1、7.1.2 全概率公式全概率公式1.条件概率：条件概率：在事件在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的概率称为发生的概率称为条件概率条件概率，即，即()(|)()P ABP B AP A 由条件概率公式可得由条件概率公式可得()()(|).P ABP A P B A 复习导入：复习导入：2.概率的乘法公式：概率的乘法公式：在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式概率的加法公式和和乘法公式乘法公式求其求其概率概率.下
2、面，下面，再看一个求复杂事件概率的问题再看一个求复杂事件概率的问题.3.概率的加法公式：概率的加法公式：如事件如事件B，C互斥，则有互斥，则有(|)(|)(|).P BC AP B AP C A 思考思考 从有从有a个红球和个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回个球，摸出的球不再放回.显然，第显然，第1次摸到红球的概率为次摸到红球的概率为 ，那么第，那么第2次摸到红球的概率是多大次摸到红球的概率是多大?如何计如何计算这个概率呢算这个概率呢?aab 因为抽签具有因为抽签具有公平性公平性，所以第，所以第2次摸到红球的概率也应该是次摸到红球的概率也
3、应该是 .但是这个但是这个结果并不显然，因为第结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第次摸球的结果受第1次摸球结果的影响次摸球结果的影响.下面我们给出下面我们给出严格的推导严格的推导.aab 用用Ri表示事件表示事件“第第i次摸到次摸到红球红球”，Bi表示事件表示事件“第第i次摸到次摸到蓝球蓝球”，i=1,2.如图示如图示，那么，那么事件事件R2可按可按第第1次可能的摸球结果次可能的摸球结果(红球或蓝球红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并表示为两个互斥事件的并，即，即R2R1R2B1R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得利用概率的加法公式和乘法公式，得212121212()()()()P RP R
4、 RB RP R RP B R 121121()(|)()(|)P R P RRP B P RB 111aabaabababab .aab 上述过程采用的方法是上述过程采用的方法是:按照某种标准，将一个按照某种标准，将一个复杂事件复杂事件表示为表示为两个互斥事件两个互斥事件的并的并，再由，再由概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率求得这个复杂事件的概率.全概率公式：全概率公式：1212()01 2nniA AAAAAP AinB 一一般般地地,设设,是是一一组组两两两两互互斥斥的的事事件件,且且,则则对对任任意意的的事事件件,有有1()()(|).niiiP B
5、P A P B A 我们称上面的公式为我们称上面的公式为全概率公式全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一全概率公式是概率论中最基本的公式之一.例例4 某学校有某学校有 A，B两家餐厅，王同学第两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如如果第果第1天去天去A餐厅，那么第餐厅，那么第2天去天去A餐厅的概率为餐厅的概率为0.6；如果第；如果第1天去天去B餐厅，那么第餐厅，那么第2天去天去A餐厅的概率为餐厅的概率为0.8.计算王同学第计算王同学第2天去天去A餐厅用餐的概率餐厅用餐的概率.1111.ABAB ,且且与与互互斥斥 根根据据题题意意得得 设
6、设A1“第第1天去天去A餐厅餐厅”,B1“第第1天取天取B餐厅餐厅”,A2“第第2天去天去A餐厅餐厅”,则则 解：解：2121121()()(|)()(|)P AP A P AAP B P AB 112121()()0.5(|)0.6(|)0.8.P AP BP AAP AB ,由由全全概概率率公公式式,得得0.5 0.60.5 0.80.7.2A0.7.因因此此,王王同同学学第第 天天去去 餐餐厅厅用用餐餐的的概概率率为为解：解：课本课本52页页 1.现有现有12道四选一道四选一 的单选题，学生张君对其中的单选题，学生张君对其中9道题有思路，道题有思路，3道题完全没有思道题完全没有思路路.有
7、思路的题做对的概率为有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为的概率为0.25.张君从这张君从这12道题中随机选择道题中随机选择1题，求他做对该题的概率题，求他做对该题的概率.设设A“选到有思路的题选到有思路的题”,B“选到的题做对选到的题做对”,则由全概率公式则由全概率公式,可得可得()()(|)()(|)P BP A P B AP A P B A 930.90.250.7375.1212 0.7375.因因此此,张张君君做做对对选选到到的的题题的的概概率率 例例5 有有 3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工同
8、一型号的零件，第1台加工的次品率为台加工的次品率为6%，第，第2，3台加工台加工的次品率均为的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零台车床加工的零件数分别占总数的件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第如果取到的零件是次品，计算它是第i(i1，2，3)台车床加工的概率台车床加工的概率.123123.AAAA AA ,且且,两两两两互互斥斥 根根据据题题意意得得 设设B“任取一个零件为次品任取一个零件为次品”,Ai“零
9、件为第零件为第i台车床加工台车床加工”(i1,2,3),则则 解：解：112233()()(|)()(|)()(|)P BP A P B AP A P B AP A P B A 123()0.25()0.3()0.45P AP AP A ,(1)由由全全概概率率公公式式,得得0.25 0.060.3 0.050.45 0.050.0525.0.0525.因因此此,任任取取一一个个零零件件是是次次品品的的概概率率为为123(|)0.06(|)(|)0.05.P B AP B AP B A ,例例5 有有 3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为台加工的次品率为
10、6%，第，第2，3台加工台加工的次品率均为的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零台车床加工的零件数分别占总数的件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第如果取到的零件是次品，计算它是第i(i1，2，3)台车床加工的概率台车床加工的概率.如果取到的零件是次品，计算它是第如果取到的零件是次品，计算它是第i(i1,2,3)台车床加工的概率，就是台车床加工的概率，就是计算在计算在B发生的条件下，事件发生的条件下，事件Ai发生
11、的概率，即发生的概率，即 解：解：1111()()(|)0.25 0.062(|).()()0.05257P A BP A P B AP ABP BP B 类类似似地地,可可得得2323(|)(|).77P ABP AB ,思考思考 例例5中中P(Ai)，P(Ai|B)的实际意义是什么的实际意义是什么?P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率先验概率，当已知抽到的零件是次品，当已知抽到的零件是次品(B发生发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第是这件次品来自第i台车床台车床加工的可能性大小，通
12、常称为加工的可能性大小，通常称为后验概率后验概率.如果对加工的次品，要求操作员承担相如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么应的责任，那么2 2 37 7 7，就分别是第就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额台车床操作员应承担的份额.将例将例5中的问题中的问题(2)一般化，可以得到一般化，可以得到贝叶斯公式贝叶斯公式.（选学内容，不作考试要求（选学内容，不作考试要求）贝叶斯公式：贝叶斯公式：1212()01 2()0nniA AAAAAP AinBP B 设设,是是一一组组两两两两互互斥斥的的事事件件,且且,则则对对任任意意的的事事件件,有有1()()(|)()(|)(|).()
13、()()(|)iiiiiinkkkP A BP A P B AP A P B AP ABP BP BP A P B A 解：解：课本课本52页页 2.两批同种规格的产品，第一批占两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为，次品率为5%；第二批占；第二批占60%，次品率，次品率为为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取将两批产品混合，从混合产品中任取1件件.(1)求这件产品是合格品的概率；求这件产品是合格品的概率；(2)已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.设设A“取到合格品取到合格品”,Bi“取到的产品来自第取到的产品来自第i批批”(i1
14、,2),则则1212()0.4()0.6(|)0.95(|)0.96.P BP BP A BP A B ,1122()()(|)()(|)P AP B P A BP B P A B (1)由由全全概概率率公公式式,得得0.4 0.950.6 0.960.956.1111()()(|)0.4 0.95(|)0.397.()()0.956P B AP B P A BP BAP AP A (2)由由贝贝叶叶斯斯公公式式,得得0011.ABAB 设设发发送送的的信信号号为为,接接收收的的信信号号为为,则则发发送送的的信信号号为为,接接收收的的信信号号为为由由题题意意得得 例例6 在数字通信中，信号是由
15、数字在数字通信中，信号是由数字0和和1组成的序列组成的序列.由于随机因素的干扰，发送由于随机因素的干扰，发送的信号的信号0或或1有可能被错误地接收为有可能被错误地接收为1或或0.已知发送信号已知发送信号0时，接收为时，接收为0和和1的概率分的概率分别为别为0.9和和0.1；发送信号；发送信号1时，接收为时，接收为1和和0的概率分别为的概率分别为0.95和和0.05.假设发送信号假设发送信号0和和1是等可能的是等可能的.(1)分别求接收的信号为分别求接收的信号为0和和1的概率；的概率；(2)已知接收的信号为已知接收的信号为0，求发送的信号是，求发送的信号是1的概率的概率.解：解：()()0.5P
16、 AP A ,()()(|)()(|)P BP A P B AP A P B A (1)由由全全概概率率公公式式,得得0.5 0.90.5 0.050.475 ，(|)0.9(|)0.1(|)0.05(|)0.95.P B AP B AP B AP B A ,()()(|)()(|)P BP A P B AP A P B A 0.5 0.10.5 0.950.525 .()1()10.4750.525.P BP B 或或0011.ABAB 设设发发送送的的信信号号为为,接接收收的的信信号号为为,则则发发送送的的信信号号为为,接接收收的的信信号号为为由由题题意意得得 例例6 在数字通信中，信号是
17、由数字在数字通信中，信号是由数字0和和1组成的序列组成的序列.由于随机因素的干扰，发送由于随机因素的干扰，发送的信号的信号0或或1有可能被错误地接收为有可能被错误地接收为1或或0.已知发送信号已知发送信号0时，接收为时，接收为0和和1的概率分的概率分别为别为0.9和和0.1；发送信号；发送信号1时，接收为时，接收为1和和0的概率分别为的概率分别为0.95和和0.05.假设发送信号假设发送信号0和和1是等可能的是等可能的.(1)分别求接收的信号为分别求接收的信号为0和和1的概率；的概率；(2)已知接收的信号为已知接收的信号为0，求发送的信号是，求发送的信号是1的概率的概率.解：解：()()0.5
18、P AP A ,()()(|)0.5 0.051(|).()()0.47519P ABP A P B AP A BP BP B (2)由由贝贝叶叶斯斯公公式式,得得(|)0.9(|)0.1(|)0.05(|)0.95.P B AP B AP B AP B A ,13巩固训练：巩固训练：1415小结：小结：1.全概率公式：全概率公式：1212()01 2nniA AAAAAP AinB 一一般般地地,设设,是是一一组组两两两两互互斥斥的的事事件件,且且,则则对对任任意意的的事事件件,有有1()()(|).niiiP BP A P B A 2.贝叶斯公式：贝叶斯公式：1212()01 2()0nniA AAAAAP AinBP B 设设,是是一一组组两两两两互互斥斥的的事事件件,且且,则则对对任任意意的的事事件件,有有1()()(|)()(|)(|).()()()(|)iiiiiinkkkP A BP A P B AP A P B AP ABP BP BP A P B A
