1、组合定义组合定义:一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m（mnmn）个）个元素元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的一个元素的一个个组合组合排列定义排列定义:一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个个元素，元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n n 个不同元素个不同元素中取出中取出 m m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点:都要都要“从从n n个不同元素中任取个不同元素中任取m m个元素个元素”不同点不同点:排列排列与元素的顺序有关，
2、与元素的顺序有关，而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关.概念讲解概念讲解 从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m（mnmn）个元素的所）个元素的所有组合的个数，叫做从有组合的个数，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个个元素的元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.mnC233C 246C 如如:从从 a,b,ca,b,c三个不同的元素中取出两个元素的三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是所有组合个数是:如如:已知已知4 4个元素个元素a a、b b、c c、d,d,写出每次取出两个元素写出每次取出两个元素的所有组合个数是：的所有组合个数是：概念
3、讲解概念讲解组合数组合数:是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnC根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此：一般地，求从一般地，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的排个元素的排列数，可以分为以下列数，可以分为以下2步：步：nm 第第1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素个元素的组合数的组合数 mnCnm第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 mmAmmmmnmnACA()()()m mm mn nn nm mm mn n1 n2nm1n n1 n2nm1A
4、AC CAm!Am!-+-+=这里 ，且 ，这个公式叫做*Nnm、nm m mm mn nn nm mm mn!n!A An!n!(nm)!(nm)!C CAm!m!(nm)!Am!m!(nm)!-=-01规定：nC例例5 5：平面内有平面内有A A，B B，C C，D D共共4 4个点个点.（1 1）以其中）以其中2 2个点为端点的有向线段共有多少条？个点为端点的有向线段共有多少条？（2 2）以其中）以其中2 2个点为端点的线段共有多少条？个点为端点的线段共有多少条？分析分析：（1 1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；点
5、，还要考虑他们的顺序是排列问题；（2 2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题考虑它们的顺序是组合问题.1.1.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，(1)(1)列出所有各场比赛的双方；列出所有各场比赛的双方；（2)2)列出所有冠亚军的可能情况列出所有冠亚军的可能情况.（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1)(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、
6、乙丁、丙丁解：解：请看课本请看课本P22P22：练习：练习组合问题组合问题排列问题排列问题例例6 6：计算：（计算：（1 1）；（2 2）；（；（3 3）；（；（4 4）310C710C1010C010C解：解：120!38910)1(33310310AAC120!38910!3!7!78910)!710(!7!10)2(710C1!10!10)3(101010101010AAC1)4(010C追问：追问：分别观察例中（分别观察例中（1 1）与（）与（2 2），（），（3 3）与（）与（4 4）的结果，）的结果，你有什么发现和猜想？你有什么发现和猜想？0101010710310CCCC；组组
7、合合 数数 性性 质质：mnmnn1CC 证明：证明：所所以以 n mnmmn mnnnn!n!C,(nm)!(nm)!n!C,CC(nm)!n(nm)!m!m 组组 合合 数数 性性 质质：mnmnn1CC 组组合合数数性性质质：mmm1n1nnCCC2 证明：证明：mm 1nnmn 1n!n!CC(nm)!m!(m1)!n(m1)!(n1)!Cm!(n1m)!计计算算：2732326976851.(1)C;(2)C;(3)CC;(4)3C2C 解：解：26797299327632856 5(1)15;2 19!9 8 79 8(2)36;7!(97)7!229 836;2(3)35 152
8、0;(4)323 562 10148CCCCCCCC ！或！；nn12mn mnmn mnCCnmCC组合数性质：当时，通常将转化为进行计算 请看课本请看课本P25P25：练习：练习1 1例例7 7：在在100100件产品中，有件产品中，有9898件合格品，件合格品，2 2件次品件次品.从这从这100100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3 3件件.（1 1）有多少种不同的抽法？）有多少种不同的抽法？（2 2）抽出的）抽出的3 3件中恰好有件中恰好有1 1件是次品的抽法有多少种？件是次品的抽法有多少种？（3 3）抽出的）抽出的3 3件中至少有件中至少有1 1件是次品的抽法有多少种？件是次品的抽
9、法有多少种？分析分析：（1 1）所求的不同抽法的种数，就是从）所求的不同抽法的种数，就是从100100件产品中件产品中取出取出3 3件的组合数；件的组合数；（2 2）分两步，第一步从）分两步，第一步从2 2件次品中抽出件次品中抽出1 1件次品，第二步件次品，第二步从从9898件合格品中抽出件合格品中抽出2 2件合格品，由乘法原理可得；件合格品，由乘法原理可得；（3 3）可从反面考虑，其反面是抽出的）可从反面考虑，其反面是抽出的3 3件全是合格品，求件全是合格品，求出方法数后，由第（出方法数后，由第（1 1）题的结论减去这个结果即可得）题的结论减去这个结果即可得 有限制条件的组合问题：有限制条件
10、的组合问题：例例7 7：在在100100件产品中，有件产品中，有9898件合格品，件合格品，2 2件次品件次品.从这从这100100件产品件产品中任意抽出中任意抽出3 3件件.（1 1）有多少种不同的抽法？）有多少种不同的抽法？（2 2）抽出的）抽出的3 3件中恰好有件中恰好有1 1件是次品的抽法有多少种？件是次品的抽法有多少种？（3 3）抽出的）抽出的3 3件中至少有件中至少有1 1件是次品的抽法有多少种？件是次品的抽法有多少种？例例8 8：(1)6(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？平均分组平均分组：典例分
11、析：典例分析：(2)6(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？(3(3）6 6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？一份三本，有多少种方法？(4)6(4)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？三本，有多少种不同的方法？典例分析：典例分析：不不平均分组平均分组：（5 5）6 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少
12、种不同的方法？一本，有多少种不同的方法？所以一共有所以一共有90903603609090540(540(种种)方法方法.典例分析：典例分析：分配问题：分配问题：将将4 4个编号为个编号为1 1，2 2，3 3，4 4的小球放入的小球放入4 4个编号为个编号为1 1，2 2，3 3，4 4的盒子中的盒子中.(1)(1)有多少种放法？有多少种放法？(2)(2)每盒至多每盒至多1 1个球，有多少种放法？个球，有多少种放法？(3)(3)恰好有恰好有1 1个空盒，有多少种放法？个空盒，有多少种放法？(4)(4)每个盒内放每个盒内放1 1个球，并且恰好有个球，并且恰好有1 1个球的编号与盒个球的编号与盒子
13、的编号相同，有多少种放法？子的编号相同，有多少种放法？(5)(5)把把4 4个不同的小球换成个不同的小球换成4 4个相同的小球，恰有一个个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？空盒，有多少种放法？学以致用：学以致用：解：(1)每个小球都可能放入每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有一个放入盒子，共有444444256(种种)放法放法.m mm mn nn nm mm mn n!A An n!(n nm m)!C CA Am m!m m!(n nm m)!-=-从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m（mnmn）个元素的所）个
14、元素的所有组合的个数，叫做从有组合的个数，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个个元素的元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.mnC课堂小结：课堂小结：1.1.组合数：组合数：组组 合合 数数 性性 质质：mnmnn1CC 组组合合数数性性质质：mmm1n1nnCCC2 当当时时，通通 常常 将将转转 化化 为为进进 行行 计计 算算mnmnnnmCC2 2.2.组合数公式的应用组合数公式的应用.“分组分组”与与“分配分配”问题的解法问题的解法(1)(1)分组问题属于分组问题属于“组合组合”问题，常见的分组问问题，常见的分组问题有三种：题有三种：完全均匀分组完全均匀分组部分均匀分组部分均匀分组完全非均匀分组完全非均匀分组.(2)(2)分配问题属于分配问题属于“排列排列”问题问题.课堂小结：课堂小结：
