1、6.2 排列与组合6.2.1 排列 分类加法计数原理分类加法计数原理(加法原理加法原理)完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第1 1类方案中有类方案中有m m种种不同的方法，在第不同的方法，在第2 2类方案中有类方案中有n n种不同的方法，那么种不同的方法，那么完成这件事共有：完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法N=m+n分步乘法计数原理（乘法原理）分步乘法计数原理（乘法原理）完成一件事需要分成两个步骤，做第完成一件事需要分成两个步骤，做第1 1步有步有m m种不同种不同的方法，做第的方法，做第2 2步有步有n n种不同的方法，那么完成这件种不同的方法，那么完成这件事
2、共有：事共有：种不同的方法种不同的方法N=mn 分类加法计数原理与分类加法计数原理与“分类分类”有关，各种有关，各种方法方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；成这件事；分步乘法计数原理与分步乘法计数原理与“分步分步”有关，各个有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成事才算完成五个人排成一队五个人排成一队有多少种排法？有多少种排法？等公交车时的站队问题等公交车时的站队问题通过解决实际的计数问题，得到排列的定义，并能够通过解决实际的计数问题，得到排列的定义，并能够利用定义判断排列问题利用定义
3、判断排列问题.（重点）重点）排列的定义排列的定义（难点）（难点）将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到排列的定义排列的定义.问题问题1 1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1 1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1 1名同学参加名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？下午的活动，有多少种不同的选法？【解题关键解题关键】把题目转化为从甲、乙、丙把题目转化为从甲、乙、丙3 3名同学名同学中选中选2 2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活
4、动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？探究点探究点1 1 排列排列上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：确定参加上午活动的同学即从第一步：确定参加上午活动的同学即从3 3名中任名中任 选选1 1名，有名，有3 3种选法种选法.第二步：确定参加下午活动的同学，有第二步：确定参加下午活动的同学，有2 2种方法种方法根据分步计数原理：根据分步计数原理：3 32=6 2=6 即共即共6 6种方法种方法.如果把上面问题中被取的对象叫做如果把上面问题中被取的对象叫做元素元素,那那么问题可以叙述为：么问题可以
5、叙述为：从从3 3个不同的元素个不同的元素a,b,ca,b,c中任取中任取2 2个，然后按照一定个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是所有不同的排列是ab,ac,ba,bc,ca,cbab,ac,ba,bc,ca,cb不同的排列方法种数为不同的排列方法种数为 3 32=6.2=6.问题问题2 2从从1,2,3,41,2,3,4这这 4 4 个数字中，每次取出个数字中，每次取出3 3个个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？【解题关键解题关键】解决这个问题分三个步骤
6、：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在第一步先确定百位上的数，在4 4个数字中任取个数字中任取1 1个，有个，有4 4种方法；种方法；第二步确定中间的数，从余下的第二步确定中间的数，从余下的3 3个数中去取，有个数中去取，有3 3种方法；种方法；第三步确定右边的数，从余下的第三步确定右边的数，从余下的2 2个数中去取，有个数中去取，有2 2种方法种方法.由分步乘法计数原理共有：由分步乘法计数原理共有：4 43 32=242=24种不同的方法，种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列，由此可写出所有的排法用树形图排出，并写出所有的排列，由此可写出所有的排法.解：从解：从 4 4
7、 个数字中，每次取出个数字中，每次取出 3 3 个，按个，按“百百”“十十”“”“个个”位的顺序排成一列，就得到一个三位位的顺序排成一列，就得到一个三位数因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同数因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分三个步骤来解决这个问题：的三位数可以分三个步骤来解决这个问题：第第 1 1 步，确定百位上的数字，在步，确定百位上的数字，在 1,2,3,4 1,2,3,4 这这 4 4 个数字中任取个数字中任取 1 1 个，有个，有 4 4 种方法；种方法；第第 2 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定 后，十位上
8、的数字只能从余下的后，十位上的数字只能从余下的 3 3 个数字中个数字中 去取，有去取，有 3 3 种方法；种方法；第第 3 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数 字确定后，个位的数字只能从余下的字确定后，个位的数字只能从余下的 2 2 个数个数 字中去取，有字中去取，有 2 2 种方法种方法 根据分步乘法计数原理，从根据分步乘法计数原理，从 1,2,3,4 1,2,3,4 这这 4 4 个不同的数字中，每次取出个不同的数字中，每次取出 3 3 个数字，按个数字，按“百百位位”“”“十位十位”“”“个位个位”的顺序排成一列，不同的排法的顺序排成一
9、列，不同的排法种数为种数为 4 43 32=242=24，因而共可得到因而共可得到2424个不同的三位数，如下图所示个不同的三位数，如下图所示 1234443322444333111244431112224333111222由此可写出所有的三位数：由此可写出所有的三位数：123123，124124，132132，134134，142142，143143，213213，214214，231231，234234，241241，243243，312312，314314，321321，324324，341341，342342，412412，413413，421421，423423，431431，432
10、.432.同样，问题同样，问题2 2可以归结为：可以归结为：从从4 4个不同的元素个不同的元素a,b,ca,b,c，d d中任意取出中任意取出3 3个，并按个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是所有不同的排列是 abc abc，abdabd，acb,acdacb,acd，adbadb，adcadc，bac,badbac,bad，bcabca，bcdbcd，bdabda，bdcbdccabcab，cadcad，cbacba，cbdcbd，cdacda，cdbcdb dab dab，dacdac，dbadba，dbc
11、dbc，dcadca，dcb.dcb.不同的排列方法种数为不同的排列方法种数为 4 43 32=24.2=24.问题问题3 3问题问题1 1、问题、问题2 2的共同特点是什么？你能将的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？它们推广到一般情形吗？定义定义：一般地，从：一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(m m(m n)n)个元素，按照个元素，按照一定的顺序一定的顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n n个不个不同元素中取出同元素中取出m m个元素的一个个元素的一个排列排列.排列的特征：排列的特征：1.1.排列的两个基本内容：排列的两个基本内容：一是取出元素，二是按照一定顺序
12、排列一是取出元素，二是按照一定顺序排列.2.2.两个排列相同的条件：两个排列相同的条件：元素相同，元素的顺序也一定相同元素相同，元素的顺序也一定相同.说明：说明：1.1.元素不能重复元素不能重复.n.n个元素不能重复，个元素不能重复，m m个元素也不个元素也不能重复能重复.2.2.“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键个问题是否是排列问题的关键.3.3.根据排列定义，两个排列相同的充要条件是：根据排列定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的两个排列的元素元素完全完全相同相同，且元素的，且元素的排列顺序排列顺序也也相同相同.如：如
13、：123和和125不相同，不相同，123和和321也不相同也不相同4.4.为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用最好采用“树形图树形图”.排列排列中的列举问题中的列举问题树状图树状图1.1.适用范围：适用范围：解决排列元素个数不多的问题解决排列元素个数不多的问题2.2.策略：策略：在操作中先将元素按照一定顺序排出，在操作中先将元素按照一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重
14、不漏，行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后按照树状图写出排列然后按照树状图写出排列.【例例】从从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数不同的数字排成一个三位数.能组成多少个不同的三位能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数数，并写出这些三位数.解析：解析：组成三位数分三个步骤：组成三位数分三个步骤：第一步：选百位上的数字，第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有不能排在首位，故有3种不同的种不同的排法；排法；第二步：选十位上的数字，有第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有第三步：选个
15、位上的数字，有2种不同的排法种不同的排法.由分步乘法计数原理得共有由分步乘法计数原理得共有33218(个个)不同的三位数不同的三位数.画出树画出树状状图：图：由树由树状状图知，所有的三位数为图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.下列问题是排列问题吗？请说明理由下列问题是排列问题吗？请说明理由(1)(1)从从1,2,3,41,2,3,4四个数字中，任选两个做减法，其结果四个数字中，任选两个做减法，其结果有多少种不同的可能？有多少种不同的可能？(2)(2)从从1,2,3,4
16、1,2,3,4四个数字中，任选两个做乘法，其结果四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？有多少种不同的可能？(3)(3)有有1212个车站，共需准备多少种车票？个车站，共需准备多少种车票？(4)(4)从学号从学号1 1到到1010的十名同学中任抽两名同学去学校开的十名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种选法？座谈会，有多少种选法？(5)(5)平面上有平面上有5 5个点，其中任意三点不共线，这个点，其中任意三点不共线，这5 5点最多点最多可确定多少条直线？可确定多少条直线？【即时训练即时训练】问题问题 各问题研析各问题研析结果结果(1)(1)由减法定义知，结果都与两数相减由减
17、法定义知，结果都与两数相减的顺序有关，故的顺序有关，故(1)(1)是排列是排列(1)(1)(3)(3)(2)(2)由乘法定义知，结果都与两数相乘由乘法定义知，结果都与两数相乘的顺序无关，故的顺序无关，故(2)(2)不是排列不是排列(3)(3)车票与始点站和终点站有关，由排车票与始点站和终点站有关，由排列定义知列定义知(3)(3)是排列是排列(4)(4)所选取两名同学参加座谈会，无顺所选取两名同学参加座谈会，无顺序之分，故序之分，故(4)(4)不是排列不是排列(5)(5)两点确定一条直线，与两点顺序无两点确定一条直线，与两点顺序无关，故关，故(5)(5)不是排列不是排列解解:是否有顺序，有顺序且
18、是从是否有顺序，有顺序且是从n n个不同的元素中任个不同的元素中任取取m m(m mn n)个不同的元素的问题就是排列，否则就不个不同的元素的问题就是排列，否则就不是排列，是排列，【总结提升总结提升】判断一个问题是否为排列问题的依据判断一个问题是否为排列问题的依据检验它是否有顺序的依据检验它是否有顺序的依据变换元素的位置，看其结果是否有变化，有变化变换元素的位置，看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序就是有顺序，无变化就是无顺序判断下列问题是否是排列问题：判断下列问题是否是排列问题：(1)(1)某班共有某班共有5050名同学，现要投票选举正、副班长名同学，现要投票选举正、副班长
19、各一人，共有多少种可能的选举结果？各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)(2)从从2,3,5,7,92,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和中任取两数分别作对数的底数和指数，有多少不同对数值？指数，有多少不同对数值？(3)(3)从从1 1到到1010十个自然数中任取两个数组成点的坐十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？标，可得多少个不同的点的坐标？【变式练习变式练习】(4)(4)从集合从集合M M1,21,2，99中，任取相异的两个中，任取相异的两个元素作为元素作为a a，b b，可以得到多少个焦点在，可以得到多少个焦点在x轴上的椭轴上的椭圆方程圆方程?2222
20、1xyab解：解：(1)(1)是排列问题选出的是排列问题选出的2 2人，担任正、副班长人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题(2)(2)是排列问题显然对数值与底数和真数的取值的是排列问题显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关不同有关系，与顺序有关(3)(3)是排列问题任取两个数组成点的坐标，横、纵是排列问题任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关(4)(4)不是排列问题焦点在不是排列问题焦点在x x轴上的椭圆，方程中的轴上的椭圆，方程中的a a、b b
21、必有必有a ab b，a a、b b的大小一定的大小一定应用举例：应用举例：【例例1 1】某省中学生足球赛预选赛每组有某省中学生足球赛预选赛每组有6 6支队，每支队，每支队都要与同组的其他队在主、客场分别比赛一场，那支队都要与同组的其他队在主、客场分别比赛一场，那么每组共进行多少场比赛？么每组共进行多少场比赛？分析：每组任意分析：每组任意2 2支队之间进行的一场比赛，可以看做是从该支队之间进行的一场比赛，可以看做是从该组组6 6支队中选取支队中选取2 2支，按支，按“主队、客队主队、客队”的顺序排成的一个排列的顺序排成的一个排列.解：从解：从6 6支队伍中选支队伍中选2 2支，按支，按“主队、
22、客队主队、客队”进行排列，进行排列，分两步，第一步选分两步，第一步选1 1支做主队，有支做主队，有6 6种选法，第二步从种选法，第二步从剩下的剩下的5 5支队中选支队中选1 1支做客队，支做客队，按照乘法计数原理，按照乘法计数原理，每每组进行的比赛场次为组进行的比赛场次为 6 65=30.5=30.【例例2 2】（1 1）一张餐桌上有）一张餐桌上有5 5盘不同的菜，甲、乙、盘不同的菜，甲、乙、丙丙3 3名同学每人从中各取名同学每人从中各取1 1盘菜，共有多少种不同的取法？盘菜，共有多少种不同的取法？（2 2）学校食堂的一个窗口共卖）学校食堂的一个窗口共卖5 5种菜，甲、乙、丙种菜，甲、乙、丙3
23、 3名名同学每人从中选同学每人从中选1 1种，共有多少种不同的选法？种，共有多少种不同的选法？分析：分析：3 3名同学每人从名同学每人从5 5盘不同的菜中取盘不同的菜中取1 1盘菜，盘菜，可以可以看做是从这看做是从这5 5盘菜中选取盘菜中选取3 3盘，放在盘，放在3 3个位置（给个位置（给3 3名同名同学）的一个排列；而学）的一个排列；而3 3名同学每人从食堂窗口的名同学每人从食堂窗口的5 5种菜种菜中选中选1 1种，每人都有种，每人都有5 5种选法，不能看成一个排列。种选法，不能看成一个排列。解：解：（1 1）可以先从这）可以先从这盘菜中取盘菜中取1 1盘给同学甲，然后从盘给同学甲，然后从剩
24、下的剩下的4 4盘菜中取盘菜中取1 1盘给同学乙，盘给同学乙，然最后从剩下的然最后从剩下的3 3盘盘菜中取菜中取1 1盘给同学丙，按乘法分步计数原理，不同的盘给同学丙，按乘法分步计数原理，不同的选法种数为选法种数为 5 54 43=60.3=60.（2 2）可以先让甲同学从）可以先让甲同学从5 5种菜中选种菜中选1 1种，有种，有5 5种选法；种选法；再让乙同学从再让乙同学从5 5种菜中选种菜中选1 1种，也有种，也有5 5种选法；最后让种选法；最后让丙同学从丙同学从5 5种菜中选种菜中选1 1种，同样有种，同样有5 5种选法种选法.按乘法分步按乘法分步计数原理，不同的选法种数为计数原理，不同
25、的选法种数为 5 55 55=125.5=125.【练习练习】课本：课本：P16 练习题练习题1 1下列问题中：下列问题中：(1)10(1)10本不同的书分给本不同的书分给1010名同学，每人一本；名同学，每人一本；(2)10(2)10位同学互通一次电话；位同学互通一次电话；(3)10(3)10位同学互通一封信；位同学互通一封信；(4)10(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段个没有任何三点共线的点构成的线段属于排列的有属于排列的有()A A1 1个个B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个解：解：(1)(3)(1)(3)是排列问题，是排列问题，(2)(4)(2)(4)不是排列
26、问题不是排列问题B B2 2用用1,2,3,41,2,3,4四个数字排成三位数，并把这些三位数四个数字排成三位数，并把这些三位数从小到大排成一个数列从小到大排成一个数列aan n(1)(1)写出这个数列的前写出这个数列的前1111项项.(2)(2)这个数列共有多少项这个数列共有多少项解：解：(1)111,112,113,114,121,122,123,124,(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.131,132,133.(2)(2)这个数列的项数就是用这个数列的项数就是用1,2,3,41,2,3,4排成三位数的个数，排成三位数的个数，每一位都有每一位都有4 4种排法，则共有种排法，则共有4 44 44 464(64(项项)排列排列按一定顺序排列按一定顺序排列取出元素取出元素不仅与选取的元素有关不仅与选取的元素有关而且与选取的元素排列顺序有关而且与选取的元素排列顺序有关定义判断技巧树状图布置作业：布置作业：1.完成课本完成课本P26 习题习题6.2第第5，9题；题；2.课时训练三。课时训练三。
