1、7.4.2 超几何分布超几何分布1.复习复习(1)二项分布：二项分布：一般地，在一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p(0p1)，用，用X表示事件表示事件A发生的次数，则发生的次数，则X的分布列为的分布列为()(1)0 1 2.kkn knP XkC ppkn,如果随机变量如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从服从二项分布二项分布，记作记作X B(n，p).若若XB(n,p)，则有，则有()()(1).E Xnp D Xnpp ,(2)二项分布的均值与方差二项分布的均值与方差
2、问题问题 已知已知100件产品中有件产品中有8件次品，分别采用件次品，分别采用有放回有放回和和不放回不放回的方式随的方式随机抽取机抽取4件件.设抽取的设抽取的4件产品中次品数为件产品中次品数为X，求随机变量，求随机变量X的分布列的分布列.我们知道，如果采用我们知道，如果采用有放回抽样有放回抽样，则每次抽到次品的概率为，则每次抽到次品的概率为0.08，且各，且各次抽样的次抽样的结果相互独立结果相互独立，此时，此时X服从服从二项分布二项分布，即，即XB(4,0.08).采用采用不放回抽样不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一，但每次抽取不是同
3、一个试验，各次抽取的个试验，各次抽取的结果不独立结果不独立，不符合，不符合n重伯努利试验的特征，因此重伯努利试验的特征，因此X不服从不服从二项分布二项分布.思考思考 如果采用如果采用不放回抽样不放回抽样，那么抽取的，那么抽取的4件产品中次品数件产品中次品数X是否也服从是否也服从二项分布二项分布?如果不服从，那么如果不服从，那么X的分布列是什么的分布列是什么?可以根据古典概型求可以根据古典概型求X的分布列的分布列.由题意可知，由题意可知，X可能的取值为可能的取值为0,1,2,3,4.由古典概型的知识，得由古典概型的知识，得X的分布列为的分布列为48924100()0 1 2 3 4.kkC CP
4、 XkkC,超几何分布超几何分布一般地，假设一批产品共有一般地，假设一批产品共有N件，其中有件，其中有M件次品件次品.从从N件产品中随机件产品中随机抽取抽取n件件(不放回不放回)，用，用X表示抽取的表示抽取的n件产品中的次品数，则件产品中的次品数，则X的分布列为的分布列为2.超几何分布超几何分布()0 1 2.kn kMNMnNC CP XkkrC ,其中其中n,N,MN*，MN，nN，rminn,M.如果随机变量如果随机变量X的分的分布列具有上式的形式，那么称随机变量布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从服从超几何分布超几何分布.设设X表示选出的表示选出的5名学生中含甲的人数，则名学生中含
5、甲的人数，则X服从服从超几何分布超几何分布，且，且N50，M1，n5.因此甲被选中的概率为因此甲被选中的概率为例例4 从从50 名学生中随机选出名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率名学生代表，求甲被选中的概率.解：解：141495501(1).10C CP XC容易发现，每个人被抽到的概率都是容易发现，每个人被抽到的概率都是 .这个结论非常直观，上述解这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程答过程就是这一结论的推导过程.110 设设X表示抽取表示抽取10个零件中不合格品数，则个零件中不合格品数，则X服从服从超几何分布超几何分布，其分布列为，其分布列为 例例5 一批零件共有
6、一批零件共有30个，其中有个，其中有3个不合格个不合格.随机抽取随机抽取10个零件进行检测，个零件进行检测，求至少有求至少有1件不合格的概率件不合格的概率.解：解：103271030()0 1 2 3.kkC CP XkkC,至少有至少有1件不合格的概率为件不合格的概率为(1)(1)(2)(3)P XP XP XP X 192837327327327101010303030C CC CC CCCC(1)1(0)P XP X或或01032710301C CC146.203 146.203 课本课本80页页 1.一箱一箱24罐的饮料中罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取罐有奖券
7、，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这罐，求这2罐中有奖券的概率罐中有奖券的概率.设抽出的设抽出的2罐中有奖券的罐数为罐中有奖券的罐数为X，则，则X服从服从超几何分布超几何分布，从而抽取，从而抽取2罐罐中有奖券的概率为中有奖券的概率为解：解：(1)(1)(2)P XP XP X 1120420420222424C CC CCC(1)1(0)P XP X或或024202241C CC43.138 43.138 课本课本80页页 2.学校要从学校要从12名候选人中选名候选人中选4名同学组成学生会，已知有名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲名候选人来自甲班班.假设每名候选人都有相同的机会
8、被选到，求甲班恰有假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的名同学被选到的概率概率.设选到的设选到的4人中甲班同学的人数为人中甲班同学的人数为X，则，则X服从服从超几何分布超几何分布，从而甲班恰，从而甲班恰有有2人被选到的概率为人被选到的概率为解：解：224841256(2).165C CP XC若随机变量若随机变量X服从超几何分布，则有服从超几何分布，则有().()ME XnppN其其中中3.超几何分布的均值超几何分布的均值下面对均值进行证明下面对均值进行证明.10()kn krMNMnkNC CkE XkC 当当时时，证明：证明：XX由由 服服从从超超几几何何分分布布,
9、可可得得的的概概率率分分布布列列为为().kn kMNMnNC CP XkC 11111rkn knMNMNkCCC ，().E Xnp 111.rkn kMNMnkNMCCC 11().nNnNMCnME XnpCN 0k 当当时时,可可证证明明上上述述结结论论依依然然成成立立.(1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果，且各次试验之间的结果是独立的，因此是独立的，因此XB(20,0.4)，X的分布列为的分布列为 例例6 一个袋子中有一个袋子中有100个大小相同的球，其中有个大小相同的球，其中有40个黄球、个黄球、60 个白球，
10、从个白球，从中随机地摸出中随机地摸出20个球作为样本个球作为样本.用用X表示样本中黄球的个数表示样本中黄球的个数.(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；的分布列；(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过球的比例，求误差不超过0.1的概率的概率.解：解：20120()0.40.60 1 220.kkkkpP XkCk,对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，服从超几何分布，X的分布列为的分布列
11、为204060220100()0 1 220.kkkC CpP XkkC,(2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到精确到0.00001)，如下表所示，如下表所示.(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过球的比例，求误差不超过0.1的概率的概率.解：解：样本中黄球的比例样本中黄球的比例 是一个随机变量，根据表中数是一个随机变量，根据表中数据计算得据计算得有放回摸球有放回摸球:不放回摸球不放回摸球:因此，在相同的误差限制因此，在相同的误差限制下，
12、采用下，采用不放回摸球不放回摸球估计的结估计的结果更可靠些果更可靠些.2020Xf 20(|0.4|0.1)0.7469.Pf20(|0.4|0.1)0.7988.Pf两种摸球方式下，随机变量两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布，虽然这两种分分别服从二项分布和超几何分布，虽然这两种分布有相等的均值布有相等的均值(都是都是8)，但从两种分布的概率分布图，但从两种分布的概率分布图(如下图如下图)看，看，超几何分布更超几何分布更集中在均值附近集中在均值附近.二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，件产品中次品数的分
13、布规律，并且二者的均值相同并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当对于不放回抽样，当n远远小于远远小于N时，每抽取一次后，对时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似超几何分布可以用二项分布近似.解：解：(1)设设“返奖返奖80元元”为事件为事件A，“返奖返奖100元元”为事件为事件B，则，则故这位顾客返奖不少于故这位顾客返奖不少于80元的概率元的概率为为122126263103()10C CC CP AC ，122128283108()15C CC CP BC .5()()6PP AP B.巩固训练巩固训练1 春节期间，某商场进行促销活动，方案是春节
14、期间，某商场进行促销活动，方案是:顾客每买满顾客每买满200元可元可按以下方式摸球兑奖，箱内装有标着数字按以下方式摸球兑奖，箱内装有标着数字20,40,60,80,100的小球各两个，的小球各两个，顾客每次抽奖都从这顾客每次抽奖都从这10个小球任取个小球任取3个，按个，按3个小球中最大数字等额返现金个小球中最大数字等额返现金(单位单位:元元)，每个小球被取到的可能性相等，每个小球被取到的可能性相等.(1)某位顾客买了某位顾客买了268元的商品，求这位顾客返奖不少于元的商品，求这位顾客返奖不少于80元的概率；元的概率；(2)若有三位顾客各买了若有三位顾客各买了268元的商品元的商品,求至少有两个
15、返奖不少于求至少有两个返奖不少于80元的概率；元的概率；(3)在在(2)的条件下，设返奖不少于的条件下，设返奖不少于80元的人数为元的人数为X，求，求X的数学期望与方差的数学期望与方差.则至少有两个返奖不少于则至少有两个返奖不少于80元的元的概率概率为为223351525()()66627PC .解：解：(2)由由(1)可知，可知，买了买了268元的商品元的商品获得获得返奖不少于返奖不少于80元元的概率为的概率为56.巩固训练巩固训练1 春节期间，某商场进行促销活动，方案是春节期间，某商场进行促销活动，方案是:顾客每买满顾客每买满200元可元可按以下方式摸球兑奖，箱内装有标着数字按以下方式摸球
16、兑奖，箱内装有标着数字20,40,60,80,100的小球各两个，的小球各两个，顾客每次抽奖都从这顾客每次抽奖都从这10个小球任取个小球任取3个，按个，按3个小球中最大数字等额返现金个小球中最大数字等额返现金(单位单位:元元)，每个小球被取到的可能性相等，每个小球被取到的可能性相等.(1)某位顾客买了某位顾客买了268元的商品，求这位顾客返奖不少于元的商品，求这位顾客返奖不少于80元的概率；元的概率；(2)若有三位顾客各买了若有三位顾客各买了268元的商品元的商品,求至少有两个返奖不少于求至少有两个返奖不少于80元的概率；元的概率；(3)在在(2)的条件下，设返奖不少于的条件下，设返奖不少于8
17、0元的人数为元的人数为X，求，求X的数学期望与方差的数学期望与方差.55()362E X ，解：解：5(3)(3)6XXB由由题题意意知知,服服从从二二项项分分布布,即即，,则则有有515()36612D X .巩固训练巩固训练1 春节期间，某商场进行促销活动，方案是春节期间，某商场进行促销活动，方案是:顾客每买满顾客每买满200元可元可按以下方式摸球兑奖，箱内装有标着数字按以下方式摸球兑奖，箱内装有标着数字20,40,60,80,100的小球各两个，的小球各两个，顾客每次抽奖都从这顾客每次抽奖都从这10个小球任取个小球任取3个，按个，按3个小球中最大数字等额返现金个小球中最大数字等额返现金(
18、单位单位:元元)，每个小球被取到的可能性相等，每个小球被取到的可能性相等.(1)某位顾客买了某位顾客买了268元的商品，求这位顾客返奖不少于元的商品，求这位顾客返奖不少于80元的概率；元的概率；(2)若有三位顾客各买了若有三位顾客各买了268元的商品元的商品,求至少有两个返奖不少于求至少有两个返奖不少于80元的概率；元的概率；(3)在在(2)的条件下，设返奖不少于的条件下，设返奖不少于80元的人数为元的人数为X，求，求X的数学期望与方差的数学期望与方差.巩固训练巩固训练2 从从4名男生和名男生和2名女生中任选名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量人参加演讲比赛，设随机变量X表表示所选示所选3
19、人中女生的人数人中女生的人数.(1)求求X的分布列与均值；的分布列与均值；(2)求所选求所选3人中至多有人中至多有1名女生的概率名女生的概率.解：解：(1)由题意可知，由题意可知，X服从超几何分布，所以服从超几何分布，所以X分布列为分布列为0324361(0)5C CP XC，1224363(1)5C CP XC ，2124361(2)5C CP XC .所得金额的均值为所得金额的均值为131()0121.555E X 2()31.6E Xnp 或或(2)所选所选3人中至多有人中至多有1名女生的概率为名女生的概率为4(1)(0)(1).5P XP XP X 4(1)1(2).5P XP X或或小结：小结：一般地，假设一批产品共有一般地，假设一批产品共有N件，其中有件，其中有M件次品件次品.从从N件产品中随机件产品中随机抽取抽取n件件(不放回不放回)，用，用X表示抽取的表示抽取的n件产品中的次品数，则件产品中的次品数，则X的分布列为的分布列为1.超几何分布超几何分布()0 1 2.kn kMNMnNC CP XkkrC ,若随机变量若随机变量X服从超几何分布，则有服从超几何分布，则有().()ME XnppN其其中中2.超几何分布的均值超几何分布的均值
