1、第六章计数原理6.2 排列与组合知识解读知识点一排列排列的定义-一般地，从n 个不同元素中取出m(mn)个元素,并按照一一定的 顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列数的定义:从n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示排列数公式的两种形式(1)An(n1)(n2)(nm1)，其中m，nN*，并且mn.(2)A.全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为An！(叫做n的阶乘)规定：0！1.排列相同的条件两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素完全相同(2)元素
2、的排列顺序也相同知识点二组合组合定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示组合数公式组合数公式乘积形式C，其中m，nN*，并且mn阶乘形式C规定：C1.组合数的性质性质1：CC.性质2：CCC.知识点三排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数C与排列数A间存在的关系ACA知识归纳排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(
3、mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数用符号“A”表示An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，且mn)(1)An！；(2)0！1C组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号“C”表示C(n，mN*，且mn)(1)CC1；(2)CC；(3)CCC题型探究例110双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只鞋子恰有两双；（3）4只鞋子有2只成双，另2只不成双【答案】（1）3360(种)；（2）45(种)；（3）144
4、0(种)【详解】解：（1）从10双鞋子中选取4双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N243360(种)（2）从10双鞋子中选2双有种取法，即有45种不同取法（3）先选取一双有种选法，再从9双鞋中选取2双有种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N221440(种)例2平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线.（1）试写出以其中任意两个点为端点的有向线段.（2）试写出以其中任意两个点为端点的线段.（3）试写出以其中任意三点为顶点的三角形.【答案】（1）AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA
5、，CB，DB，DC；（2）AB，AC，AD，BC，BD，CD；（3）ABC，ABD，BCD.【详解】解：（1）以其中任意两个点为端点的有向线段为一个排列，共有有向线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC；（2）以其中任意两个点为端点的线段为一个组合问题，共有线段：AB，AC，AD，BC，BD，CD；（3）以其中任意三点为顶点的三角形是一个组合问题，共有ABC，ABD，BCD.例3对任意，定义+，其中为正整数.（1）求的值；（2）探究是否为定值，并证明你的结论；（3）设，是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ,
6、; (2)是定值，答案见解析;(3) 答案见解析.【详解】解：(1)由题意知，所以，(2)是定值，证明:由题意知，则，所以.(3) 假设存在正整数，使得成等差数列，则，当时，即，即，因为，所以，整理得，其中为正整数，因为，所以，当且仅当时等号成立，又，即不成立，即假设不成立，所以不存在存在正整数，使得成等差数列.例4有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，女生必须站在一起；（4）全体排成一排，男生互不相邻；（5）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；（6）(一题多解)全体
7、排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600;（6）3720【详解】（1）从7人中选5人排列，有765432 520(种).（2）分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有种方法，共有5 040(种).（3）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有576(种).（4）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有1 440(种).（5）法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有53 600(种)
8、.法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他有种排法，共有3 600(种).（6）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，共有3 720.法二：7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有23 720(种).例5现有编号为，的7个不同的小球（1）若将这些小球排成一排，且要求，三个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，
9、要求球排在中间，且，各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）若将这些小球排成一排，要求，四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【详解】（1）把，三个球看成一个整体，则不同的排法总数为种.（2）在正中间，所以的排法只有1种，因为，互不相邻，故，三个球不可能在同在的左侧或右侧，若，有1个在的左侧，2个在的右侧，则不同的排法有，同理可得若，有2个在的左侧，2个在的右侧，不同的排法有，故所求的不同排法总数为种.（3）从7个位置中选出4个
10、位置给，且，四个球按从左到右排，共有排法种，再排余下元素，共有种，故不同排法总数为种.（4）三个盒子所放的球数分别为或，若三个盒子所放的球数分别为，则不同排法共有，若三个盒子所放的球数分别为，则不同排法共有，故不同的排法总数为.课后小练1某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核（）求从甲、乙两组各抽取的人数；（）求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率2现有大小相同的只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球（1）将这只球
11、排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）（2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答）（3）现取只球，求各种颜色的球都必须取到的概率（请用数字作答）3（1）3个人坐在有八个座位的一排椅子上，若每个人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？（2）某高校现有10个保送上大学的名额分配给7所高中学校，若每所高中学校至少有1个名额，则名额分配的方法共有多少种？4将个编号为、的不同小球全部放入个编号为、的个不同盒子中.求：（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（3）每盒放一个球，并且
12、恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（4）把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？5现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？（5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”， 那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？6在中学生综合素质
13、评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生男生等级优秀合格尚待改进频数155表二：女生女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）求,的值；（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望；（3）由表中统计数据填写列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.男生女生总计优秀非优秀总计45参考公式：，其中.参考数据：0.010.05
14、0.01 2.7063.8416.635参考答案1（）2，1；（）；（）.【详解】（）因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，所以甲、乙两组的比例是，又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；（）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（）因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率2（1）种；（2）种；（3）.【详解】解：（1）只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有种方法；（2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，共
15、有种分法；（3）当取出个红球，个的白球，个的黑球时，；当取出个红球，个白球，个黑球时，；当取出个红球，个白球，个黑球时，；.故各种颜色的球都必须取到的概率为3（1）24；（2）84【详解】解：（1）由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有（种（2）根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空；相当于用6块档板插在9个间隔中，共有种不同方法所以名额分配的方法共有84种4（1）（种）；（2）（种）；（3）（种）；（4）（种）.【详解】（
16、1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为（种）；（2）先将个小球分为组，各组的球数分别为、，然后分配给个盒子中的个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）；（3）考查编号为的盒子中放入编号为的小球，则其它个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为、的盒子中放入的小球编号可以依次为、或、，因此，所求放法种数为（种）；（4）按两步进行，空盒编号有种情况，然后将个完全相同的小球放入其它个盒子，没有空盒，则只需在个完全相同的小球所形成的个空（不包括两端）中插入块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）.5（1）648；（2）156；（3）2296；（4）1140；（
17、5）1013【详解】（1）由题意，无重复的三位数共有个；（2）当百位为1时，共有个数；当百位为2时，共有个数；当百位为3时，共有个数，所以315是第个数；（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有个数；当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有个数，所以无重复的四位偶数共有个数；（4）当选出的偶数为0时，共有个数，当选出的偶数不为0时，共有个数，所以这样的四位数共有个数；（5）当挑出两个数时，渐减数共有个，当挑出三个数时，渐减数共有个，当挑出十个数时，渐减数共有个，所以这样的数共有个.6（1）；（2）详见解析；（3）没有.【详解】（1）设从高一年级男生中抽取人，则 解得，则从女生中抽取20人所以，.（2） 表一、二中所有尚待改进的学生共7人，其中女生有2人，则的所有可能的取值为0,1,2.，.则随机变量的概率分布列为： 012 所以数学期望为.（3）列联表如下：男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045，因为，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
