1、第六章 计数原理6.3.2二项式系数的性质二项式系数的性质杨辉三角的性质与应用杨辉三角的性质与应用学习目标学习目标1.通过建立“杨辉三角”与二项式系数的关系，归纳二项式系数的性质.2.学会利用赋值法解决二项式系数和的相关问题.知识回顾知识回顾1二项式定理(ab)n_(nN*)2二项展开式的通项公式 (ab)n展开式的通项（展开式的第k+1项），记作Tk1 _ _.3.(ab)n的展开式各项的二项式系数分别是.,210CCCCCnnknnnn4.4.组合数有哪两个基本性质？组合数有哪两个基本性质？mnmnnCC-=11mmmnnnCCC-+=+杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧
2、洲,这个表叫作帕斯卡三角形.帕斯卡(16231662)是在1654年发现这一规律的,比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年.杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一,它把二项式系数图形化,把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来,是一种离散型的数与形的结合.十五十五一一一一一一一一一一一一一一二十二十六六六六十五十五一一一一一一一一一一一一二二三三 三三四四四四六六五五十十十十五五左积左积右积右积本积本积商除商除平方平方立方立方三乘三乘四乘四乘五乘五乘问题问题1 1：杨辉三角的上述基本性质杨辉三角的上述基本性质如何用组合数性质解释？如何用组合数性质解释？学习新知学习新知新知探究新知探究将
3、上表写成如下形式：将上表写成如下形式：1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba1 4 6 4 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 011101222201233333012344444401234555555501234566666666CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC问题问题2：1.二项式系数表中，每一行的二项式系数分布有什么特征？2.相邻两行的二项式系数之间有什么关系？新知探究新知探究1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba1 4 6 4 1 1 1 1 2 1
4、1 3 3 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 011101222201233333012344444401234555555501234566666666CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC(1)(1)每行两端的数都是每行两端的数都是1 1；(2)(2)系数呈对称分布；与首末两端系数呈对称分布；与首末两端“等距离等距离”的两个系数相等；的两个系数相等；(3)(3)同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大.(4)(4)在相邻的两行中在相邻的两行中,除除1 1以外的每一个数都等于它以外的每
5、一个数都等于它“肩上肩上”两个数的和两个数的和,等等等等.1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba1 4 6 4 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 011101222201233333012344444401234555555501234566666666CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCmnnmnnnn，对称性：0.23n21n12n21n21n2nCCCnnnnn和项最大，最大值为和第为奇数时，第当；项最大，最大值为为偶数时，第最值：当.21n1nnCCCmmm组合数性质新知
6、探究新知探究二项式系数的函数解释问题问题3 3：对给定的正整数对给定的正整数n n，设函数，设函数 ，r0r0，1 1，2 2，nn，()rnf rC=因为 展开式的二项式系数依次是：nba)(012,nnnnnCCCC从函数角度看，可看成是以k为自变量的函数 ,其定义域是：knCn,2,1,0对于确定的n，我们还可以画出它的图象，例如，当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点追问：追问：一般地，函数一般地，函数 ，r0r0，1 1，2 2，nn的图象是什么？的图象是什么？它具有怎样的对称性？它具有怎样的对称性？()rnf rC=n n1 1个孤立的点，关于直线个孤立的点，关于直线 对称对称 2
7、nr=知识概念知识概念二项式系数的函数解释.23n21n12n.4.32r.21.1),2,1,0()(21n21n2nCCCCnnnrnnnnnnrrf和项最大，最大值为和第为奇数时，第当；项最大，最大值为为偶数时，第当图像先增后减；对称；图像关于直线个孤立的点组成；函数的图像有的图像特征：函数知识概念知识概念一、二项式系数的性质一、二项式系数的性质CCCCCnnnmnmnn21n21n2nnn23n21n12n.2.1和项最大，最大值为和第为奇数时，第当；项最大，最大值为为偶数时，第当分布二项式系数呈先增后减增减性与最大值，即的两个二项式系数相等与首末两端“等距离”对称性.2.31n1nn
8、CCCmmm：组合数性质典例分析典例分析例1 已知二项式(1-x)8,求:(1)展开式中二项式系数最大的项;(2)展开式中系数最小的项.全品70页例1巩固练习巩固练习1）已知）已知 ，那么，那么 =；2）的展开式中，二项式系数的最大值是的展开式中，二项式系数的最大值是 ；3）若）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则数最大，则n=；591515,Ca Cb9()ab()naba+b1016C12619CCCCCnnnmnmnn21n21n2nnn23n21n12n.2.1和项最大，最大值为和第为奇数时，第当；项最大，最大值为为偶数时，第当分布
9、二项式系数呈先增后减增减性与最大值，即的两个二项式系数相等与首末两端“等距离”对称性.2.31n1nnCCCmmm：组合数性质课后作业课后作业课后作业：全品19-20页滚动习题（二）1-15题本节内容结束二项式系数的性质二项式系数的性质学习目标学习目标1.通过小组探究掌握二项式系数和的推导过程.2.能够区分奇偶项二项式系数和与奇偶次项数和的区别与联系.3.能用二项式定理解决整除和近似值问题.011nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b新知探究新知探究问题问题4 4：的展开式是？（nx)1xCCCCnnnkknnnnxxx10)1（问题问题5 5：当当x=1x=1时各项系数
10、的和？时各项系数的和？二项式系数之和 新知探究新知探究例例2：求证在求证在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和式系数的和分析：由分析：由(a+b)n的展开式可知，的展开式可知，奇数项的二项式系数的和为奇数项的二项式系数的和为 偶数项的二项式系数的和为偶数项的二项式系数的和为由于由于024CCCnnn 135CCCnnn 011222()nnnnnnnnnnabC aC abC abC b 因此，我们可以通过对因此，我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和适当赋值来得到上述两个系数和.证明：011222
11、()a1在展开式中，令，b=-1,则得nnnnnnnnnnabC aC abC abC b 0123(1 1)(1)nnnnnnnnCCCCC 024135()()0nnnnnnCCCCCC 即即024135因此，nnnnnnCCCCCC 即在即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.011nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b新知探究新知探究xCCCCnnnkknnnnxxx10)1（当当a=1,b=1a=1,b=1时时 各项系数的和011222a1()在，b=-1时展开式中
12、，,则得nnnnnnnnnnabC aC abC abC b 024135，nnnnnnCCCCCC 1024135222nnnnnnnnCCCCCC 各奇数项二项式系数的和与各偶数项二项式系数的和各项系数和？（nyx)32 nyx5,1,1即令奇数项和偶数项的和？（nyx)32 即令,1,1yx例例3.在(2x-3y)10的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和;(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.全品20页15题典例分析典例分析；即令（102,13,12)1yx；即令（1)32(,1,
13、1)210yx；即令（92,13,12)3yx(4)由(2)知,a0+a1+a2+a10=1,令x=1,y=-1,则(21+31)10=510=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10,由得奇数项的系数和为a0+a2+a10=,由得偶数项的系数和为2511025110例4（1）2021杭州高二期末 5050被7除的余数为()A.0 B.1 C.2 D.3B(2)1.026的近似值(精确到0.01)为()A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.20B典例分析典例分析整除和求近似值问题拓展(1)求233-1除以9的余数;(2)求1.025的近似值.(精确到0.01)巩固练习巩固练习一般地，一般地，展开式的二项式系展开式的二项式系 有如下性质：有如下性质：nba)(nnnnCCC,10（1 1）mnnmnCC（对称性）（对称性）（2 2）mnmnmnCCC11（3 3）当）当n n为偶数时，为偶数时，最大最大 当当n n为奇数时，为奇数时，=最大最大 2Cnn21Cnn21Cnn（4 4）nnnnnCCC210在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和1024135222nnnnnnnnCCCCCC 课后作业课后作业课后作业：全品17-18页1-14题必做，15-17选做本节内容结束
