1、6.1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 高二数学选择性必修 第三册 第六章 计数原理学习目标1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与 分步乘法计数原理;2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据 具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.4.核心素养:数学建模、数学运算。2015年上海车展一、情景问题2015年上海车展一、情景问题 引例:随着人们生活水平的提高，某市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出
2、现.3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举法一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大，列举的效率不高，能否设计巧妙的“数法”以提高效率呢？22464000 1.问题1:用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？二、探究新知因为英文字母共有26个,阿拉伯数字09共有10个,所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.探究:你能说说这个问题的特征吗?上述问题中,最重要的特征是“或”字的出现:每个座位可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字编号，由于英文字母、阿拉伯数字各不相同，因此
3、用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也是各不相同的.上述计数过程的基本环节是字母号码和数字号码两类：(1).确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类;(2).分别计算各类号码的个数;(3).各类号码的个数相加,得出所有号码的个数.完成一件事，有两类办法.在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类方法中有n种不同的方法，则完成这件事共有:N=m+n种不同的方法 3.问题2.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有 4 班,汽车有2班,轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:从甲地到乙地有3类方法,第一类方法,乘火
4、车，有4种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法;所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。4.探究：如果完成一件事有三类不同方案,在 第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方 案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方案?如果完成一件事有n类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?Nm1m2m3 如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为:Nm1m2mn一般结论：2).首先要根据
5、具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.1).各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事,要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类加法计数原理又称加法原理1.例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到,A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1.如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？解:这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有:N=5+49种。三、巩固新知A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学表6.1-1 在这个问题中,号码必须由一个英文
6、字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤用下图可以列出所有可能的号码.2思考:用前6个大写英文字母和19这9个阿拉伯数字，以A1，A2，B1，B2,的方 式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码？字母 数字 得到的号码 A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9树形图 我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母的任意一个都能和9个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有69=54个不同的号码.探究:你能说说这个问题的特征吗?上述问题中，最重要的特征是“和”字的出现：每个座位由一个英文字母和一
7、个阿拉伯数字构成,每个英文字母与不同的数字组成的号码是各不相同的.完成一件事，需要两个步骤:做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事共有:N=mn种不同的方法 4.例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步,选男生；第二步,选女生根据分步计数原理，共有 3024=720种不同方法.巩固新知解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；5.探究：如果完成一件事有三个步骤,做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种
8、不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?Nm1m2m3 如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？Nm1m2mn一般结论：2).首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.1).各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理 加法原理 乘法原理联系区别一完成一件事情共有n类办法，关键词是
9、“分类”完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能独立完成这件事情。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三各类办法是互斥的、并列的、独立的各步之间是相关联的8.理解新知:分类计数与分步计数原理的区别和联系9.例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?N43+29 N4 3224(1)从
10、书架上任取1本书,有多少种不同的取法?三、巩固新知解：需先分类再分步.(3).从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法?根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=43+42+32=26第一类：从一、二层各取一本，有43=12种方法；第二类：从一、三层各取一本,有42=8种方法；第三类：从二、三层各取一本,有32=6种方法；答:从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.1).某城市的部分电话号码是0632-369,后面每个数字来自09这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?2).若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?0632-36910101010=104分析:分析:
11、=50401098710.变式训练 11.(引例问题)随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？共能给:26252410982 =22464000 辆汽车上牌照.四、课堂小结相同点:回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各 种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事作业:课本P6 练习 3,4 题
