1、6.2排列与组合第六章计数原理目录二、知识讲解三、小结四、练习一、上节回溯一、上节回溯区别分类加法计数原理应用概念分步乘法计数原理应用概念二、知识讲解6.2.1排列问题1从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另 1 名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？此时，要完成的一件事是“选出 2 名同学参加活动，1 名同学参加上午的活动，另 1 名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种选法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的
2、2 人中去选，有 2 种选法根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为326二、知识讲解这 6 种不同的选法如图 6.2-1 所示如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从 3 个不同的元素 a，b，c 中任意取出 2 个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，ca，cb，不同的排列方法种数为326上午下午相应的选法甲乙丙甲丙甲乙丙乙甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙图 6.2-1问题 1 中的“顺序”是什么？二、知识讲解问题2从 1，2，3，4 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？显然，从 4 个
3、数字中，每次取出 3 个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分三个步骤来解决这个问题：第 1 步，确定百位上的数字，从 1，2，3，4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字二、知识讲解只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法根据分步乘法计数原理，从 1，2，3，4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百位、十位、个位
4、”的顺序排成一列，不同的排法种数为43224因而共可得到 24 个不同的三位数，如图 6.2-2 所示123百位42343 4个位十位2 42313图 6.2-2444444111111112222223 3333二、知识讲解由此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432同样，问题 2 可以归结为：从 4 个不同的元素 a，b，c，d 中任意取出 3 个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是二、知
5、识讲解abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb不同的排列方法种数为43224问题 2 中的“顺序”是什么？上述问题 1，2 的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？思考二、知识讲解问题 1 和问题 2 都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列（arrangement）根据排列的定义，两
6、个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同例如，在问题 1 中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列；“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列又如，在问题 2 中，123 与 134 的元素不完全相同，它们是不同的排列；123 与 132 虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列二、知识讲解例1某省中学生足球赛预选赛每组有 6 支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛 1 场，那么每组共进行多少场比赛？分析：每组任意 2 支队之间进行的 1 场比赛，可以看作是从该组 6 支队中选取2 支
7、，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列二、知识讲解例2（1）一张餐桌上有 5 盘不同的菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中各取 1 盘菜，共有多少种不同的取法？（2）学校食堂的一个窗口共卖 5 种菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？分析：3 名同学每人从 5 盘不同的菜中取 1 盘菜，可看作是从这 5 盘菜中任取3 盘，放在 3 个位置（给 3 名同学）的一个排列；而 3 名同学每人从食堂窗口的 5 种菜中选 1 种，每人都有 5 种选法，不能看成一个排列二、知识讲解6.2.2排列数二、知识讲解探究第 1 位第 2 位n 种(n1)种图 6.2-3二、知识讲解二、知识
8、讲解第 1 位第 2 位第 3 位第 m 位n 种(n1)种(n2)种(nm1)种图 6.2-4二、知识讲解二、知识讲解你能说一下排列数公式的特点吗？二、知识讲解另外，我们规定，0!1二、知识讲解二、知识讲解？思考二、知识讲解例4用 09 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在 09 这 10 个数字中，因为 0 不能在百位上，而其他 9 个数字可以在任意数位上，因此 0 是一个特殊的元素一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题百位十位个位图 6.2-5二、知识讲解百位 十位个位图 6.2-6百位 十位个位百位 十位个位00二、知识讲解6.2.3组合在 6.2.1
9、 节问题 1 的 6 种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2 种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙 2 名同学，然后再分配上午和下午而得到的同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有 2 种方法而从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名去参加一项活动，就只需考虑将选出的 2 名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序于是，在从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法?这一问题与 6.2.1 节的问题 1 有什么联系与区别？探究二、知识讲解6.2.1节问题 1 的 6 种选法中，将选出的 2 名同学作为一组的选法就只有如下 3种情况：甲乙，
10、甲丙，乙丙将具体背景舍去，上述问题可以概括为：从 3 个不同元素中取出 2 个元素作为一组，一共有多少个不同的组？这就是我们要研究的问题一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）二、知识讲解从排列与组合的定义可以知道，两者都是从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，这是它们的共同点但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序
11、不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图 6.2-7 所示 你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？思考二、知识讲解甲乙组合图 6.2-7排列甲丙乙丙甲乙，乙甲甲丙，丙甲乙丙，丙乙由此，6.2.1 节问题 1 的 6 个排列可以分成每组有 2 个不同排列的 3 个组，也就是上面探究问题的 3 个组合二、知识讲解 校门口停放着 9 辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有 3 辆下面的问题是排列问题，还是组合问题？（1）从中选 3 辆，有多少种不同的方法？（2）从中选 3 辆给 3 位同学，有多少种不同的方法？思考二、
12、知识讲解例5平面内有 A，B，C，D 共 4 个点（1）以其中 2 个点为端点的有向线段共有多少条？（2）以其中 2 个点为端点的线段共有多少条？分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题 利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？思考二、知识讲解6.2.4组合数探究二、知识讲解二、知识讲解组合排列a b c图 6.2-8a c da b c b a c c a
13、 ba c b b c a c b ab c da b da b d b a d d a ba d b b d a d b aa c d c a d d a ca d c c d a d c ab c d c b d d b cb d c c d b d c b二、知识讲解二、知识讲解二、知识讲解二、知识讲解 观察例 6 的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？思考二、知识讲解分析：（1）从 100 件产品中任意抽出 3 件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；（2）可以先从 2 件次品中抽出 1 件，再从 9
14、8 件合格品中抽出 2 件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；（3）从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题？例7在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？三、小结区别排列与排列数无条件限制的排列有条件限制的排列组合与组合数排列数公式及性质排列的概念联系证明化简求值无条件限制的组合有条件限制的组合组合数公式及性
15、质组合的概念证明化简求值1写出：（1）用 04 这 5 个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；（2）从 a，b，c，d 中取出 2 个字母的所有排列答案：（1）10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43；（2）ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc四、练习四、练习四、练习四、练习4甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛（1）列出所有各场比赛的双方；（2）列出所有冠、亚军的可能情况答案：（1）甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁；（2）甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，甲丁，丁甲，乙丙，丙乙，乙丁，丁乙，丙丁，丁丙四、练习
