1、6.3.2 二项式系数的性质二项式系数的性质 1.二项式定理：二项式定理：011222*().N.nnnnkn kknnnnnnnabC aC abC abC abC bn 1.kn kkknTC ab 复习巩固：复习巩固：2.通项公式：通项公式：3.二项式系数：二项式系数：012.knnnnnnCCCCC ,探究探究 用计算工具计算用计算工具计算(ab)n的展开式的二项式系数，并填入下表中的展开式的二项式系数，并填入下表中.n(ab)n的展开式的二项式系数的展开式的二项式系数123456通过计算，填表，你发现了什么规律？通过计算，填表，你发现了什么规律？(ab)1(ab)2(ab)3(ab)
2、4(ab)5(ab)60111CC012222CCC01233333CCCC0123444444CCCCC012345555555CCCCCC01234566666666CCCCCCC11121133114641151010511615201561杨杨辉辉三三角角上表中蕴含着许多规律：上表中蕴含着许多规律：(1)同行中，两端都是同行中，两端都是1，与两端等距离的项的系数相等；，与两端等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除在相邻的两行中，除1以外，每一个数都等于它以外，每一个数都等于它“肩上肩上”两个数的和，两个数的和，事实上，设表中任一不为事实上，设表中任一不为1的数为的数为 ，那么它
3、肩上的两个数分别为，那么它肩上的两个数分别为 和和 ，即，即1rnC 1rnC rnC11.rrrnnnCCC 对于对于 展开式的二项式系数展开式的二项式系数()nab 012CCCC.nnnnn,从函数角度看，从函数角度看，可看成是以可看成是以r为自变量的函为自变量的函数数 ,其定义域是其定义域是 Crn()f r 01 2.n,3 r下面从函数角度分析二项式系数：下面从函数角度分析二项式系数：对于确定的对于确定的n，我们还可以画出它的图象，我们还可以画出它的图象.例如，当例如，当n=6时，函数时，函数 的图象是右图的图象是右图中的中的7个孤立点个孤立点()rnf rC rf(r)O1 2
4、351015204 5 6 1.对称性对称性由此我们可得二项式系数有以下性质：由此我们可得二项式系数有以下性质：与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个的两个二项式系数相等二项式系数相等3 rrf(r)O1 2 351015204 5 6事实上，这一性质可直接由公式事实上，这一性质可直接由公式 得到得到nn mnnCC 图象的对称轴为图象的对称轴为.2nr 2.增减性与最大值增减性与最大值由此我们可得二项式系数有以下性质：由此我们可得二项式系数有以下性质：1(1)(2)(2)(1)1(1)!kknnn nnnknknkCCk kk ，11.knknCnkCk 11112kkknnnnknkC
5、CCkk 当当,即即时时,即即随随 的的增增大大而而增增大大；12knnkCk 由由对对称称性性知知,当当时时,随随 的的增增大大而而减减小小.2nnnC当当 为为偶偶数数时时,二二项项式式系系数数的的最最大大值值为为中中间间的的一一项项；1122nnnnnCC 当当 为为奇奇数数时时,二二项项式式系系数数的的最最大大值值为为中中间间的的两两项项和和.3.各二项式系数的和各二项式系数的和由此我们可得二项式系数有以下性质：由此我们可得二项式系数有以下性质：012?nnnnnCCCC思考思考01111().nnrn rrnnnnnnnnnnC aC abC abCabC bab1ab令令,则则有有
6、012(11)2.nnnnnnnCCCC01222.nnnnnCCCC 即即这就是说，这就是说，(ab)n的展开式的各二项式系数的和等于的展开式的各二项式系数的和等于2.n 例例3 求证：在求证：在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和的二项式系数的和.证明：证明：即在即在(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和二项式系数的和.011222().nnnnnnnnnnC aC abC abC bab 11ab 上上式式中中,令令,则则有有012(
7、1)(11)0.nnnnnnnCCCC 024135()()0.nnnnnnCCCCCC 即即024135.nnnnnnCCCCCC 024135_.nnnnnnCCCCCC 思考思考12n 解：解：1351111111111012012111111.(1)+_+(2)_+nnnnnnnnnnCCCCCCCCCCCC 填填空空题题；.课本课本34页页1351111 11011111111(1)221024.CCCC 01201211111121(2)22nnnnnnnnnnnnCCCCCCCC .证明：证明：02412.+2().nnnnnnCCCCn 证证明明：是是偶偶数数课本课本34页页0
8、241351.nnnnnnnnnnnCCCCCCCC 为为偶偶数数,0122nnnnnnCCCC 又又，0242()2nnnnnnCCCC ，0241222nnnnnnnCCCC .3.1 10.n写写出出 从从 到到的的二二项项式式系系数数表表课本课本34页页n1234567891011121133114641151010511615201561172135352171182856705628811936841261268436911104512021025221012045101 解：解：4.n若若一一个个集集合合含含有有 个个元元素素,则则这这个个集集合合共共有有多多少少个个子子集集？课
9、本课本34页页00nC若若子子集集元元素素个个数数为为 时时,子子集集有有个个；11nC若若子子集集元元素素个个数数为为 时时,子子集集有有个个；22nC 若若子子集集元元素素个个数数为为 时时,子子集集有有个个；nnnC若若子子集集元元素素个个数数为为 时时,子子集集有有个个.0122.nnnnnnCCCC 这这个个集集合合共共有有个个子子集集巩固训练巩固训练1 在在 的展开式中，第的展开式中，第5、6、7三项系数成等差数列，求三项系数成等差数列，求展开式中系数最大的项展开式中系数最大的项.nx)1(解：解：由题意得由题意得，6452nnnCCC 221980nn，解得解得 n=7或或14.
10、当当 n=7 时，时，展开式中系数最大的项是第展开式中系数最大的项是第4项与第项与第5项项,即为即为.353543xx、当当 n=14 时，时，展开式中系数最大的项是第展开式中系数最大的项是第8项项,即为即为.34327x 巩固训练巩固训练2 已知已知 的展开式中，第的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第项的二项式系数是倒数第2项项的二项式系数的的二项式系数的7倍，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项倍，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.nx)21(解：解：依题意依题意31C7Cnnn ，整理得整理得 (1)(2)73!n nnn，85().nn 解解得得或或舍舍去去23400
11、nn，展开式中二项式系数最大的项为展开式中二项式系数最大的项为44458(2)1120.TCxx设展开式中第设展开式中第r+1项的系数最大，则项的系数最大，则188(2)2.rrrrrrTCxC x 1188+1+1882222rrrrrrrrCCCC 解解不不等等式式组组，得得.65 r56.rr或或08rrN又又，且且，展开式中系数最大的项为展开式中系数最大的项为，561792xT .179267xT (1)证明：证明：1)110(1111010 1)110C10C10C10(9108210911010 282109110101010C10C10 )110C10C10(1006210711
12、08 1110 1 能被能被100整除整除.巩固训练巩固训练3(1)求证：求证：1110 1 能被能被100整除整除.(2)求求77777 被被19除所得的余数除所得的余数.(2)解解:774 191，777777(761).7777777(761)7077176767777777777C76C76C76C17 0761757677777776(C76C76C)6 076175767777774(C76C76C)1919196 77777被被19除所得的余数是除所得的余数是 196=13.巩固训练巩固训练3(1)求证：求证：1110 1 能被能被100整除整除.(2)求求77777 被被19除
13、所得的余数除所得的余数.变式变式 求求 1090 除以除以 7 的余数的余数.解：解：909010(73)9033027 30(4 71).0901892882891899090909090909077373733.CCCCC 展开式中除末项外，均能被展开式中除末项外，均能被 7 整除整除，其末项为其末项为：展开式中除末项外，均能被展开式中除末项外，均能被 7 整除整除，故故 1090 除以除以 7 的余数为的余数为 1.且末项为且末项为1，30(281)解解2：3090100010 30)17143(展开式中除末项外，均能被展开式中除末项外，均能被 7 整除整除，故故 1090 除以除以 7
14、 的余数为的余数为 1.而末项为而末项为1，1.对称性：对称性：二项式系数有以下性质：二项式系数有以下性质：与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个的两个二项式系数相等二项式系数相等这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到nn mnnCC 小结：小结：2.增减性与最大值增减性与最大值12knnkCk 当当时时,随随 的的增增大大而而增增大大；12knnkCk 当当时时,随随 的的增增大大而而减减小小.2nnnC当当 为为偶偶数数时时,二二项项式式系系数数的的最最大大值值为为中中间间的的一一项项；1122nnnnnCC 当当 为为奇奇数数时时,二二项项式式系系数数的的最最大大值值为为中中间间的的两两项项和和.3.各二项式系数的和各二项式系数的和0122(1)2.nnnnnCCCC 0241351(2)2.nnnnnnnCCCCCC
