新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第三册第七章PPT课件（全册8份打包）.rar.rar

7.1.1 条 件 概 率问题：有两支NBA球队，L队主场的胜率是72%，C队主场的胜率是81%，哪支球队更可能获得预算的冠军？创设情境L队获得冠军 在所有比赛中，L队的胜率是77%，C队的胜率是67%.这些数据是2019-2020年赛季真实的数据.事实上，L队是著名的洛杉矶湖人队，C队则是同城的快船队.前后数据看似不一致的原因在于湖人队在客场的胜率高达82%，而快船队只有54%.问题中的72%和81%是条件概率，条件就是“主场”.整体胜率77%和67%是无条件概率，除了包含主场的胜率之外，还包含了非主场，也就是客场的胜率.在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率的问题.当事件A与B相互独立时，有P(AB)=P(A)P(B)如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？探究新知 下面，我们从具体的问题入手，了解条件概率的定义，以及条件概率的计算方法，重要的是理清条件概率与积事件的概率的联系与区别.问题1：某个家庭有2个孩子，问：(1)两个孩子都是女孩的概率？(2)如果有1个孩子是女孩，那么两个孩子都是女孩的概率又是多少？解：(1)设A=“有1个孩子是女孩”,B=“2个孩子都是女孩”.条件探究新知所以(2)“如果有1个孩子是女孩,两个孩子都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下,事件B发生”的概率,记为问题2：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示.在班级里随机选择一人做代表.(1)选到男生的概率是多少？(2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？团员非团员合计男生16925女生14620合计301545条件探究新知(2)“在选到团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下,事件B发生”的概率,记为所以解:(1)设A=“选到团员”,B=“选到男生”.分析：求 的一般思想ABAB 若已知事件A发生，则只需在A发生的范围内考虑，即现在的样本空间为A.因为在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生.所以在事件A发生的条件下，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即探究新知 为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为，则有ABAB探究新知 这个公式才是条件概率原本的计算公式，只是它不够形象，不容易理解.条件概率的定义：在原样本空间的概率一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.探究新知一般把“P(B|A)”读作“A发生的条件下B发生的概率”.问题3：在问题1和问题2中，都有P(B|A)P(B).一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等.如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件？直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)=P(B)成立.探究新知 事实上，若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)0，则反之，若P(B|A)=P(B)，且P(A)0，则即事件A与B相互独立.条件概率与事件独立性的关系：当P(A)0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B).问题4：对于任意两个事件A与B，如果已知P(A)与P(B|A)，如何计算P(AB)呢？探究新知对于任意两个事件A与B，若P(A)0，概率乘法公式由条件概率 ,可得：当事件A,B独立时，有C小试牛刀BB例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.分析：如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.典例分析思路1:先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率，即思路2:先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率，即(2)“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率.解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”.所以利用条件概率公式，得显然 .解法2：在缩小的样本空间A上求P(B|A).所以事件A发生的条件下，事件B发生的概率为 已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.又 ，利用乘法公式可得因为方法总结求条件概率有两种方法：方法一：基于样本空间，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式 求 ；方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率，即利用公式 来计算 .公式法缩小样本空间法易错提醒：利用缩小样本空间求条件概率问题，应搞清楚是求哪个事件的样本点数.条件概率的性质：探究新知例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？典例分析因为P(A)=P(B)=P(C)，所以中奖的概率与抽奖的次序无关.例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求：(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.典例分析课 堂 练 习2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.0.5课 堂 练 习0.75课 堂 练 习5.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求:(1)在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率;(2)两次都摸到白球的概率.(1)“在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球”就是事件P(B|A).(2)“两次都摸到白球的概率”就是事件P(AB)解：设A=“第1次摸到白球”，B=“第2次摸到白球”.利用概率乘法公式，得所以课 堂 练 习课 堂 练 习 一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.1.条件概率概念：2.条件概率的性质3.方法总结方法一：公式法；方法二：缩小样本空间法.课堂小结7.1.2 全 概 率 公 式1.条件概率公式2.概率的乘法公式复习引入3.条件概率与独立性的关系思考：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 .那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？问题探究下面我们给出严格的推导.因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 .但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.332事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2.P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)问题探究利用概率的加法公式和乘法公式，得用 Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2.按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率.R2探究新知思考：按照某种标准,将一个复杂事件B表示为n个(A1,A2,.An)互斥事件的并,根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？A1A2A3AnA 4B 加法公式 乘法公式探究新知全概率公式概念形成一般地，设A1,A2,An是一组两两互斥的事件，A1A2An=，且P(Ai)0，i=1,2,n，则对任意的事件 ，有 我们称上面的公式为全概率公式 全概率公式使用条件:A1,A2,An是一组两两互斥的事件；A1A2An=；A1A2A3AnA 4BP(Ai)0,且 .8对全概率公式的理解 某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,n)(Ai 两两互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1,2,n)发生概率的总和，即全概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.解:典例分析例1 某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.设事件 写概率 代公式全概率公式求概率的步骤：全概率公式求概率的步骤：1.设事件设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果,把A1,A2,An 看作导致结果的若干个原因；2.写概率写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai)；3.代公式代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B).由因求果方法总结例2 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率。A1A2A3A3BA1BA2B典例分析解:设事件 写概率 代公式思考：例5中P(Ai),P(Ai|B)得实际意义是什么？探究新知 P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率.如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 就分别是第1,2,3台车床操作员应承担的份额.已知结果求原因已知原因求结果*贝叶斯公式：将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式.探究新知注：贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T.Bayer,1702-1762)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.设设A1,A2,An是一组两两互斥的事件，是一组两两互斥的事件，A1A2An=，且且P(Ai)0，i=1,2,n，则对任意的事件，则对任意的事件 ，P(B)0，有，有对分子用乘法公式对分母用全概率公式我们把事件B看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式*贝叶斯公式的使用：执果寻因例3 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率;*(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.典例分析发送发送0(0(A)接收接收0(B)0(B)解:解:1.现有12道四选一的单选题,学生张君对其中9道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案,猜对的概率为0.25.(1)张君从这12道题中随机选择1题,求他做对该题的概率;(2)若他做对了该题,求他选择的是完全没有思路的题的概率.巩固练习2.同批同种规格的产品,第一批占40%,次品率为5%;第二批占60%,次品率为4%.将两批产品混合,从混合产品中任取1件.(1)求这件产品是合格品的概率;*(2)已知取到的合格品,求它取自第一批产品的概率.解:巩固练习拓展练习3.小王每天17：0018：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表：已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？前一天当天篮球羽毛球游泳篮球0.50.20.3羽毛球0.30.10.6游泳0.30.60.1拓展练习解:用A,B,C分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，用Pn(A),Pn(B),Pn(C)(nN*)分别表示第n天小王进行A,B,C三种运动项目的概率.因为小王第一天打羽毛球，所以第2天小王做三项运动的概率分别为P2(A)=0.3，P2(B)=0.1，P2(C)=0.6第3天小王做三项运动的概率分别为P3(A)=P2(A)0.5+P2(B)0.3+P2(C)0.3=0.36P3(B)=P2(A)0.2+P2(B)0.1+P2(C)0.6=0.43P3(C)=P2(A)0.3+P2(B)0.6+P2(C)0.1=0.21因此小王第三天打羽毛球的可能性最大.23由因求果执果寻因 1.设事件设事件2.写概率写概率3.代公式代公式课堂小结全概率公式全概率公式P(B)P(BA1)P(BA2)P(BAn)=P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(An)P(B|An)条件概率条件概率P(B|A)乘法乘法公式公式P(AB)P(A)P(B|A)*贝叶斯公式贝叶斯公式7.2 离散型随机变量及其分布列复习引入一般地，一个试验如果满足下列条件：试验可以在相同的情形下重复进行;试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个;每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果;这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验.1.随机试验的概念 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.我们用表示样本空间，用表示样本点.2.样本点与样本空间的概念问题1：请为以下随机试验的样本点与实数建立对应关系：(1)掷一枚骰子，观察出现的点数；(2)掷两枚骰子，观察两个点数之和；(3)掷一枚硬币，观察出现正、反面的情况；(4)随机抽取一件产品，观察出现“抽到次品”和“抽到正品”的情况.求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随机试验探究新知探究新知对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性探究新知考察下列随机试验及其引入的变量：试验1：从 100 个电子元件（至少含 3 个以上次品）中随机抽取三个进行检验，变量 X 表示三个元件中的次品数；试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量 Y 表示需要的抛掷次数.这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量 X，Y 有哪些共同的特征？探究探究新知thhtthttththh2134thh2Ytt探究新知对于试验 1，如果用 0 表示“元件为合格品”，1 表示“元件为次品”，用 0 和 1 构成的长度为 3 的字符串表示样本点，则样本空间1000,001,010,011,100,101,110,111各样本点与变量 X 的值的对应关系如图所示001000010011100101110111101212231X在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应变量X，Y 有如下共同点：(1)取值依赖于样本点；(2)所有可能取值是明确的概念形成随机变量的定义:一般地，对于随机试验样本空间 中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们称 X 为随机变量(random variable)说明:(1)随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点 相当于函数定义中的自变量，而样本空间 相当于函数的定义域.(2)随机变量的定义与函数的定义的不同之处在于 不一定是数集作用：随机变量将随机事件的结果数量化.像这样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量(discrete random variable)通常用大写英文字母表示随机变量，例如 X,Y,Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如 x,y,z探究新知离散型随机变量的定义:探究新知现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子例如，种子含水量的测量误差 X1；某品牌电视机的使用寿命 X2；测量某一个零件的长度产生的测量误差 X3这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量你能再举出一些离散型随机变量和不是离散型的随机变量的例子吗？1.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果：(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X;(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数X;(3)抛掷两个骰子，所得点数之和X;(4)接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数X;(5)某一自动装置无故障运转的时间X;(6)某林场树木最高达30米，此林场树木的高度XX1,2,3,n,X2,3,4,12X取(0,+)内的一切值X取(0,30内的一切值X 1,2,3,10X0,1,2,3离散型连续型小试牛刀探究新知213456XP161616161616PX102345616探究新知分布列的定义:1.分布列的构成(1)列出了随机变量X的所有取值xi；(2)求出了的每一个取值xi的概率pi 注意:由于函数可以用解析式、表格、图象表示，所以离散型随机变量的分布列也可以用解析式、表格、图象表示.分布列的表示：分布列的表示：探究新知1.解析式法x2x1xnXPp2p1pn2.表格法3.图象法PXx10 x2x3xnp3p1pnp2探究新知典 例 分 析解：根据 X 的定义，X1“抽到次品”，X0“抽到正品”，X 的分布列为P(X0)0.95，P(X1)0.0510XP0.050.95用表格表示 X 的分布列，如下表所示10XPp1p 我们称 X 服从两点分布(two-point distribution)或 0-1分布探究新知两点分布的定义:X23P0.30.7思考思考：随机变量：随机变量X的分布列由下表给出的分布列由下表给出,它服从两点分布吗它服从两点分布吗?注注:只取两个不同值的只取两个不同值的随机变量并不一定服从随机变量并不一定服从两点分布两点分布不服从两点分布不服从两点分布,因为因为X的取值不是的取值不是0或或1例2某学校高二年级有 200 名学生，他们的体育综合测试成绩分 5 个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及 P(X4)21345不及格等级分数5020604030人数及格中等良优典 例 分 析解：由题意知，X 是一个离散型随机变量，其可能取值为 1,2,3,4,5，且X1“不及格”，X2“及格”，X3“中等”，X4“良”，X5“优”根据古典概型的知识，可得 X 的分布列，如下表所示21345XP1411031015320102XP715715115典 例 分 析例3一批笔记本电脑共有 10 台，其中 A 品牌 3 台，B 品牌 7 台如果从中随机挑选 2 台，求这 2 台电脑中 A 品牌台数的分布列1篮球比赛中每次罚球命中得 1 分，不中得 0 分已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，求他一次罚球得分的分布列10XP0.70.32抛掷一枚质地均匀的硬币 2 次，写出正面向上次数 X 的分布列102XP121414巩固练习离散型随机变量及其分布两点分布或01 分布随机变量离散型随机变量分布列课堂小结7.3.1 离散型随机变量的均值 某商场如果把这三种糖果按某商场如果把这三种糖果按3 2 1的比例的比例混合销售，那么如何混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？对糖果定价才比较合理呢？18元元/千克千克24元元/千克千克36元元/千克千克创设情境方案方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元元/千克千克.方案方案2：按照这三种糖果的平均价格定价，所以定价为按照这三种糖果的平均价格定价，所以定价为 元元/千克千克.方案方案3：按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为元元/千克千克.问题问题1 甲、甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.环环数数X78910甲射中的概率甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢如何比较他们射箭水平的高低呢?类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等,再看稳定性.问题探究假设甲射箭假设甲射箭n次，射中次，射中7环、环、8环、环、9环和环和10环的频率分别为环的频率分别为甲甲n次射箭射中的平均环数为次射箭射中的平均环数为当当n足够大时，足够大时，频率稳定于概率频率稳定于概率，所以，所以 稳定于稳定于即甲射中平均环数的稳定值即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值理论平均值)为为9，这个平均值的大小，这个平均值的大小可以反映可以反映甲运动员的射箭水平甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为同理，乙射中环数的平均值为从平均值的角度比较，从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高甲的射箭水平比乙高.问题探究随机随机变变量的均量的均值值一般地，若离散型随机一般地，若离散型随机变变量量X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示，Xx1x2xnPp1p2pn则则称称为为随机随机变变量量X的的均值均值或或数学期望数学期望，数学期望数学期望简简称称期望期望.概念形成 均均值值是是随机随机变变量可能取量可能取值值关于关于取取值值概率概率的的加加权权平均数平均数，它，它综综合了合了随机随机变变量的取量的取值值和取和取值值的概率，反映了随机的概率，反映了随机变变量取量取值值的的平均水平平均水平.例例1 在篮球比赛中，罚球命中在篮球比赛中，罚球命中1次得次得1分，不中得分，不中得0分分.如果某运动员罚球如果某运动员罚球命中的概率为命中的概率为0.8，那么他罚球，那么他罚球1次的得分次的得分X的均值是多少的均值是多少?解：解：由由题题意得，意得，X的分布列的分布列为为即即该该运运动员罚动员罚球球1次的得分次的得分X的均的均值值是是0.8.一般地，如果随机一般地，如果随机变变量量X服从服从两点分布两点分布，那么，那么典例分析求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每个值的概率；(3)写分布列：写出X的分布列；(4)求均值：由均值的定义求出E(X).关键步骤方法总结例例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为设出现的点数为X，求，求X的均值的均值.解：解：由由题题意得，意得，X的分布列的分布列为为即点数即点数X的均的均值值是是3.5.典例分析观察观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为的均值为3.5.随机模拟这个试随机模拟这个试验，重复验，重复60次和重复次和重复300次各做次各做6次，观测出现的点数并计算平均数次，观测出现的点数并计算平均数.根据根据观测值的平均数观测值的平均数(样本均值样本均值)绘制统计图，分别如图绘制统计图，分别如图(1)和和(2)所示所示.观察图观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?探究新知 观观察察图图形可以形可以发现发现:在在这这12组掷组掷骰子骰子试验试验中，中，样样本均本均值值各不各不相同，但它相同，但它们们都在都在掷掷出点数出点数X的的均均值值3.5附近波附近波动动，且重复，且重复掷掷300次的次的样样本均本均值值波波动动幅度明幅度明显显小于小于重复重复60次的次的.事事实实上，上，随机随机变变量的均量的均值值是一个确定的数是一个确定的数，而，而样样本均本均值值具有具有随机性，它随机性，它围绕围绕随机随机变变量的均量的均值值波波动动.随着重复随着重复试验试验次数的增加，次数的增加，样样本均本均值值的波的波动动幅度一般会越来越小，因此，我幅度一般会越来越小，因此，我们们常用常用随机随机变变量量的的观测值观测值的均的均值值去估去估计计随机随机变变量的均量的均值值.探究探究 如果如果X是一个离散型随机变量，是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化均值会怎样变化?即即E(Xb)和和E(aX)(其中其中a,b为常数为常数)分别与分别与E(X)有怎有怎样的关系样的关系?探究新知设设X的分布列的分布列为为根据随机根据随机变变量均量均值值的定的定义义，类类似地，可以似地，可以证证明明一般地，下面的一般地，下面的结论结论成立：成立：解：解：1.已知随机变量已知随机变量X的分布列为的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1(1)求求E(X)；(2)求求E(3X+2).小试牛刀例例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示及猜对时获得相应的公益基金如下表所示.规则如下规则如下:按照按照A,B,C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首一首.求嘉宾获得的公益基金总额求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值的分布列及均值.歌曲歌曲ABC猜猜对对的概率的概率0.80.60.4获获得的公益基金得的公益基金额额/元元100020003000典例分析解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立X的分布列如下表所示：X0100030006000P0.20.320.2880.192X的均值为例例4 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时元，遇到小洪水时要损失要损失10000元元.为保护设备，有以下为保护设备，有以下3种方案种方案:方案方案1 运走设备，搬运费为运走设备，搬运费为3800元；元；方案方案2 建保护围墙，建设费为建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；元，但围墙只能防小洪水；方案方案3 不采取措施不采取措施.工地的领导该如何决策呢工地的领导该如何决策呢?典例分析解：解：设设方案方案1、方案、方案2、方案、方案3的的总损总损失分失分别为别为X1,X2,X3.采用方案采用方案1,无无论论有无洪水，都有无洪水，都损损失失3800元元.因此因此采用方案采用方案2,遇到大洪水遇到大洪水时时，总损总损失失为为2000+60000=62000元；没有元；没有大洪水大洪水时时，总损总损失失为为2000元元.因此因此采用方案采用方案3,有有因此因此,从期望从期望损损失最小的角度失最小的角度,应应采取方案采取方案2.值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小.不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.1.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产内生产出的次品数分别为出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为，其分布列分别为甲机床次品数的分布列甲机床次品数的分布列乙机床次品数的分布列乙机床次品数的分布列X10123P0.40.30.20.1X2012P0.30.50.2哪台机床更好哪台机床更好?请解释你所得出结论的实际含义请解释你所得出结论的实际含义.小试牛刀解：解：由此可知，由此可知，1h内甲机床平均生内甲机床平均生产产1个次品，乙机床平均生个次品，乙机床平均生产产0.9个次品，个次品，所以乙机床相所以乙机床相对对更好更好.1.在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值.解解：由题意得，X可能的取值为1,2,3,4,5，则X12345P巩固练习由离散型随机变量均值的定义知E(X)=(1+2+3+4+5)=3.P(X=4)=，P(X=5)=P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=故X的分布列为2.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款,其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元用Y表示经销一件该商品的利润(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(2)求Y的分布列及均值E(Y)X12345P0.40.20.20.10.1巩固练习解：(1)设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，则 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”巩固练习(2)Y的可能取值为200元，250元，300元.P(Y=200)=P(X=1)=0.4P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2X200250300P0.40.40.2E(Y)=2000.4+2500.4+3000.2=240(元).因此Y的分布列为1.离散型随机离散型随机变变量的均量的均值值：一般地，若离散型随机一般地，若离散型随机变变量量X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示，Xx1x2xnPp1p2pn则则称称为为随机随机变变量量X的的均值均值或或数学期望数学期望，数学期望数学期望简简称称期望期望.2.均均值值的性的性质质：3.随机随机变变量量X服从两点分布，服从两点分布，则则有有课堂小结7.3.2 离散型随机变量的方差1.离散型随机离散型随机变变量的均量的均值值：一般地，若离散型随机一般地，若离散型随机变变量量X的分布列如下表所示，的分布列如下表所示，Xx1x2xnPp1p2pn则则称称为为随机随机变变量量X的的均值均值或或数学期望数学期望，数学期望数学期望简简称称期望期望.2.均均值值的性的性质质：3.随机随机变变量量X服从两点分布，服从两点分布，则则有有复习引入问题问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和和Y的分布列如下表所示的分布列如下表所示.如何评价这两名同学的射击水平如何评价这两名同学的射击水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03通过计算可得，由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.问题探究为为了能直了能直观观分析甲乙两名分析甲乙两名击击中中环环数的数的离散程度离散程度，下面我，下面我们们分分别别作出作出X和和Y的的概率分布概率分布图图.0671098P0.10.20.30.4X0671098P0.10.20.30.4Y比比较较两个两个图图形，可以形，可以发现发现乙同学的射乙同学的射击击成成绩绩更集中于更集中于8环环，即，即乙同学的乙同学的射射击击成成绩绩更更稳稳定定.思考：思考：怎样怎样定量定量刻画离散型随机变量取值的刻画离散型随机变量取值的离散程度离散程度?问题探究 我我们们知道，知道，样样本方差本方差可以度量一可以度量一组样组样本数据的本数据的离散程度离散程度，它是通，它是通过计过计算算所有数据与所有数据与样样本均本均值值的的“偏差平方的平均偏差平方的平均值值”来来实现实现的，所以我的，所以我们们可以用能否可以用能否用可能取用可能取值值与均与均值值的的“偏差平方的平均偏差平方的平均值值”来来度量随机度量随机变变量的离散程度量的离散程度.Xx1x2xnPp1p2pn探究新知设设离散型随机离散型随机变变量量X的分布列如下表所示的分布列如下表所示.随机随机变变量量X所有可能取所有可能取值值xi与与E(X)的偏差的平方的偏差的平方为为 (x1E(X)2，(x2E(X)2，(xnE(X)2.所以偏差平方的平均所以偏差平方的平均值为值为我我们们把随机把随机变变量量X的的这这个平均个平均值值称称为为随机随机变变量量X的的方差方差，用，用D(X)表示表示.(x1E(X)2p1(x2E(X)2 p2 (xnE(X)2pn.一般地，若离散型随机一般地，若离散型随机变变量量X的分布列如下表所示的分布列如下表所示.Xx1x2xnPp1p2pn则则称称离散型随机离散型随机变变量的方差：量的方差：为为随机随机变变量量X的的方差方差，有有时时也也记为记为Var(X)，并称，并称 为为随机随机变变量量X的的标准差标准差，记为记为(X).概念形成 随机随机变变量的量的方差和方差和标标准差准差都可以度量随机都可以度量随机变变量取量取值值与其均与其均值值的的偏离偏离程度程度，反映了随机，反映了随机变变量取量取值值的的离散程度离散程度.方差或方差或标标准差准差越小越小，随机，随机变变量量的取的取值值越集中越集中；方差或；方差或标标准差准差越大越大，随机，随机变变量的取量的取值值越分散越分散.问题问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和和Y的分布列如下表所示的分布列如下表所示.如何评价这两名同学的射击水平如何评价这两名同学的射击水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03问题探究解：解：随机随机变变量量Y的取的取值值相相对对更集中，即乙同学的射更集中，即乙同学的射击击成成绩绩相相对对更更稳稳定定.例例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差的方差.解：解：随机随机变变量量X的分布列的分布列为为典例分析在方差的在方差的计计算中，算中，为为了使运算了使运算简简化，化，还还可以用下面的可以用下面的结论结论.证证明：明：探究新知解解2：随机随机变变量量X的分布列的分布列为为例例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差的方差.典例分析说明:方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)=E(X2)-E(X)2不失为一种比较实用的方法方差的性方差的性质质：探究：探究：离散型随机变量离散型随机变量X加上一个常数加上一个常数方差会有怎样的变化方差会有怎样的变化?离散型随机变离散型随机变量量X乘以一个常数乘以一个常数,方差又有怎样的变化方差又有怎样的变化?它们和期望的性质有什么不同它们和期望的性质有什么不同?探究新知