;如果左正右负如果左正右负,那那 么么f(x)在这个根处取得极大值在这个根处取得极大
11、值.(1).求函数定义域求函数定义域(5).写结论写结论讲课人：邢启强15 x(-,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+)f(x)+0 -0 +f(x)极大值极大值-2a 极小值极小值2a 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极小值有极小值f(a)=2a.说明说明:本题中的极大值是小于极小值的本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念.例例2:求函数求函数 的极值的极值.)0()(2 axaxxf解解:函数的定义域为函数的定义域为),0()0,(.)(1)(222x
12、axaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)(xf当当x变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf 讲课人：邢启强16巩固练习巩固练习：求函数求函数 的极值的极值 33f xxx,1 1,11,20011单调递增单调递减单调递减当当 时时,有极大值，并且极大值为有极大值，并且极大值为2)(xf)(xf当当 时时,有极小值，并且极小值为有极小值，并且极小值为 2.2.1x1x x解解:令令 ，得，得 ，或，或 下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）当）当 ，即，即 时；时；（2）当）当 ，即，即 ，或，或 时。时。当当 变化时，变化时，的变化
13、情况如下表：的变化情况如下表：33f xxx 0fx 23 3fxx 23 30fxx1x 1.x 0fx 11x 1x 1x ,fxf x讲课人：邢启强17练习练习1:求函数求函数 的极值的极值.216xxy 解解:.)1()1(6222xxy 令令y=0,解得解得x1=-1,x2=1.当当x变化时变化时,y,y的变化情况如下表的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,1)1(2,+)y 0 +0 y 极小值极小值-3 极大值极大值3 因此因此,当当x=-1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=3;而而,当当x=1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3.讲课人：邢启强18讲课人：邢启强19课堂小结课堂小结
