1、杨辉三角的性质与应用第六章计数原理目录知识讲解知识讲解在探究(ab)n 的展开式的二项式系数性质时，我们曾把系数写成一张表（图 1），借助它发现了系数的一些规律事实上，在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书中，就已经出现了这个表所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示，在那本书里是用汉字表示（图 2）我们称这个表为杨辉三角知识讲解图 1一一一左积右隅二一一三三一一四四六一一五五十十一一六六十五十五二十一一本积商除平方立方三乘四乘五乘命实而除之以廉乘商方中藏者皆廉右袤乃隅算左袤乃积数图 2知识讲解杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有详解九章算法日用算法和杨辉算法在编写这些
2、算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解许多已经失传的数学方法杨辉在详解九章算法里指出，杨辉三角这种方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约11世纪）曾用过由此可以推断，我国发现这个表不晚于11世纪在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题下面让我们一起来探索吧！知识讲解知识讲解图 3知识讲解111211331146411510 10115615
3、 20 15611图 4知识讲解知识讲解（二）杨辉三角的应用在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题等例如，开方古算题（出自杨辉详解九章算法）：积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何在我国清中叶以前，称平方为自乘，立方为再自乘，四次方为三乘方因此，这个问题相当于解方程 x41 336 336杨辉三角（图 2）中的五句话，前三句“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉”分别说明了图中数字代表的意义，后两句“以廉乘商方，命实而除之”说明了如何应用各行系数进行开方知识讲解你可以查阅相关书籍或上网搜索相关资料，探究一下开方算法的具体操作及其中蕴含的算法思想，感受我国古
4、代数学的独特风格再如，数列古算题（出自杨辉详解九章算法）：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何在我国古代，很多数学家研究数列的问题，并取得了辉煌的成就就像通过研究“三角垛”这样的一类问题垛积问题，发现了一系列数列的求和公式上述三角垛问题一般化后，就相当于如下将圆球堆成三角垛的问题：底层是每边堆 n 个圆球的三角形（如图 5），向上逐层每边减少 1 个，顶层是 1 个，求总数图 5知识讲解利用杨辉三角，就可以解决以上问题，并获得每层圆球数所构成的数列的一般求和公式你可以试一试除此之外，你还可以通过查阅相关书籍或上网搜索相关资料，从杨辉三角出发，一步步探究，拓展到更多类数列的问题二、对探究活动的要求以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动建议按如下步骤完成：1小组集体讨论探究方案，确定研究思路2小组成员各自开展独立探究，并以专题作业的形式撰写研究报告3小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告4全班进行成果交流、评价知识讲解三、研究报告的参考形式杨辉三角的性质与应用_年级_班完成时间：_1课题组成员及分工2发现的数学结论及发现过程概述知识讲解3证明思路及其形成过程描述4结论的证明或否定5杨辉三角的应用举例6收获与体会
