1、F佳 完成一件事，有两类不同的方案，在第完成一件事，有两类不同的方案，在第1类方案中有类方案中有 m 种种不同的方法，在第不同的方法，在第 2 类方案中有类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这种不同的方法，那么完成这件事共有：件事共有：完成一件事，需要两个步骤，做第完成一件事，需要两个步骤，做第1步有步有m种不同的方法，种不同的方法，做第做第2步有步有n种不同的方法种不同的方法,那么完成这件事共有：那么完成这件事共有：nmN 种不同的方法种不同的方法nmN 种不同的方法种不同的方法 在上节例在上节例8的解答中我们看到，用分步的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重乘法计数
2、原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐能否对这类计数问复性工作而显得烦琐能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢题给出一种简捷的方法呢?为此，先来分析为此，先来分析两个具体的问题两个具体的问题问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活动，其中名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？不同的选法？问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成一个三位个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？数，共可得到多少个不同的三位数？上
3、面两个问题有什么共同特征？可以用上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？怎样的数学模型来刻画？问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？分析:要完成的一件事情是“选出2名同学参加活动,1名参上午的活动,另1名参加下午的活动”,可以分步完成.解:从3名同学中选出2名同学参加活动，1名上午,另1名下午,可以分两个步骤完成:第1步,确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人,有3种选法；第2步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人去选,有2种选法.根据分
4、步乘法计数原理,不同选法的种数N=32=6.6种选法如图6.2-1所示问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？探究：若把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题就可以叙述为：从3个不同的元素a,b,c中任取2个,然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？不同的排列:ab,ac,ba,bc,ca,cb不同的排列方法种数:N=32=6.参加上午的活动在前，参加下午的活动在后.问题问题2、从从1,2,3,4这这4个数字中，每次取出个数字中，每次取出3个排成一个三位数，个排成一个三位数，共可得到多少个不同
5、的三位数？共可得到多少个不同的三位数？采取画树图的办法，我们可以知道共有以下采取画树图的办法，我们可以知道共有以下24个不同的三个不同的三位数：位数：这与运用分步乘法计数原理得到的结果是一致的：这与运用分步乘法计数原理得到的结果是一致的：432=24 探究:从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个,然后按照一定的 顺序排成一列 共有多少种不同的排列方法？提示：所有不同的排列是：abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.不同的排列方法种数:N=4
6、32=24.提示：按“百位、十位、个位”的顺序.问题问题1 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加名参加某天的一项活动某天的一项活动,其中其中1名参加上午的名参加上午的活动活动,1名参加下午的活动名参加下午的活动,有哪些不同有哪些不同的排法的排法?原问题即：原问题即：从从3名同学中名同学中,任取任取2名名,按参加上午的活动在前按参加上午的活动在前,下午下午的活动在后的顺序排成一列的活动在后的顺序排成一列,有哪些不同的排法？有哪些不同的排法？实质是：实质是：从从3个不同的元素中个不同的元素中,任取任取2 2个个,按一定的顺序排成一按一定的顺序排成一列列,有哪些不同的排法？有哪
7、些不同的排法？问题问题2 从从a,b,c,d这这4个字母中个字母中,每次取出每次取出3个按顺序排成一列个按顺序排成一列,写出所有不同写出所有不同的排法的排法.原问题即：原问题即：从从4个不同的字母中个不同的字母中,任取任取3个个,按照左边按照左边,中间中间,右边的右边的顺序排成一列顺序排成一列,写出所有不同的写出所有不同的排法排法.实质是：实质是：从从4个不同的元素中个不同的元素中,任任取取3个个,按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列,写出所有不同的排法写出所有不同的排法.一般地说一般地说,从从n个不同的元素中个不同的元素中,任取任取m(mn)个元素个元素,按照按照一定一定的顺序排成一
8、列的顺序排成一列,叫做从叫做从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素的个元素的一个一个排列排列.注意：注意：1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素复元素，也没有重复抽取相同的元素2.排列的定义中包含两个基本内容：一是排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素取出元素”；二是；二是“按照一定顺序排列按照一定顺序排列”“一定顺序一定顺序”就是与位置有关，这也就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志是判断一个问题是不是排列问题的重要标志 注意：注意：3.根据排列的定义，根
9、据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同也就是说，也就是说，如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列不同，那么也是不同的排列(区别集合的无序性区别集合的无序性)一般地说一般地说,从从n个不同的元素中个不同的元素中,任取任取m(mn)个元素个元素,按照按照一定一定的顺序排成一列的顺序
10、排成一列,叫做从叫做从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素的个元素的一个一个排列排列.注意：注意：4.如果如果mn，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列），这样的排列（也就是只选一部分元素作排列），叫做叫做选排列选排列；如果；如果mn，这样的排列（也就是取出所有元素，这样的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做作排列），叫做全排列全排列一般地说一般地说,从从n个不同的元素中个不同的元素中,任取任取m(mn)个元素个元素,按照按照一定一定的顺序排成一列的顺序排成一列,叫做从叫做从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素的个元素的一个一个排列排列.5 5、为了使写出的所有排列情况
11、既不重复也不遗漏，可以采用、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用“树形图树形图”。思维辨析（对的打，错的打）（1）1，2，3与3，2，1为同一排列.（）（2）有12名学生参加植树活动，要求3人一组，分组方案的种数属于排列问题.（）（3）从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列.（）（4）从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题.（）例1.某省中学生足球赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场 分别 比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？分析:每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选2支，按“主队、客队”的顺序
12、排成一个排列.解:可以先从6支队选1支队为主队，然后从剩下的5支队中选1支队为客队，按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为:65=30.例2.(1).一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？分析:3名同学每人从5盘不同菜中取1盘菜，可看作从5盘菜中任取3盘放在3个位置(给3名同学)的一个排列；解:(1).可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲,然后从剩下4盘菜中取1盘给同学乙,最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为:543=60.例2.(2).学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不
13、同的选法？.分析:3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.(2).可以先让同学甲从5种菜中选1种,有5种选法;再让同学乙从从5种菜中选1种，有5种选法;最后让同学丙从5种菜中选1种,有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为:555=125.课本P16 练习 11.写出：（1）用04这个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；（2）从,b,中取出个字母的所有排列。课本P17 练习 22.一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序?课本P17 练习 33.学校乒乓团体比赛采用5场3胜制（5场单打），每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名
14、运动员各出场1次，其中第1，2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次。（1）从5名运动员中选3名参加比赛，前三场比赛有几种出场情况。（2）甲乙丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况。写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法。（1）从100个两两互质的数中取出2个数，求其商的个数;（2）求由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数;（3）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4 名大学生全部被分配完毕，求其分配方案的个数.甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为（）A.
15、6 B.4 C.8 D.10某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，则不同的播放方式有（）A.12种 B.16种 C.18种 D.24种2020北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查 El馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为_.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有_种不同的招聘方案（用数字作答）.一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（arrangement）.1.排列的定义：2、排列问题的判断方法：(1)元素的无重复性 (2)元素的有序性判断关键是看选出的元素有没有顺序要求.3、利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围:“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式.(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列F 佳
