1、6.3.2 二项式系数的性质011()(*)nnnkn kkn nnnnnabC aC abC abC bnNkn kknC ab 1kT 012,nnnnnCCCC),1,0(nkCkn 复习引入 n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111,0,1,knCkn 二项式系数:探究新知问题1：计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表：？探究1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab
2、 上表写成如下形式，并说说你发现了什么规律？1 7 21 35 35 21 7 17()ab (a+b)n探究新知每一行的系数具有对称性mnmnnCC 11rrrnnnCCC 对于 的展开式的二项式系数依次是：()nab 012C,C,C,Cnnnnn 从函数角度看，可看成是以 r为自变量的函数 ,其定义域是：Crn()f r 0,1,2,n例如：当 n=6 时,其图象是7个孤立点f(r)r63O515201101245探究新知1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等这一性质可直接由公式 得到CCmn mnn f(r)rnO51520110探究新知图象的对称轴：2nr 2n由 可知
3、，1112n knkk 当 时，二项式系数是逐渐增大的12nk 所以 相对于 的增减情况由 决定 Ckn1Ckn 1nkk 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnn nnn kn kk kk 因为2.增减性与最值 探究新知2.增减性与最值 二项展开式共有n+1项，2nnC1122nnnnCC ,探究新知当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值.当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大；f(r)rnO5152011012n 12n 在二项式定理中,令 ，则：1ab 012CCCC2nnnnnn 这就是说，的展开式的各
4、二项式系数的和等于()nab 2n同时由于 上式还可以写成：0C1n 123CCCC21nnnnnn 这是组合总数公式.探究新知3.各二项式系数的和（赋值法）一般地，的展开式的二项式系数有如下性质：nba)(1)mnnmnCC(2)mnmnmnCCC11(3)当 时,21nk1knknCC 当 时,12nkknknCC1(4)nnnnnCCC210归纳总结例1 证明:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.1,1,ab 令得0123(1 1)(1)nnnnnnnnCCCCC 02130()()nnnnCCCC 即：赋值法证:01-1()nnnrn rrnn
5、nnnna bC aC a bC abC b 在展开式中，0213nnnnCCCC =2n-1即：结合二项式系数和为2n典例分析1.已知 ,那么 =；591515,Ca Cb1016Cab193.在(ab)20展开式中,与第五项的系数相同的项是()A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项C()nab2.若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数 最大，则 n=；变式练习4.在(ab)10展开式中,系数最大的项是()A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项5.在(ab)10展开式中,系数最大的项是()A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第
6、7项DA1.已知:(2x+1)10=a0 x10+a1x9+a2x8+a9x+a10.(1)求a0+a1+a2+a9+a10的值;(2)求a0+a2+a4+a10的值.(1)(1)(1)(1).22ffff其奇数项系数的和是，其偶数项系数的和是()()nf xabx设结论:典例分析解：(1)令x=1,得a0+a1+a2+a9+a10=310=59049(2)令x=-1,得a0-a1+a2-a9+a10=(-1)10=1101(31)2所以a0+a2+a4+a10=2905251.在 的展开式中：(1)求二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)
7、奇数项的系数和与偶数项的系数和.10(23)xy变式练习012101010101010CCCC2=1024解：(1)(2)令x=1,y=1,得10(2 3)1=(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和为512.1 015210152(4)奇数项的系数和为 ;偶数项的系数和为 .例3 求证：(nN,且n2)132(2)nnn证:nnnnnnnnnnnCCCC2222)12(312211)22()2(21221nnnnnnnCCCn又n2,上式至少有三项,且nnnnnnCCC221220典例分析 (nN,且n2)132(2)nnn1221.(),(,3).31nnNnn证明：证:要证 成立
8、,12)32(1nn21)23(1nn只需证 成立 1131()(1)22nn而1111101)21(21nnnnnCCC221111(1)(212)2nnnC12n 变式练习所以122(),(,3).31nnNnn例4 12x)3(1x)4的展开式中，含x项的系数为()A.10 B.10 C.2 D.2典例分析C解:(12x)3(1x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，1.(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为()A.12 B.16 C.20 D.24变式练习A2.(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为
9、_.(用数字作答)203.已知(1ax)(1x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于()A.4 B.3 C.2 D.1D证：32n28n9 (81)n18n9例5 求证：32n28n9(nN*)能被64整除.式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.典例分析方法总结：利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.证：原式46n5n44(51)n5n41.求证：2n23n5n4(nN*)能被25整除.以上各项均为25的整数倍，故2n23n5n4能被25整除.变式练习性质1：对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等性质2：增减性与最值 当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值.2nnC1122nnnnCC ,性质3：二项式系数之和 0122nnnnnnCCCC课堂小结方法总结：1.双通法：求解多项式特定项的方法 2.求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式
