1、第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识解读考点一分类加法计数原理完成一件事有两类方案在第1类方案中有m种不同的方法在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法考点二 使用分类加法计数原理计数的两个条件(1)根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，在这个标准下进行分类.(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，分别属于不同类的两种方法是不同的方法，满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.考点三分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤做第1步有m种不同的方法做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法考点四 分类加法计数原理与分步乘法
2、计数原理的联系与区别联系：是涉及做一件事的不同方法的种数问题.区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.考点五两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题不同点针对的是“分类”问题不同点各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事考点六两个计数原理的应用用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细
3、分析两点：(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数知识归纳基本形式一般形式区别分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法分类
4、加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法题型探究例1有四个编有1234的四个不同的盒子，有编有1234的四个不同的
5、小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？【答案】（1）种；（2）；（3）种.【详解】（1）每个球都有4种方法，故有种（2）从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法.概率为：（3）每个盒子不空，共有，种例2电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有或两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符
6、进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成.问：（1）一个字节(位)最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码(码)包含了个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？【答案】（1）256个；（2）2个.【详解】（1）一个字节共有位，每位上有种选择，根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示个不同的字符；（2）由（1）知，用一个字节能表示个字符，一个字节不够；根据分步乘法计数原理，个字节可以表示个不同的字符，所以每个汉字至少要用个字节表示.例3核糖核酸()分子是在生物细胞中发现的
7、化学成分,一个分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有种不同的碱基，分别用、表示.在一个分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类分子由个碱基组成，那么能有多少种不同的分子？【答案】有种不同的分子.【详解】个碱基组成的长链共有个位置，从左到右依次在每一个位置中，从、中任选一个填入，每个位置有种填充方法，根据分步乘法计数原理，长度为的所有可能的不同分子数目有个.例4已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止.（1）若恰在第5次测试后就找出了所有次品，
8、则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第2次测试才测试到第1件次品，第7次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【答案】（1）576种；（2）17280种.【详解】（1）根据题意，若恰在第5次测试后就找出了所有次品，即第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，则前4次有一件正品出现，所以共有种不同的测试方法；（2）根据题意，分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，有6种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，有种测试方法，最后排余下4件的测试位置，有种测试方法.所以共有种不同的测试方法.例5现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名
9、（1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ （2）选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？ （3）现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【答案】（1）45；（2）21；（3）90.【详解】（1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即（种），所以要从中选2名去参加会议，有45种选法.（2）可把问题分成两类情况：第1类：选出的2名是男教师，有种方法，第2类：选出的2名是女教师，有种方法，所以选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有种方法.（3）从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选
10、法有种，所以选出男、女老师各2名去参加会议，共有选法种.课后小练1.用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色. （1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法； （2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n. 2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加； （4）既要有队长，又要有女运动员 3.4名男同学和3名女同学站成一排照相，计算下列情况各有多少种不同的站法
11、？ （1）男生甲必须站在两端； （2）两名女生乙和丙不相邻； （3）女生乙不站在两端，且女生丙不站在正中间 4.有4名男生，5名女生，全体排成一行 （1）其中甲不在中间也不在两端，有多少种排法？ （2）男女生相间，有多少种排法？ 5.排列组合 （1）7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ （2）7位同学站成一排，甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ （3）7位同学站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有多少种？ 答案解析1.【答案】 （1）解：对区域A,B,C,D按顺序着色， 共有6544=480（种）（2）解：对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n
12、-1种、n-2种和n-3种，由分步乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0 n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5【解析】（1）根据分步计数原理进行计算即可；（2）对区域A,B,C,D按顺序着色 ，由分步乘法计数原理 ，列出方程求解即可。2.【答案】 （1）解：由题意知本题是一个分步计数问题， 首先选3名男运动员，有C63种选法再选2名女运动员，有C42种选法共有C63C42=120种选法（2）解：法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种
13、情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分类加法计数原理可得有C41C64+C42C63+C43C62+C44C61=246种选法法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”从10人中任选5人，有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种所以“至少有1名女运动员”的选法有C105C65=246种（3）解：“只有男队长”的选法为C84种； “只有女队长”的选法为C84种；“男、女队长都入选”的选法为C83种；共有2C84+C83=196种“至少1名队长”的选法有C105C85=196种选法（4）解：当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法 不选女队长时，必选男
14、队长，共有C84种选法其中不含女运动员的选法有C54种，不选女队长时共有C84C54种选法既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84C54=191种【解析】（1） 本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有C63种选法再选2名女运动员，有C42种选法利用乘法原理得到结果（2） 至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男分别写出这几种结果，利用分类加法原理得到结果本题也可以从事件的对立面来考虑，写出所有的结果减去都是男运动员的结果数（3） 只有男队长的选法为C84种，只有女队长的选法为C84种，男、女队长都入选的选法为C83种，把所有的结果数相加（4）当有女队
15、长时，其他人选法任意，共有C94种选法不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法其中不含女运动员的选法有C54种，得到结果3.【答案】 （1）解：男生甲必须站在两端，其余的进行全排列即可，故有 A21A66 =1440种（2）解：利用插空法，先排除乙丙之外的另外5人，然后在这5人形成的6个间隔中插入乙和丙即可，故有 A55A62 =3600种（3）解：分两类，若乙在正中间，则有 A66 =720种， 若乙不站在正中间，乙不站在两端，则乙从另外4个位置任选一个，丙从另外5个位置选一个，其他任意排，故有 A41A51A55 =2400种，根据分类计数原理得共有720+2400=3120种【解析】（
16、1） 优先安排甲，其他任意排问题得以解决（2） 利用插空法，先排除乙丙之外的另外5人，然后在这5人形成的6个间隔中插入乙和丙即可（3）特殊元素特殊对待，分两类，若乙在正中间，若乙不站在正中间，根据分类计数原理可得4.【答案】 （1）解：其中甲不在中间也不在两端，则甲6种选择，其余的任意排，故有6A88=241920种排法（2）解：先排4名男生形成了5个空，把5名女生插入，故有A44A55=2880种排法 【解析】（1） 先排甲有6种，剩下的8个元素全排列有A88种，根据分步计数原理得到结果（2）先排4名男生形成了5个空，把5名女生插入，再根据分步计数原理得到结果5.【答案】 （1）解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法所以这样的排法一共有A66A22=1440种（2）解：将甲、乙和丙三个同学插入到除甲、乙和丙之外4人全排所形成的5个空中的3个，故有A44A53=1440种（3）解：甲站排头，或乙站排尾有2A66A55种不同的排法，甲不站排头，且乙不站排尾有： A77-2A66+A55=3720 种不同的排法【解析】对这几个事件不同排法和数的计算，根据分步原理与分类原理直接计算即可
