1、第八章 成对数据的统计分析基础知识知识点1.列联表（1）22列联表给出了_分类变量数据的交叉分类频数（2）定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示：XY合计Y0Y1X0ab_X1cdcd合计acbdn_像这种形式的数据统计表称为22列联表知识点2.独立性检验解决实际问题的主要环节(1)提出零假设H0：X和Y相互_，并给出在问题中的解释(2)根据抽样数据整理出22列联表，计算2的值，并与临界值x比较(3)根据检验规则得出推断结论(4)在X和Y不_的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律知识点3.相关关系的分类按变量间的增减性分为正相关和负相关正相关：当一个变量的值_时
2、，另一个变量的相应值也_负相关：当一个变量的值_时，另一个变量的相应值也_按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)线性相关：如果两个变量的取值呈现_相关或_相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量_相关；非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有_性，但不是_相关，我们称这两个变量非线性相关知识点4.一元线性回归模型称为Y关于x的一元线性回归模型其中Y称为_或_变量，x称为自变量或解释变量，a称为_参数，b称为_参数；e是Y与bxa之间的随机误差，如e0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述知识点5.对模型刻画数据效果的分析残差图法残差图中，如残差比较_地集
3、中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，说明经验回归方程较好地刻画两个变量的关系残差平方和法残差平方和(yii)2越_，模型的拟合效果越好课后小练1.某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”某种机械设备的使用年限 x （单位：年）与失效费 y （单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限 x （单位：年）1234567失效费 y （单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90（）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（）求出
4、 y 关于 x 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费参考公式：相关系数 r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2 线性回归方程 y=bx+a 中斜率和截距最小二乘估计计算公式： b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2 ， a=y-bx 参考数据： i=17(xi-x)(yi-y)=14.00 ， i=17(yi-y)2=7.08 ， 198.2414.10 2.垃圾分类收集处理是一项利国利民的社会工程和环保工程搞好垃圾分类收集处理，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容为推进
5、垃圾分类收集处理工作，A市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）： 能正确进行垃圾分类不能正确进行垃圾分类总计55岁及以下903012055岁以上503080总计14060200附： K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中 n=a+b+c+d P(K2k0) 0.150.100.050.025k0 2.0722.7063.8415.024（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分
6、类处理与年龄有关？ （2）将频率视为概率，现从A市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次记被抽取的3人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为 X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量 X 的分布列和均值 E(X) 3.为了了解空气质量指数（AQI）与参加户外健身运动的人数之间的关系，某校环保小组在暑假期间（60天）进行了一项统计活动：每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数，并与当天 AQI 值（从气象部门获取）构成60组成对数据 (xi,yi)(i=1,2,60) ，其中 xi 为当天参加户外健身运动的人数， yi 为当天的 AQI 值，并制作了如下散点图： 连续60
7、天参加健身运动人数与AQI散点图附： K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2k) 0.0500.0100.001K3.8416.63510.828（1）环保小组准备做y与x的线性回归分析，算得y与x的相关系数为 -0.58 ，试分析y与x的线性相关关系？ （2）环保小组还发现散点有分区聚集的特点，尝试作聚类分析用直线 x=100 与 y=100 将散点图分成I、四个区域（如图），统计得到各区域的点数分别为5、10、10、35，并初步认定“参加户外健身运动的人数不少于100与 AQI 值不大于100有关联”，试分析该初步认定的犯错率是否小于 1% ？ 4.20
8、20年是全面建成小康社会和“十三五”规划实现之年，也是脱贫攻坚收官之年2016年起某贫困地区采取优化产业结构，发展第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加，到2020年实现脱贫，基本达到小康水平为更好地了解该地区的经济收入变化情况，统计了该地区从2016年到2020年的经济收入变化以及2016年和220年经济收入的构成比例，得到如下列表和饼图： 年份2016年2017年2018年2019年2020年年份代号 x 12345经济收入 y （单位：百万元）813172532参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据 (xi,yi)(i=1,2,3,n) ，其回归直线 y=bx+a 的斜率和截距的最小
9、二乘估计分别为： b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2 ， a=y-bx （1）若该地区第三产业收入2020年是2016年的20倍，求2020年经济收入中第三产业收入和其他收入所占百分比 m ， n 的值； （2）求经济收入 y 关于 x 的线性回归方程，并预测2025年该地区的经济收入 5.某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱已知该网络购物平台近5年“双十一”购物当天成交额如下表： 年份20152016201720182019成交额（百亿元）912172127参考公式： b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(
10、xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx （1）求成交额 y （百亿元）与时间变量 x （记2015年为 x=1 ，2016年为 x=2 ，以此类推）的线性回归方程； （2）试预测2021年该平台“双十一”购物当天的成交额（百亿元） 答案解析1.【答案】 解：（）由题意，知 x=1+2+3+4+5+6+77=4 ， y=2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.907=4.30 ， i=17(xi-x)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28 结合参考数据知： r=14.0
11、0287.08=14.00198.2414.0014.100.99 因为 y 与 x 的相关系数近似为0.99，所以 y 与 x 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系（） b=i=17(xi-x)(yi-y)i=17(xi-x)2=1428=0.5 ， a=y-bx=4.3-0.54=2.3 y 关于 x 的线性回归方程为 y=0.5x+2.3 ，将 x=10 代入线性回归方程，得 y=0.510+2.3=7.3 估算该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元2.【答案】 （1）解：由列联表可知 K2=200(9030-5030)214060801203.571
12、 ， 因为 3.5712.706 ，所以有90%的把握认为A市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关（2）解：由题意可知，从该市55岁及以下的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人， 不能正确进行垃圾分类的频率为 14 ，所以 XB(3,14) ， X 的所有可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=C30(34)3=2764 ，P(X=1)=C3114(34)2=2764 ，P(X=2)=C32(14)234=964 ，P(X=3)=C33(14)3=164 ，所以 X 的分布列为X 0123P 2764 2764 964 164 所以 E(X)=314=34 3.【答案】 （1）解： -0.58 ，
13、y与x的相关关系为负相关， 且 |0.75 ，故线性相关性不强，所以不建议继续做线性回归分析，得到回归方程，拟合效果也会不理想（2）解：建立22列联表如下 人数 100 10515AQI100 103545合计204060代入公式计算得 K2=60(350-50)215452040=10 查表知 6.6351010.828 ，故犯错率在0.001与0.01之间，所以该初步认定的犯错率小于 1% 4.【答案】 （1）解：由表格及饼图可得： m32=2086% ， 解得 m=30% ， n=1-34%-30%-30%=6% （2）解：由表格数据可得： x=15(1+2+3+4+5)=3 ， y=1
14、5(8+13+17+25+32)=19 ， i=15xi2=12+22+32+42+52=55 , i=15xiyi=18+213+317+425+532=345 则 b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2=345-531955-532=6 ，a=y-bx=1 ，则经济收入 y 关于 x 的线性回归方程为 y=6x+1 ，当 x=10 时， y=61 ，则2025年时该地区的经济收入大约为陆仟壹百万元5.【答案】 （1）解：由已知得： x=1+2+3+4+55=3 ， y=9+12+17+21+275=17.2 ， i=15xiyi=19+212+317+421+527=303 ，i=15xi2=12+22+32+42+52=55 ，所以 b=i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2=303-5317.255-532=4.5 ，则 a=y-bx=17.2-4.53=3.7 ，所以 y=bx+a=4.5x+3.7 ；（2）解：以题意可知2021年为 x=7 ，当 x=7 时， y=4.57+3.7=35.2 （百亿元） 所以估计2021年该平台“双十一”购物当天的成交额为35.2（百亿元）
