1、7.4二项分布与 超几何分布第七章随机变量及其分布目录二、知识讲解三、小结四、练习一、上节回溯一、上节回溯离散型随机变量的数字特征方差均值二、知识讲解7.4.1二项分布在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials）我们将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验显然，n 重伯努利试验具有如下共同特征：（1）同一个伯努利试验重复做 n 次；（2）各次试验的结果相互独立二
2、、知识讲解 下面 3 个随机试验是否为 n 重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为 A，那么 A 的概率是多大？重复试验的次数是多少？（1）抛掷一枚质地均匀的硬币 10 次（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为 0.8，连续射击 3 次（3）一批产品的次品率为 5%，有放回地随机抽取 20 件？思考二、知识讲解在伯努利试验中，我们关注某个事件 A 是否发生，而在 n 重伯努利试验中，我们关注事件 A 发生的次数 X进一步地，因为 X 是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列例如，对产品抽样检验，随机抽取 n 件，我们关心样本中不合格
3、品数的概率分布列某飞碟运动员每次射击中靶的概率为 0.8连续 3 次射击，中靶次数 X 的概率分布列是怎样的？探究二、知识讲解用 Ai 表示“第 i 次射击中靶”(i1，2，3)，用如图 7.4-1 的树状图表示试验的可能结果A1A2A2A3A3A3A3A1A2A3110122230.20.20.20.20.20.20.20.80.80.80.80.80.80.8图 7.4-1试验结果 X 的值二、知识讲解二、知识讲解 如果连续射击 4 次，类比上面的分析，表示中靶次数 X 等于 2 的结果有哪些？写出中靶次数 X 的分布列？思考二、知识讲解一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A
4、 发生的概率为 p(0p1)，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？二、知识讲解例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷 10 次，求：（1）恰好出现 5 次正面朝上的概率；（2）正面朝上出现的频率在 0.4，0.6 内的概率分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个 10 重伯努利试验因此，正面朝上的次数服从二项分布二、知识讲解图 7.4-2二、知识讲解分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可
5、能结果，且概率都是 0.5在下落的过程中，小球共碰撞小木钉 10 次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个 10 重伯努利试验小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此 X 服从二项分布PX001 2 3100.150.05图 7.4-30.100.204 5 6 7 8 90.250.30二、知识讲解例3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，那么采用 3 局 2 胜制还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利？分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为
6、若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有 n 局，把 n 局比赛看成 n 重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率为什么假定赛满 3 局或 5 局，不影响甲最终获胜的概率？二、知识讲解对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差等数字特征因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的 一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：（1）明确伯努利试验及事件 A 的意义，确定事件 A 发生的概率 p；（2）确定重复试验的次数 n，并判断各次试验的独立性；（3）设 X 为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，则 XB
7、(n，p)归纳二、知识讲解假设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，那么 X 的均值和方差各是什么？探究我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为 0.5，如果掷 100 次硬币，期望有 1000.550 次正面朝上根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量 X，我们猜想 E(X)np我们不妨从简单开始，先考察 n 较小的情况（1）当 n1 时，X 服从两点分布，分布列为P(X0)1p，P(X1)p均值和方差分别为 E(X)p，D(X)p(1p)二、知识讲解二、知识讲解二、知识讲解7.4.2超几何分布问题已知 100 件产品中有 8 件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取
8、 4 件设抽取的 4 件产品中次品数为 X，求随机变量 X 的分布列我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为 0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时 X 服从二项分布，即 XB(4，0.08)如果采用不放回抽样，那么抽取的 4 件产品中次品数 X 是否也服从二项分布？如果不服从，那么 X 的分布列是什么？思考二、知识讲解采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是 0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合 n 重伯努利试验的特征，因此 X 不服从二项分布计算结果数时，考虑抽取的次序和不考虑抽取的次序，对分布列的计算有影响吗？为什么？二、知识讲解计算的具
9、体结果（精确到 0.000 01）如表 7.4-1 所示表 7.4-11023XP0.256 210.712 570.029 890.001 3140.000 02一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品从 N 件产品中随机抽取 n 件（不放回），用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为其中 n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布（hypergeometric distribution）二、知识讲解二、知识讲解二、知识讲解服从超几何分布的随机变量的均值是什么？探究
10、二、知识讲解二、知识讲解例6一个袋子中有 100 个大小相同的球，其中有 40 个黄球、60 个白球，从中随机地摸出 20 个球作为样本用 X 表示样本中黄球的个数（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求 X 的分布列；（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过 0.1 的概率分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验摸出 20 个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，XB(20，0.4)；而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X 服从超几何分布三、小结二项分布与超几何分布超几何分布二项分布n 重伯努利试验伯努利试验1将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 4 次，X 表示“正面朝上”出现的次数（1）求 X 的分布列；（2）E(X)_，D(X)_四、练习四、练习2鸡接种一种疫苗后，有 80%不会感染某种病毒如果 5 只鸡接种了疫苗，求：（1）没有鸡感染病毒的概率；（2）恰好有 1 只鸡感染病毒的概率答案：（1）32.768%；（2）40.96%四、练习3判断下列表述正确与否，并说明理由：（1）12 道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数 XB(12，0.25)；（2）100 件产品中包含 10 件次品，不放回地随机抽取 6 件，其中的次品数 YB(6，0.1)答案：（1）正确；（2）错误四、练习四、练习
