1、第七章第七章 随机变量及其分布随机变量及其分布 概率是随机事件发生可能性大小的度量概率是随机事件发生可能性大小的度量.在必修课程的概率学习中，在必修课程的概率学习中，我们结合我们结合古典概型古典概型，研究了，研究了简单随机事件及其概率的计算方法简单随机事件及其概率的计算方法，并讨论了，并讨论了概率的一些性质概率的一些性质.本章将在此基础上，结合古典概型，研究本章将在此基础上，结合古典概型，研究随机事件的条随机事件的条件概率件概率，建立，建立概率的乘法公式和全概率公式概率的乘法公式和全概率公式，并用它们计算较复杂事件的，并用它们计算较复杂事件的概率概率.为了利用数学工具，并以简洁、统一的形式研究
2、随机试验的规律，本为了利用数学工具，并以简洁、统一的形式研究随机试验的规律，本章我们还将把随机试验的结果数量化，引入章我们还将把随机试验的结果数量化，引入随机变量随机变量的概念的概念.对对离散型随离散型随机变量机变量，我们主要研究其，我们主要研究其分布列及数字特征分布列及数字特征，并对，并对二项分布、超几何分布二项分布、超几何分布进行重点研究进行重点研究.对于对于连续型随机变量连续型随机变量，我们只研究服从，我们只研究服从正态分布正态分布的情况的情况.通过用随机变量描述和分析随机试验，解决一些简单的实际问题，进一步通过用随机变量描述和分析随机试验，解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作
3、用及概率思想和方法的特点体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.7.1 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式7.1.1 条件概率条件概率 在必修在必修“概率概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件两个事件A与与B同时发同时发生生(积事件积事件AB)的概率的问题的概率的问题.当事件当事件A与与B相互独立相互独立时，有时，有 P(AB)P(A)P(B).如果事件如果事件A与与B不相互独立不相互独立，如何表示，如何表示积事件积事件AB的概率的概率呢呢?下面我们从具体问下面我们从具体问题入手题入手.问题问题1 某个班级有某个班级有 45名学生，其中男
4、生、女生的人数及团员的人数如下表所示名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示.团员团员非团员非团员合计合计男生男生16925女生女生14620合计合计301545在班级里随机选择一人做代表在班级里随机选择一人做代表.(1)选到男生的概率是多少选到男生的概率是多少?(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少?团员团员非团员非团员合计合计男生男生16925女生女生14620合计合计301545在班级里随机选择一人做代表在班级里随机选择一人做代表.(1)选到男生的概率是多少选到男生的概率是多少?(2)如果已知选到的是团员，那么
5、选到的是如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少男生的概率是多少?随机选择一人做代表，则随机选择一人做代表，则样本空间样本空间包含包含45个等可能的样本点个等可能的样本点.()255().()459n BP Bn (2)“在选到团员的条件下，选到男生在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是的概率就是“在事件在事件A发生的条件下，事发生的条件下，事件件B发生发生”的概率，记为的概率，记为P(B|A).此时相当于以此时相当于以A为样本空间为样本空间来考虑来考虑事件事件B发生的发生的概率概率，而在新的样本空间中，而在新的样本空间中事件事件B就是积事件就是积事件AB，包含的样本点数，包含的样
6、本点数n(AB)=16.根根据古典概型知识可知，据古典概型知识可知，()168(|).()3015n ABP B An A 条件概率条件概率用用A表示事件表示事件“选到团员选到团员”，B表示事件表示事件“选到男生选到男生”，根据表中的数据可得根据表中的数据可得n()=45,n(A)=30,n(B)=25.(1)根据古典概型知识可知，选到男生的概率为根据古典概型知识可知，选到男生的概率为 问题问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭、随机选择假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭、随机选择一个家庭，那么一个家庭，那么 (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大该
7、家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大?(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大?用用a表示男孩，表示男孩，b表示女孩，则表示女孩，则样本空间样本空间aa,ab,ba,bb，且所有样本点是且所有样本点是等可能的等可能的.()1().()4n BP Bn (2)“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是的概率就是“在事件在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生发生”的概率，记为的概率，记为P(B|A).此时此时A成为样本空间，成为样本空间，事
8、件事件B就是积事件就是积事件AB，根据古典概型知识可知，根据古典概型知识可知，()1(|).()3n ABP B An A 条件概率条件概率 用用A表示事件表示事件“选择的家庭中有女孩选择的家庭中有女孩”，B表示事件表示事件“选择的家庭中两个选择的家庭中两个小孩都是女孩小孩都是女孩”，则，则Aab,ba,bb，Bbb.(1)根据古典概型知识可得，两个小孩都是女孩的概率为根据古典概型知识可得，两个小孩都是女孩的概率为在上面两个问题中，在在上面两个问题中，在事件事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的概率发生的概率都是都是()(|).()n ABP B An A 这个结论对于一般的古典概
9、型仍然成立这个结论对于一般的古典概型仍然成立.事实上，如图所示，若已知事实上，如图所示，若已知事件事件A发生，则发生，则A成为成为样本空间样本空间.此时，事件此时，事件B发生的概率是发生的概率是AB包含的样包含的样本点数与本点数与A包含的样本点数的比值，即包含的样本点数的比值，即()(|).()n ABP B An A()()()()(|).()()()()n ABn ABP ABnP B An An AP An 在事件在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的概率还可以通过发生的概率还可以通过 来计算来计算.()()P ABP A条件概率：条件概率：一般地，设一般地，设A，B为两个
10、随机事件，且为两个随机事件，且P(A)0，我们称，我们称为为在事件在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称发生的条件概率，简称条件概率条件概率.()(|)()P ABP B AP A 由这个定义可知，对任意两个事件由这个定义可知，对任意两个事件A，B，若，若P(A)0，则有，则有我们称上式为为概率的我们称上式为为概率的乘法公式乘法公式.()()(|).P ABP A P B A 探究探究 在问题在问题1和问题和问题2中，都有中，都有P(B|A)P(B).一般地，一般地，P(B|A)与与P(B)不一不一定相等定相等.如果如果P(B|A)与与P(B)相等，那么事件相等，那
11、么事件A与与B应满足什么条件应满足什么条件?直观上看，当事件直观上看，当事件A与与B相互独立相互独立时，事件时，事件A发生与否不影响事件发生与否不影响事件B发生的概发生的概率，这等价于率，这等价于P(B|A)P(B)成立成立.事实上，若事实上，若事件事件A与与B相互独立相互独立，即，即P(AB)P(A)P(B)，且，且P(A)0，则，则()()()(|)().()()P ABP A P BP B AP BP AP A 反之，若反之，若P(B|A)P(B)，且，且P(A)0，则，则()()()P ABP BP A()()().P ABP A P B 即事件即事件A与与B相互独立相互独立.因此当因
12、此当P(A)0 时时，当且仅当事件，当且仅当事件A与与B相互独立相互独立时时，有，有P(B|A)P(B)成立成立.(1)“第第1次抽到代数题且第次抽到代数题且第2次抽到几何题次抽到几何题”就是事件就是事件AB.从从5道试题中每次不放道试题中每次不放回地随机抽取回地随机抽取2道，则道，则 例例1 在在5道试题中有道试题中有3道代数题和道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的道题，抽出的题不再放回题不再放回.求求:(1)第第1次抽到代数题且第次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率;(2)在第在第1次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的条件下，第
13、2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率.211532()5 420()3 26.nAn ABAA ,设设A“第第1次抽到代数题次抽到代数题”，B“第第2次抽到几何题次抽到几何题”.解：解：()63().()2010n ABP ABn (2)“在第在第1次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题次抽到几何题”的概率就是事件的概率就是事件A发生发生的条件下，事件的条件下，事件B发生的概率发生的概率.由于由于()351(|).()1032P ABP B AP A 123().205P A 1213()()(|).20210P ABP A P B A 或或()61(|).()122
14、n ABP B An A 或或已知第已知第1次抽到代数题，这时还余下次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各道试题，其中代数题和几何题各2道道.因此，事件因此，事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的概率为发生的概率为 例例1 在在5道试题中有道试题中有3道代数题和道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的道题，抽出的题不再放回题不再放回.求求:(1)第第1次抽到代数题且第次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率;(2)在第在第1次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率次抽到几何题的概率.解法
15、解法2：(在缩小的样本空间在缩小的样本空间A上求上求P(B|A)313()()(|).5210P ABP A P B A 3()5P A 又又,利利用用概概率率乘乘法法公公式式可可得得21(|).42P B A 设设A“第第1次抽到代数题次抽到代数题”，B“第第2次抽到几何题次抽到几何题”.第第1次抽到代数题且第次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为次抽到几何题的概率为3.10从例从例1可知，可知，求条件概率有两种方法求条件概率有两种方法：是基于样本空间是基于样本空间，先计算，先计算P(A)和和P(AB)，再，再利用条件概率公式利用条件概率公式求求P(B|A)；是根据条件概率的直观意义是根据条
16、件概率的直观意义,增加了增加了“A发生发生”的条件后的条件后,样本空间缩小为样本空间缩小为A,求求P(B|A)就是以就是以A为样本空间计算为样本空间计算AB的概率的概率.条件概率只是缩小了样本空间条件概率只是缩小了样本空间,因此因此条件概率同样具有概率的性质条件概率同样具有概率的性质.设设P(A)0，则条件概率的性质为：，则条件概率的性质为：(1)(|)1PA ；(2)(|)(|)(|)BCP BC AP B AP C A 如如果果 和和 是是两两个个互互斥斥事事件件,则则；(3)(|)1(|).BBP B AP B A 设设 和和 互互为为对对立立事事件件,则则 例例2 已知已知3张奖券中只
17、有张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随名同学依次不放回地各随机抽取机抽取1张张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?解：解：用用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则.BAB CAB ,1()3P A ，211()()()(|)323P BP ABP A P B A =.211()()()(|)323P CP ABP A P B A =.()()()P AP BP C 由由于于,所所以以中中奖奖的的概概率率与与抽抽奖奖的的次次序序无无关关.事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随
18、机抽取，事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关中奖的概率都与抽奖的次序无关.例例3 银行储蓄卡的密码由银行储蓄卡的密码由 6位数字组成位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后，忘记了密码的最后1位数字位数字.求求:(1)任意按最后任意按最后1位数字，不超过位数字，不超过2次就按对的概率；次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后如果记得密码的最后1位是偶数，不超过位是偶数，不超过2次就按对的概率次就按对的概率.解：解：(1)设设Ai“第第i次按对密码次按对密码”(i1,2)，则事件，则事件“不超过不超
19、过2次就按对密码次就按对密码”可表可表示为示为112.AAA A 112112()()()()()()P AP AP A AP AP A P A 1911101095 .112(|)(|)(|)P A BP ABP A AB 112.5因因此此,任任意意按按最最后后 位位数数字字,不不超超过过 次次就就按按对对的的概概率率为为 (2)设设B“最后最后1位密码为偶数位密码为偶数”，则，则14 1255 45 .212.5因因此此,记记得得最最后后 位位是是偶偶数数的的条条件件下下,不不超超过过 次次就就按按对对的的概概率率为为解：解：1.()0.3()0.6.(|)(|).ABP AP BP B
20、 AP A B 设设,且且,根根据据事事件件的的包包含含关关系系的的意意义义及及条条件件概概率率的的意意义义,直直接接写写出出和和的的值值,再再由由条条件件概概率率公公式式进进行行验验证证1(|)1(|).2ABP B AP A B ,课本课本48页页由由条条件件概概率率公公式式,得得()()(|)1()()P ABP AP B AP AP A ,()()1(|)()()2P ABP AP A BP BP B .由此可得，由此可得，()(|)1(|).()P AABP B AP A BP B 若若,则则,A发生，则发生，则B一定发生一定发生 2.从一副不含大小王的从一副不含大小王的52张扑克牌
21、中，每次从中随机抽出张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽张扑克牌，抽出的牌不再放回，已知第出的牌不再放回，已知第1次抽到次抽到A牌，求第牌，求第2次抽到次抽到A牌的概率牌的概率.设第设第1次抽到次抽到A牌为事件牌为事件A，第，第2次抽到次抽到A牌为事件牌为事件B，则，则解：解：()31(|).()5117n ABP B An A 在第在第1次抽到次抽到A牌的条件下，第牌的条件下，第2次抽到次抽到A牌的概率为牌的概率为1.17 3.袋子中有袋子中有10个大小相同的小球，其中个大小相同的小球，其中7个白球，个白球，3个黑球个黑球.每次从袋子中每次从袋子中随机摸出随机摸出1个球，摸出的球不再放
22、回个球，摸出的球不再放回.求求:(1)在第在第1次摸到白球的条件下，第次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；次摸到白球的概率；(2)两次都摸到白球的概率两次都摸到白球的概率.设第设第1次摸到白球为事件次摸到白球为事件A，第，第2次摸到白球为事件次摸到白球为事件B，则，则解：解：()62(1)(|).()93n ABP B An A 在第在第1次摸到白球的条件下，第次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为次摸到白球的概率为2.3727(2)()()(|).10315P ABP A P B A 两次都摸到白球的概率为两次都摸到白球的概率为7.15说说 明：明：概率概率P(B|A)与与P(AB
23、)的区别与联系：的区别与联系：联系：联系：事件事件A,B都发生了都发生了.区别：区别：(1)在在P(B|A)中，事件中，事件A,B发生有时间上的差异，发生有时间上的差异，A先先B后；在后；在P(AB)中，中，事件事件A,B同时发生同时发生.(2)样本空间不同，在样本空间不同，在P(B|A)中，事件中，事件A成为样本空间；在成为样本空间；在P(AB)中，样中，样本空间仍为本空间仍为.因此有因此有P(B|A)P(AB).小结：小结：1.条件概率：条件概率：在事件在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称发生的条件概率，简称条件概率条件概率，记作，记作()(|)()P ABP B AP A 由条件概率公式可得由条件概率公式可得2.乘法公式：乘法公式：()()(|).P ABP A P B A
