1、6.2.2 排列数2 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).1.排列的定义：2.排列问题的判断方法：(1)元素的无重复性(2)元素的有序性判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序.复习引入排列数的定义和表示：我们把从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号 表示.Amn探究新知23A 例如，前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为 .已经算得62323A2423434A34
2、A 问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为 .已经算得排列数与排列的区别：一个排列就是完成一件事的一种方法，它不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数.从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (mn)是多少？探究探究新知Amn第1位第2位n 种(n-1)种追问1:如何求排列数？2An第1位第2位n 种(n-1)种第3位(n-2)种2A(1)nn n=-3A(1)(2)nn nn=-追问2:如何求排列数？3An 假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数 .Amn*A(1)(2)
3、(1),mnn nnnmm nNmn=-+危L且第1位第2位n 种(n-1)种第3位(n-(m-1)种第m位(n-2)种.探究新知利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式:Amn 一般地，求排列数 可以按依次填m个空位来考虑：排列数公式的连乘形式探究新知A(1)(2)(1)mnn nnnm=-+LA(1)(2)32 1nnn nn=-创创L(1)观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？(2)比较n与m的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点？(3)利用排列数公式，计算 .？思考2358AAAnn,特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一
4、个全排列.这时，排列数公式中m=n，即有 将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数 1 到 n 的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 n!表示.于是，n个元素的全排列数公式可以写成 .Annn=！我们规定，0!=1.例3 计算：734427776244A(1)A(2)A(3)(4)AA.A；解：根据排列数公式，可得：37(1)A765210=创=典例分析7744A7(3)765210A4=创=！47(2)A7654840=创4262(4)AA65432 16720创创=！737744A7!AA4!=646622AAA=(1)(2)(1)Amnn nnnm=-+L)!(!mnn1
5、2)(12)(1()1(mnmnmnnn排列数公式的阶乘形式排列数公式的连乘形式探究新知7634247676264242AA7!A AA6!,AA4!A=;即 由例3可以看到，,观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？思考证：例4 证明:(1)；(2).1-1AAmmnnn-=1-1-1AAAmmmnnnm-=+典例分析1-1(1)(2)(1)(1)(2)(1(1)1AAmnmnn nnnmnnnnmn-=-+=-+=LL）(1)1-1-1(1)!(1)!(1)!(1)!(1)(1)!(1)!()!(1)!(1)!(1)!()()!()!()!AAAmmnnmnm nnm nnmnmnmnmn
6、mnn nnmnmnmnmnm-+=+=+-=+-=-(2)排列数的性质变式练习：1.证明：.768787768A7AAA-+=证明：767787787776778A7A8A8AAAA-+=-+=例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在09这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素.一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有 种取法.29A1299AA99 8648创=百位十位个位19
7、A29A典例分析 第1步，确定百位上的数字，可以从19这9个数字中取出1个，有 种取法；19A 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为:解法2：符合条件的三位数可以分成三类：百位十位个位39A0百位十位个位0百位十位个位29A29A第3类,十位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位,有 种取法.29A第2类,个位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位,有 种取法；39A第1类,每一位数字都不是0的三位数,可以从19这9个数字中取出3个,有 种取法；322999AAA9879898648+=创+根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为2
8、9A例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？典例分析32109AA109898648-=创-解法3:从09这10个数字中选取3个的排列数为 310A即所求三位数的个数为它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数29A其中0在百位上的排列数为 例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？典例分析带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则直接法间接法位置分析法元素分析法以位置为主，优先考虑特殊位置以元素为主，优先考虑特殊元素先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数方法归纳分步先分类后分步1.
9、从从5人中选人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？解法一解法一:(特殊元素法特殊元素法)第一类第一类:不选甲，则从剩下的不选甲，则从剩下的4人中选人中选3人排列，有人排列，有 种种;34A第二类第二类:选甲选甲,先排甲有先排甲有 种，然后从剩下的种，然后从剩下的4人中选人中选2人人排列排列有有 种，则共有种，则共有 种种;12A24A2142AA所以共有所以共有 种不同的排列方法种不同的排列方法.32144248AAA+=巩固练习解法二解法二:(特殊位置法特殊位置法)第一步第一步:从其余从其余4位同学中找位同学中找1人站排头人站排头,有
10、有 种种;14A第二步第二步:剩下的剩下的4人人(含甲含甲)中找中找2人排列人排列,有有 种种;24A所以共有所以共有 种不同的排列方法种不同的排列方法.214448AA=1.从从5人中选人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？巩固练习解法三解法三:(间接法间接法)所以共有所以共有 种不同的排列方法种不同的排列方法.325448AA-=先从先从5人中选人中选3人排列人排列,有有 种种 35A24A然后计算甲站排头有然后计算甲站排头有 种种2.排列数公式：!(1)(2)(1)()!Amnnn nnnmnm=-+=-L1.排列数的定义和表示：3.n个元素的全排列数公式：A!nnn=0!=1Amn 把从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号 表示.4.求解排列问题的方法：课堂小结(1)直接法：位置分析法，元素分析法(2)间接法
