1、8.2.1 一元线性回归模型一元线性回归模型8.2 一元线性回归模型及其应用一元线性回归模型及其应用通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相散点图和样本相关系数关系数，可以，可以推断两个变量是否存在相关关系推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关是正相关还是负相关，以，以及及线性相关程度的强弱线性相关程度的强弱等等.进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型适当的统计模型刻画两个随机变量的刻画两个随机变
2、量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测并通过模型进行预测.下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题模型，并利用模型进行预测的问题.生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间
3、的为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示.编号编号1234567891011121314父亲身高父亲身高/cm174170173169182172180172168166182173164180儿子身高儿子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182利用前面表示数据的方法，以横轴表利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为坐
4、标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图，如右图所示散点图，如右图所示.由图可知散点大致分布在一条从左下由图可知散点大致分布在一条从左下角到右，上角的直线附近，表明角到右，上角的直线附近，表明儿子身儿子身高和父亲身高线性相关高和父亲身高线性相关.利用统计软件，求得样本相关系数为利用统计软件，求得样本相关系数为r0.886，表明，表明儿子儿子身高和父亲身高正线性相关身高和父亲身高正线性相关，且，且相关程度较高相关程度较高.思考思考1 根据数据，父子的身高之间的关系可以用函数模型刻画吗根据数据，父子的身高之间的关系可以用函数模型刻画吗?儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，故不能用函数模型刻画儿子身
5、高和父亲身高之间不是函数关系，故不能用函数模型刻画.但由于父但由于父子的身高有较强的子的身高有较强的线性相关线性相关，因此我们可以用，因此我们可以用一次函数一次函数来刻画父亲身高对儿子来刻画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素作为身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素作为随机误差随机误差，得到刻画两个变量，得到刻画两个变量之间关系的之间关系的线性回归模型线性回归模型.若用若用x表示父亲身高，表示父亲身高，Y表示儿子身高，表示儿子身高，e表示随机误表示随机误差差.假定随机误差假定随机误差e的均值为的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值，方差为与父亲身高无关的定值2，则它们之间的，
6、则它们之间的关系可以表示为关系可以表示为2(1)()0().YbxaeE eD e ，我们称我们称(1)式为式为Y关于关于x的的一元线性回归模型一元线性回归模型.其中，其中，Y称为称为因变量因变量或或响应变量响应变量，x称为称为自变量自变量或或解释变量解释变量；a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，a称为称为截距参数截距参数，b称为称为斜率斜率参数参数；e是是Y与与bx+a之间的之间的随机误差随机误差.模型中的模型中的Y也是也是随机变量随机变量，其值虽不能由变，其值虽不能由变量量x的值确定，但却能表示为的值确定，但却能表示为bx+a与与e的和，前一部分由的和，前一部分由x所确定，后一部分
7、是随所确定，后一部分是随机的机的.如果如果e=0，那么，那么Y与与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.思考思考2 结合具体实例解释产生模型结合具体实例解释产生模型(1)中随机误差项的原因吗中随机误差项的原因吗?2(1)()0().YbxaeE eD e ，在研究儿子身高与父亲身高的关系时，在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差产生随机误差e的原因有的原因有:(1)除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等；生活环境、饮食习惯和锻炼时间等；(2)
8、在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差；在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差；(3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差差e的原因的原因.在一元线性回归模型在一元线性回归模型ybxae中，中，随机误差随机误差e产生的原因有产生的原因有：1.所用的确定性函数不恰当引起的误差；所用的确定性函数不恰当引起的误差；2.忽略了某些因素的影响；忽略了某些因素的影响；
9、3.存在观测误差存在观测误差总结：总结：例题例题 若某地财政收入若某地财政收入x与支出与支出y满足一元线性回归模型满足一元线性回归模型ybxae(单元：单元：亿元亿元)，其中，其中b0.7，a3，|e|0.5，如果今年该地区财政收入，如果今年该地区财政收入10亿元，年亿元，年支出预计不会超过支出预计不会超过多少？多少？解：解：因为财政收入因为财政收入x与支出与支出y满足一元线性回归模型满足一元线性回归模型ybxae，其中其中b0.7，a3，所以得到，所以得到 y0.7 x3e，当当x10时，得时，得y0.7103e10e，而而|e|0.5，即，即0.5e0.5，所以，所以9.5y10.5，所以
10、年支出预计不会超过所以年支出预计不会超过10.5亿元亿元课本课本107页页 1.说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归模型的例子模型的例子.解：解：函数模型刻画的是变量之间具有的函数关系，是一种确定性的关系函数模型刻画的是变量之间具有的函数关系，是一种确定性的关系.回归模型刻画的是变量之间具有的相关关系，不是一种确定性的关系，回归模型刻画的是变量之间具有的相关关系，不是一种确定性的关系，即回归模型刻画的是两个变量之间的随机关系即回归模型刻画的是两个变量之间的随机关系.例如，路程与速度的关系、正方体体积与边长的
11、关系可以应用函数模例如，路程与速度的关系、正方体体积与边长的关系可以应用函数模型刻画；体重与身高的关系、冷饮销量与气温的关系可以应用回归模型型刻画；体重与身高的关系、冷饮销量与气温的关系可以应用回归模型刻画刻画.课本课本107页页2.在一元线性回归模型在一元线性回归模型(1)中，参数中，参数b的含义是什么的含义是什么?解：解：参数参数b的含义可以解释为解释变量的含义可以解释为解释变量x对响应变量对响应变量Y的均值的影响，变的均值的影响，变量量x每增加每增加1个单位，响应变量个单位，响应变量Y的均值将增加的均值将增加b个单位个单位.例如，教科书中父亲身高为例如，教科书中父亲身高为175 cm的儿
12、子身高的均值比父亲身高为的儿子身高的均值比父亲身高为174cm的儿子身高的均值高出的儿子身高的均值高出0.839cm.注意：因为响应变量注意：因为响应变量Y最终取值，除了受变量最终取值，除了受变量x的影响，还要受随机的影响，还要受随机误差误差e的影响，所以不能解释成解释变量的影响，所以不能解释成解释变量x每增加一个单位，响应变量每增加一个单位，响应变量Y增加增加b个单位个单位.解：解：不能不能.一是父亲的身高与儿子的身高之一是父亲的身高与儿子的身高之间是随机关系，不是函数关系；间是随机关系，不是函数关系；二是这组数据仅是总体的一个样二是这组数据仅是总体的一个样本，不一定能很好地描述两个变量本，
13、不一定能很好地描述两个变量之间的关系之间的关系.课本课本107页页3.将图将图8.2-1中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是一个折线图，可以用这条折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？一个折线图，可以用这条折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？小结：小结：一元线性回归模型：一元线性回归模型：2()0().YbxaeE eD e ，其中，其中，Y称为称为因变量因变量或或响应变量响应变量，x称为称为自变量自变量或或解释变量解释变量；a和和b为模型的为模型的未知参数，未知参数，a称为称为截距参数截距参数，b称为称为斜率参数斜率参数；e是是Y与与bx+a之间的之间的随机误差随机误差.
