1、(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五; 鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏 个数分别为x,y,z,则 当z=81时,x= ,y= .,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,答案 8;11,解析 本题考查二元一次方程组的实际应用. 把z=81代入方程组,化简得 解得,考点 函数模型及其综合应用,B组 统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2019课标全国理,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背 面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要
2、解决的一个关键技术问 题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围 绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月 球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方 程: + =(R+r) . 设= .由于的值很小,因此在近似计算中 33,则r的近似值为 ( ) A. R B. R C. R D. R,答案 D 本题考查数学应用意识、运算求解能力以及方程思想;通过物理背景旨在考查数 学建模、逻辑推理和数学运算的核心素养.体现了试题的创新意识,激发了学生的爱国情怀以
3、及正确的国家观. 将r=R代入方程可得 + =(1+) , 即 + =(1+)M1, = ,即 = , 33, ,r=R R.故选D.,解后反思 题中内容丰富、字母较多,需要冷静、沉思,抓住题的实质,进而转化成数学运算问 题.平时一定要注重培养良好的解题习惯.,2.(2019课标全国理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x(0,1时, f(x)=x (x-1).若对任意x(-,m,都有f(x)- ,则m的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查了函数图象的应用以及不等式恒成立;考查数形结合思想的应用;以函数 间的递推关系为背景考查逻
4、辑推理及数据分析的核心素养. 由题意可知,当x(0,1时,f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x= 时, f(x)min=- ,且当x= 时, f(x)=- .当x(1, 2时,x-1(0,1,则f(x)=2f(x-1).当x(-1,0时,x+1(0,1,则 f(x)= f(x+1). 若x(1,2,则当x= 时, f(x)min=- ,且x= 时, f(x)=- . 同理,若x(2,3,则当x= 时, f(x)min=-1,且x= 时, f(x)=- . 函数f(x)的大致图象如图所示.,f(x)- 对任意x(-,m恒成立,当x(-,m时, f(x)min- ,由图可知m .故选B.,思路
5、分析 由x(-,m时,f(x)- 恒成立,可知f(x)min- .由递推关系可作出y=f(x)的大致图 象.由图可得m的范围.,疑难突破 由x(0,1, f(x)=x(x-1),结合递推关系f(x+1)=2f(x)得出xR时,y=f(x)的图象是本题 的难点.,3.(2017课标全国文,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( ) A. f(x)在(0,2)单调递增 B. f(x)在(0,2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,答案 C 本题考查函数的图象与性质. 函数f(x)=ln x+ln(2-x)=lnx(2-
6、x),其中0x2,则函数f(x)由f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函 数的单调性可知,x(0,1)时, f(x)单调递增,x(1,2)时, f(x)单调递减,故A、B选项错误;t(x)的图 象关于直线x=1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C选项正确,D 选项错误.故选C.,4.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin + k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 ( ) A.5 B.6 C.8 D.10,答案 C 因为函数y=3sin +k的
7、最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大 值为3+5=8(m),选C.,评析 在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如y= Asin(x+)+k的函数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的值.,5.(2019北京文,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白 梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种 水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功 后,李明会得到支付款的80%. 当x=10时,顾客
8、一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元; 在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值 为 .,答案 130 15,解析 本题通过生活中常见的网络购物,考查函数的实际应用,利用促销返利考查学生应用数 学知识解决实际问题的能力.让学生通过分析,把实际问题模型化,构建不等式,体现了社会生 活与学习的密切联系. x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元. 设每笔订单金额为m元,则只需考虑m120时的情况. 根据题意得(m-x)80%m70%, 所以x ,而m120, 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的
9、七折,则x ,而 =15, x15. 所以x的最大值为15.,解题关键 正确理解“每笔订单得到的金额”与“促销前总价的七折”是解题关键.,6.(2018天津文,14,5分)已知aR,函数f(x)= 若对任意x-3,+), f(x)|x|恒 成立,则a的取值范围是 .,答案,解析 本题主要考查不等式恒成立问题. 当x-3,0时,因为f(x)|x|恒成立,所以x2+2x+a-2-x,参变量分离得a-x2-3x+2,令y=-x2-3x+ 2=- + ,所以当x=0或x=-3时,y取得最小值,为2,所以a2. 当x(0,+)时,因为f(x)|x|恒成立,所以-x2+2x-2ax,参变量分离得a- x2
10、+ x,令y=- x2+ x=- + ,所以当x= 时,y取得最大值,为 , 所以a . 由可得 a2.,方法技巧 用分离参变量法求解不等式恒成立问题的技巧. 若不等式f(x,)0(xD,为实参数)恒成立,则将f(x,)0转化为g(x)或g(x)(xD)恒成 立,进而转化为g(x)max或g(x)min(xD),求g(x)(xD)的最值即可.该方法适用于参数与变 量能分离,函数最值易求的题目.,7.(2018江苏,17,14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆 弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上 修建
11、两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求A, B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为. (1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积,并确定sin 的取值范围; (2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之 比为43.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.,解析 本题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模 及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. (1)设PO的延长线交MN于H,则PHMN,所以OH=10米. 过O作OEBC于E,则OEMN,所以COE=, 故O
12、E=40cos 米,EC=40sin 米, 则矩形ABCD的面积为240cos (40sin +10) =800(4sin cos +cos )平方米, CDP的面积为 240cos (40-40sin )=1 600(cos -sin cos )平方米. 过N作GNMN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10米.,令GOK=0,则sin 0= ,0 . 当 时,才能作出满足条件的矩形ABCD, 所以sin 的取值范围是 . 答:矩形ABCD的面积为800(4sin cos +cos )平方米,CDP的面积为1 600(cos -sin cos )平 方米,sin 的取值范围是
13、. (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43, 所以设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k0). 则年总产值为4k800(4sin cos +cos )+3k1 600(cos -sin cos )=8 000k(sin cos +cos ), . 设f()=sin cos +cos , . 则f ()=cos2-sin2-sin =-(2sin2+sin -1)=-(2sin -1)(sin +1),令f ()=0,得= , 当 时, f ()0,所以f()为增函数; 当 时, f ()0,所以f()为减函数, 因此,当= 时, f()取到最大值. 答:当=
14、时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.,名师点睛 (1)用含的式子表示OE和EC,从而求出矩形ABCD及三角形CPD的面积,求定义域 时抓住N、G关于OK对称得到GOK的正弦值,从而求得sin 的取值范围. (2)先构造函数,再用导数求最值,求导时,交代的取值范围,判断f ()的符号,再确定f()的单调 性,就能得到f()的最大值,从而解决问题.,考点 函数模型及其综合应用,C组 教师专用题组,1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 ( ) A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5
15、千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,答案 D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h 时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程 都超过5 km,则A错; 对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车 耗油最少,则B错; 对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油8 0110=8(升),则C错; 对于选项D:当行驶速度小于80 km/
16、h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用 丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.,2.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b (e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保 鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是 小时.,答案 24,解析 依题意有192=eb,48=e22k+b=e22keb, 所以e22k= = = ,所以e11k= 或- (舍去),于是该食品在33 的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3eb= 192=24(小时).,评析
17、本题考查了函数的应用,考查转化与化归的数学思想.,3.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现 状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区 边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为 5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立 平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y= (其中a,b为常数)模型. (1)求a,b的值; (2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
18、请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; 当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.,解析 (1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5). 将其分别代入y= ,得 解得 (2)由(1)知,y= (5x20),则点P的坐标为 , 设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,y=- , 则l的方程为y- =- (x-t),由此得A ,B . 故f(t)= = ,t5,20. 设g(t)=t2+ ,则g(t)=2t- .令g(t)=0,解得t=10 .,当t(5,10 )时,g(t)0,g(t)是增函数. 从而,当t=10 时,函数g(t)有极小值,也是最小值
19、,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15 . 答:当t=10 时,公路l的长度最短,最短长度为15 千米.,评析 本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知 识分析和解决实际问题的能力.,考点 函数模型及其综合应用,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019浙江台州一中、天台一中高三上期中,10)已知f(x)=acos x-4cos3x,若对任意的xR,都有| f(x)|1,则a= ( ) A.1 B.3 C.4 D.8,答案 B 令cos x=t(t-1,1),则原函数变为f(t)=at-4t3,所以f (t)=-12t
20、2+a(a0). 令f (t)=0,解得t= . 由选项知,a12,则f(t)在 和 上单调递增,在 上单调递减. 故需满足条件 解得a=3,故选B.,2.(2019浙江镇海中学期中考试,17)设函数f(x)= 若存在互不相等的4个实数x1,x 2,x3,x4,使得 = = = =7,则a的取值范围为 .,答案 (6,18),解析 由题可知函数y=f(x)与y=7x的图象有4个不同的交点,当x1时,易得交点有2个,则只 需x1时,x(x-2)2+a=7x有两个不同的实数根,即a=7x-x(x-2)2(x1),令g(x)=7x-x(x-2)2,则g(x)=7-(x- 2)2-2x(x-2)=(3
21、x+1)(3-x),则当x(1,3)时,g(x)0,当x(3,+)时,g(x)0,其中g(1)=6,g(3)=18,所以 a(6,18).,3.(2018浙江镇海中学阶段性测试,16)定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个x1,x2(x1 x2),均有|f(x1)-f(x2)|k|x1-x2|成立,则称函数f(x)在定义域D上满足利普希茨条件.若函数f(x)= (x1)满足利普希茨条件,则常数k的最小值为 .,答案,解析 |f(x1)-f(x2)|=| - |= ,要使|f(x1)-f(x2)|k|x1-x2|对任意x1,x21,+),且x1x2恒 成立,则有k ,而 ,则k , k的
22、最小值为 .,4.(2019浙江高考数学仿真卷(三),17)已知定义在1,+)上的函数f(x)= (t0),对满足|x1-x 2|1的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|1,则实数t的取值范围是 .,答案 (0,4,解析 易知f(1)=|t-5|,f(2)= . (1)当t8时,f(1)=t-5,f(2)= -4,f(1)-f(2)=t-5- = -13,不符合题意; (2)当61,不符合题意; (3)当t=6时,f(x)= ,f(3- )=0,f(4- )= 1,不符合题意; (4)当51,不符合 题意;,(5)当0t,|f(x1)-f(x2)|= = 1. 又易知当x11, ),
23、x2( ,+)时,|f(x1)-f(x2)|1. 综上,实数t的取值范围是(0,4.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:25分钟 分值:42分 一、选择题(共4分),1.(2019浙江高考“超级全能生”联考(2月),9)已知f(x)= 若f(x)+2 +|f(x)-2 |-2ax-4=0恰有两个不等实根x1,x2,则实数a的取值所组成的集合为 ( ) A.2 -2-2,0 B.2 -20,2 C.2 +20,2 D.2 +2-2,0,答案 A 本题考查函数的零点问题. 由题意得f(x)+2 +|f(x)-2 |=max2f(x),4 =2ax+4, 即maxf(x),2 =a
24、x+2. 令g(x)=maxf(x),2 = h(x)=ax+2,易知f(x)+2 +|f(x)-2 |-2ax-4=0恰有两个不等实根,等价于函数g(x)与h(x)的 图象有两个不同的交点.作出函数g(x)和h(x)的图象如图, 由图象可知,h = 或0h(1)2,解得a=2 -2或a-2,0,故选A.,解题关键 利用maxa,b= 化简等式是解题的关键.,二、填空题(共10分),2.(2019浙江镇海中学阶段性测试,15)若对于任意实数a(-,0)及bm,+),恒有 2b-2, 则实数m的最小值为 .,答案 2,解析 因为 2b-2等价于alog2 b-2,且a0,所以log 2b-1 (
25、b-2).令f(b)=log 2b- (b-2)-1, 则其在(0,+)上为单调递增函数,且f(2)=0,所以f(b)f(2)=0,所以b2,即m的最小值为2.,评析 本题考查了指数函数,对数函数,幂函数的性质的综合应用.考查学生的运算求解能 力,属于难题.,3.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,17)已知函数f(x)=x(x-x),x为x的整数部分,则f(f(5.68)= ;当0x2 017时, f(x)x-1的解集为 .,答案 1.2;x|1x2 017,解析 f(5.68)=5(5.68-5)=3.4, f(f(5.68)=f(3.4)=30.4=1.2. 当nxn+1,nN时,有f(
26、x)=n(x-n)x-1. 即当nxn+1,nN时,有(n-1)xn2-1. 显然,当n=0,即0x1时,有x1,矛盾,无解. 当n=1,即1x2时,有00成立,即解集为x|1x2. 当n2,即nxn+1时,有xn+1,即解集为x|nxn+1. 故当0x2 017时, f(x)x-1的解集为x|1x2 017. 又当x=2 017时, f(x)x-1的解集为x|x=2 017. 综上,当0x2 017时, f(x)x-1的解集为x|1x2 017.,4.(2019浙江镇海中学阶段性测试,22)设函数f(x)=x|x-a|-x(aR). (1)讨论f(x)的奇偶性; (2)存在实数a对任意的x0
27、,t,不等式-4f(x)6恒成立,求实数t的最大值及此时a的值.,三、解答题(共28分),解析 (1)当a=0时,f(x)=x|x|-x为奇函数. (2分) 当a0时,f(-a)+f(a)=-2a|a|0,f(x)不是奇函数, (3分) 又f(-x)-f(x)=x(2-|x+a|-|x-a|), |x+a|+|x-a|=2不恒成立,所以f(x)也不是偶函数. (5分) 所以当a=0时,f(x)为奇函数; 当a0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (6分) (2)f(x)= 当 即a-1时,f(x)=x2-(a+1)x在0,t上为增函数, 则f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(
28、t).因为对任意x0,t时,有-4f(x)6 恒成立, 所以存在a-1,使得f(t)6恒成立,即t2-(a+1)t6恒成立, 即存在a-1,使得t- a+1成立,故有t- 0,得t , 即a-1时, 有0t . (8分),当 即-1a0时,f(x)=x2-(a+1)x在 上单调递减,在 上单调递增,而f (0)=0(-4,6),f =- (-4,6). 故只需f(t)6恒成立,即t2-(a+1)t6恒成立. 即存在-1a0,使得t- a+1成立,故有t- 1,得t3. 即-1a0时,有0t3. (10分) 当 即0a1时,则f(x)= 在 上为减函数,在 上 为增函数,而f(0)=0(-4,6
29、),f =- (-4,6).,故只需f(t)6恒成立,即t2-(a+1)t6恒成立. 即存在01时,f(x)在 上为增函数,在 上为减函数,在(a,+)上为增函 数,而f(0)=0(-4,6),f(a)=-a0. 要使不等式-4f(x)6恒成立,需 得1a4. 从而转化为存在a(1,4,使得t2-(a+1)t6成立. 即存在a(1,4,使得t- a+1成立.即t- 5,得0t6. 综上,存在a(1,4,t的最大值为6,此时,由f(6)=36-6(a+1)6,得a4, 从而a=4. (14分),5.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,20)定义函数f(x)=(1-x2)(x2+bx+c).
30、(1)如果f(x)的图象关于直线x=2对称,求2b+c的值; (2)若x-1,1,记|f(x)|的最大值为M(b,c),当b,c变化时,求M(b,c)的最小值.,解析 (1)易得x=1是函数的零点,由于f(x)的图象关于直线x=2对称,故3,5也是函数f(x)的零点, 因此x2+bx+c=0的两根分别为3,5,由根与系数的关系知b=-8,c=15,所以2b+c=-1. (2)对任意的x-1,1,|f(x)|M(b,c),所以,取x=,0得 所以2|(1-2)(2+c)|2M(b,c), 因此|(1-2)(2+c)|M(b,c), 所以|(1-2)2|(1-2)(2+c)|+|(1-2)|c|(
31、2-2)M(b,c), 因此M(b,c) =3-2 (当且仅当2=2- 时,取得最大值),此时b=0,c=2 -3, 经验证,(1-x2)(x2+2 -3)3-2 满足题意. 故当b=0,c=2 -3时,M(b,c)取得最小值,且最小值为3-2 .,(2019 53原创题)设函数f(x)在(-,+)上有定义,且对任意的x,yR,有|f(x)-f(y)|x-y|,并且函数 f(x+1)的对称中心是(-1,0),若函数g(x)-f(x)=x,则不等式g(2x-x2)+g(x-2)0的解集是 ( ) A.(-,1)(2,+) B.(1,2) C.(-,-1)(2,+) D.(-1,2),C组 20172019年高考模拟应用创新题组,答案 A 任取x1,x2(-,+),且x1x1时,有g(x2)g(x1),所以g(x)在R上单调递增. 又因为函数f(x+1)的对称中心是(-1,0), 所以f(x)的对称中心是(0,0),即函数f(x)是奇函数. 又g(x)=f(x)+x,所以g(x)在定义域(-,+)上也是奇函数. 不等式g(2x-x2)+g(x-2)2或x1,故选A.,
