1、五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,考点 简单的线性规划 (2016江苏,12,5分)已知实数x,y满足 则x2+y2的取值范围是 .,答案,解析 不等式组 表示的可行域如图所示, 由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+ y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2= = ,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2的取 值范围为 .,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点 简单的线性规划,1.(2019浙江改编,3,4分)若实数x,y满足约束条件 则z=3x+2y
2、的最大值是 .,答案 10,解析 本题考查简单的线性规划问题,考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算的核心素 养. 根据题意画出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分所示),画出直线l0:3x+2y=0,平移l0可 知,当l0经过点C(2,2)时,z取最大值,即zmax=32+22=10.,一题多解 根据线性约束条件得出平面区域为ABC及其内部(如上图所示),其中A(-1,1),B(1, -1),C(2,2),经检验,知目标直线经过点C(2,2)时,z取最大值10.,2.(2019天津理改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=-4x+y的最大值为 .,答案 5,解析 本题主要
3、考查简单的线性规划.通过求线性目标函数的最大值考查学生的运算求解能 力,体现了数形结合的素养要素. 作出可行域(如图中阴影部分), 平移直线-4x+y=0可知,目标函数z=-4x+y在点P处取最大值. 由 得P(-1,1). zmax=-4(-1)+1=5.,解题反思 对于目标函数z=Ax+By,若B0,则目标直线向上平移时z变大;若B0,则目标直线向 下平移时z变大.,3.(2019北京理改编,5,5分)若x,y满足|x|1-y,且y-1,则3x+y的最大值为 .,答案 5,解析 本题考查线性规划与绝对值不等式;考查学生的运算能力、数形结合思想的应用;考查 的核心素养为直观想象与数学运算.
4、|x|1-y,且y-1等价于 表示的平面区域如图中阴影部分所示. 令3x+y=z,则y=-3x+z,当z=0时,方程y=-3x+z表示直线l,当直线l向右上方平移时,z逐渐增大,当直 线过点A(2,-1)时,z=3x+y取最大值,为32-1=5.,疑难突破 解决本题的关键是利用绝对值的性质,将|x|1-y等价转化为,4.(2019课标全国文,13,5分)若变量x,y满足约束条件 则z=3x-y的最大值是 .,答案 9,解析 本题考查简单的线性规划问题;以二元一次不等式组作为约束条件考查学生数形结合 思想及运算求解能力;考查数学运算的核心素养. 作出可行域(如图阴影部分所示). 易得A(3,0)
5、,B(1,2),C(0,2). 将z=3x-y化为y=3x-z,由图知,当直线y=3x-z经过点A(3,0)时,截距-z取得最小值,从而z取得最大 值. zmax=33=9.,易错警示 因为目标函数中y的系数为负值,所以容易理解为在点C处取得最大值,导致错误.,5.(2018北京理,12,5分)若x,y满足x+1y2x,则2y-x的最小值是 .,答案 3,解析 本题主要考查简单的线性规划问题. 由x+1y2x作出可行域,如图中阴影部分所示. 设z=2y-x,则y= x+ z, 当直线y= x+ z过A(1,2)时,z取得最小值3.,方法总结 解决简单的线性规划问题的方法 先利用线性约束条件作出
6、可行域,然后利用变形后的目标函数所对应的直线找到最优解,从而 求得最值.,6.(2018课标全国理,14,5分)若x,y满足约束条件 则z=x+y的最大值为 .,答案 9,解析 本题考查简单的线性规划. 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示). 当直线x+y-z=0经过点A(5,4)时,z=x+y取得最大值,最大值为9.,7.(2018浙江,12,6分)若x,y满足约束条件 则z=x+3y的最小值是 ,最大值是 .,答案 -2;8,解析 本题考查简单的线性规划. 由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图. 当直线y=- x+ 过
7、点C(4,-2)时,z=x+3y取得最小值-2,过点B(2,2)时,z=x+3y取得最大值8.,思路分析 (1)作出可行域,并求出顶点坐标. (2)平移直线y=- x,当在y轴上的截距最小时,z=x+3y取得最小值,当在y轴上的截距最大时,z=x+ 3y取得最大值.,8.(2017课标全国,14,5分)设x,y满足约束条件 则z=3x-2y的最小值为 .,答案 -5,解析,本题考查线性规划问题,考查学生对数形结合思想的应用能力. 由约束条件作出可行域,如图阴影部分所示. 平移直线3x-2y=0可知,目标函数z=3x-2y在A点处取最小值,又由 解得 即A(-1, 1),所以zmin=3(-1)
8、-21=-5.,温馨提醒 在求解直线型目标函数z=Ax+By的最值时,一定要注意y前系数B的符号.,9.(2016课标全国,14,5分)若x,y满足约束条件 则z=x-2y的最小值为 .,答案 -5,解析 由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时, z取得最小值,zmin=3-24=-5.,10.(2015课标全国,15,5分)若x,y满足约束条件 则 的最大值为 .,答案 3,解析 由约束条件画出可行域,如图. 的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以 的最大值即为直线OA的斜率, 又由 得点A的坐标为(1,3),则 =
9、kOA=3.,解题关键 分析出 的几何意义是可行域内点(x,y)与原点O连线的斜率是解题的关键.,名师点睛 (1)解决线性规划问题要利用数形结合的思想方法求解,一定要画出可行域,不可直 接代点求解,因为可行域不一定是三角形;(2)将目标函数进行有效变形是解题的关键.,C组 教师专用题组,考点 简单的线性规划,1.(2019北京文,10,5分)若x,y满足 则y-x的最小值为 ,最大值为 .,答案 -3;1,解析 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想方法.核心素养体现了直观想象. 由线性约束条件画出可行域,为图中的ABC及其内部.易知A(-1,-1),B(2,-1),C(2,3).设z
10、=y-x,平 移直线y-x=0,当直线过点C时,zmax=3-2=1,当直线过点B时,zmin=-1-2=-3.,解题关键 正确画出可行域是求解的关键.,2.(2018天津文改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=3x+5y的最大值为 .,答案 21,解析 本题主要考查线性目标函数最值的求解. 由变量x,y满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示). 作出基本直线l0:3x+5y=0,平移直线l0,当经过点A(2,3)时,z取最大值,zmax=32+53=21.,方法总结 线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略: (1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区
11、域的顶点或边界处取得,所以 对于一般的线性规划问题,我们可以直接求出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相 应的数值,从而确定目标函数的最值. (2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当常数 用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式 求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察确定含参的式子所满足的条 件,确定最优解的位置,从而求出参数.,3.(2018课标全国文,14,5分)若x,y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值为 .,答案 6,解析 本题主要考查线性规划. 由x,y满足的约束条件画
12、出对应的可行域(如图中阴影部分所示). 由图知当直线3x+2y-z=0经过点A(2,0)时,z取得最大值,zmax=23=6.,4.(2018课标全国文,15,5分)若变量x,y满足约束条件 则z=x+ y的最大值是 .,答案 3,解析 本题考查简单的线性规划. 解法一:根据约束条件作出可行域,如图所示. z=x+ y可化为y=-3x+3z. 求z的最大值可转化为求直线y=-3x+3z纵截距的最大值, 显然当直线y=-3x+3z过A(2,3)时,纵截距最大, 故zmax=2+ 3=3. 解法二:画出可行域(如解法一所示),由图知可行域为三角形区域,易求得顶点坐标分别为(2,3),(2,-7),
13、(-2,1),将三点坐标代入,可知zmax=2+ 3=3.,5.(2017课标全国理改编,5,5分)设x,y满足约束条件 则z=2x+y的最小值是 .,答案 -15,解析 本题考查简单的线性规划问题. 根据线性约束条件画出可行域,如图. 作出直线l0:y=-2x.平移直线l0,当经过点A时,目标函数取得最小值. 由 得点A的坐标为(-6,-3). zmin=2(-6)+(-3)=-15.,6.(2017课标全国,13,5分)若x,y满足约束条件 则z=3x-4y的最小值为 .,答案 -1,解析 本题考查简单的线性规划. 画出约束条件所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界). 可得目标函
14、数z=3x-4y在点A(1,1)处取得最小值,zmin=31-41=-1.,7.(2016课标全国,13,5分)设x,y满足约束条件 则z=2x+3y-5的最小值为 .,答案 -10,解析 可行域如图所示(包括边界),直线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过 (-1,-1)时,z取最小值,zmin=-10.,评析 本题考查了简单的线性规划问题,正确画出可行域是求解的关键.,8.(2016四川改编,7,5分)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)22,q:实数x,y满足 则p是q的 条件.(填“必要不充分”“充分不必要”“充要”“既不充分也不必要”),答
15、案 必要不充分,解析 如图作出p,q表示的区域,其中M及其内部为p表示的区域,ABC及其内部(阴影部分) 为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.,9.(2016课标全国,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产 一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现 有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和 的最大值为 元.,答案 216 000,
16、解析 设生产产品A x件,生产产品B y件,利润之和为z元,则z=2 100x+900y. 根据题意得 即 作出可行域(如图中整点). 由 得 当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最大值,zmax=2 10060+900100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.,10.(2015浙江,14,4分)若实数x,y满足x2+y21,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 .,答案 3,解析 x2+y21,6-x-3y0,令t=|2x+y-2|+|6-x-3y|,当2x+y-20时,t=x-2y+4.点(x,y)可取区域 内的点(含边界). 通
17、过作图可知,当直线t=x-2y+4过点A 时,t取最小值,tmin= - +4=3. 当2x+y-28-3 -4 =3. 综上,tmin=3,即|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3.,11.(2014浙江,13,4分)当实数x,y满足 时,1ax+y4恒成立,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 不等式组构成以A(1,0),B ,C(2,1)为顶点的三角形区域(包含边界).又1x2,所以1 ax+y4转化为 -a 恒成立. 而k1= 表示可行域内点P(x,y)与定点(0,4)连线的斜率,其最大值为- . 同理,k2= 表示可行域内点P(x,y)与定点(0,1)连线的斜率,其最小值为-
18、1,故有- -a-1, 即1a .,12.(2014安徽改编,5,5分)x,y满足约束条件 若z=y-ax取得最大值的最优解 , 则实数a的值为 .,答案 2或-1,解析 作出可行域(如图),为ABC内部(含边界).由题设z=y-ax取得最大值的最优解不唯一可 知:线性目标函数对应的直线与可行域某一边界重合.由kAB=-1,kAC=2,kBC= 可得a=-1或a=2或a= , 验证:a=-1或a=2时,成立;a= 时,不成立.,13.(2013江苏,9,5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形 内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y
19、的取值范围是 .,答案,解析 y=x2,y|x=1=2x|x=1=2. 故抛物线y=x2在x=1处的切线方程为2x-y-1=0,设其与x轴,y轴交于A,B两点,则A ,B(0,-1),区 域D为如图中阴影部分, 令z=x+2y,即y=- x+ z,易知直线y=- x+ z分别过A、B两点时z取最大、最小值, zmax= +20= ,zmin=0+2(-1)=-2, x+2y的取值范围是 .,14.(2012江苏,14,5分)已知正数a,b,c满足:5c-3ab4c-a,cln ba+cln c,则 的取值范围是 .,答案 e,7,解析 cln ba+cln c,ln b +ln c, ln ,
20、令 =x, =y,则ln yxyex. 5c-3ab4c-a,5- 4- , 即5-3xy4-x,由 确定可行域如图,而 = = 表示可行域内的点P(x,y)与原点 (0,0)连线的斜率, 显然在 处取得, =7, 为函数y=ex图象的过原点的切 线的斜率,设切点为(x0, ),则 = x0=1,切点为(1,e),在可行域内成立, =e, e,7.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点 简单的线性规划,1.(2019如皋期末,7)设实数x,y满足约束条件 则z=2x-y的最大值是 .,答案 1,解析 根据实数x,y满足约束条件 画出可行域,如图: 由 解得A(0,-1)
21、.可知当目标函数所对应的直线经过点A时z取最大值,即zmax=20-(-1)= 1.,思路分析 根据题意画出约束条件表示的可行域,平移直线,找到最大值点,再将该点的坐标代 入即可求得答案.,2.(2019南通通州、海门联考,7)已知实数x,y满足 则z=2x+y的最大值为 .,答案 7,解析 作出不等式组表示的可行域,如图所示: 联立 得A(2,3), 由题题得,当直线y=-2x+z经过点A(2,3)时,直线的纵截距z最大,zmax=22+3=7,所以z=2x+y的最大 值为7.,3.(2019如皋一模,7)已知变量x,y满足约束条件|2x+y-2|1,x0,y0,则x-2y+1的最大值为 .
22、,答案,解析 |2x+y-2|1, 作出 表示的平面区域,如图. 易得直线2x+y-3=0与x轴的交点为A .设t=x-2y+1, 当直线t=x-2y+1经过A点时,t取最大值,tmax= -0+1= .,故x-2y+1的最大值为 .,4.(2018扬州期末,8)若实数x,y满足 则x2+y2的取值范围是 .,答案,解析 不等式组所表示的平面区域如图所示: x2+y2表示区域中的点与原点距离的平方,其中原点到直线3x+4y-12=0的距离为 = ,原 点到A(4,3)的距离为5,所以x2+y2的取值范围是 .,评析 本题是距离型的目标函数求取值范围,在可行域内求点到原点的距离平方的取值范围.
23、属于基础题.,5.(2018南京十校联考,9)若不等式组 所表示的平面区域被直线y=kx+4分为面积相等 的两部分,则k的值为 .,答案 -,解析 不等式组所表示的平面区域为如图所示的三角形ABC及其内部, 由 得 故点C . 易得A(0,2),B(0,4),设AC的中点为D,则D . 由题意可知,当D点在直线y=kx+4上时,直线把不等式组所表示的区域分为面积相等的两部分, 解得k=- .,6.(2017无锡期末,7)设不等式组 表示的平面区域为M,若直线y=kx-2上存在M内的点, 则实数k的取值范围是 .,答案 2,5,解析 由约束条件 作出可行域如图, 直线y=kx-2恒过点A(0,-
24、2),且斜率为k, 由图知,当直线y=kx-2过点B时,k取最大值, 由 得B(1,3),kmax= =5, 当直线y=kx-2过点C时,k取最小值, 由 得C(2,2),kmin= =2.,故实数k的取值范围为2,5.,方法总结 若直线y=kx-2上存在M内的点,则直线与不等式组表示的可行域有公共点,而这条 直线经过(0,-2),所以就是求区域内的点与(0,-2)连线的斜率的取值范围.,7.(2017盐城三模,8)设x,y满足 则z=x+y的最大值为 .,答案 1,方法总结 若直线y=kx-2上存在M内的点,则直线与不等式组表示的可行域有公共点,而这条 直线经过(0,-2),所以就是求区域内
25、的点与(0,-2)连线的斜率的取值范围.,7.(2017盐城三模,8)设x,y满足 则z=x+y的最大值为 .,答案 1,解析 作出可行域如图: 由图可知,当直线y=-x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,由 可得A ,所以z的最大 值为 + =1.,8.(2017苏北三市三模)已知实数x,y满足 则 的取值范围是 .,答案,解析 画出不等式组表示的平面区域(如图), 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率,易 得A(3,2),B(3,-1),则kOA= ,kOB=- ,由图易知 的取值范围为 .,填空题(每小题5分,共50分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：30分钟 分
26、值：50分),1.(2019连云港期中,8)已知实数x,y满足 则当2x-y取得最小值时,x2+y2的值为 .,答案 5,解析 不等式组所表示的平面区域如图所示, 令z=2x-y,当直线z=2x-y过点B(1,2)时,z取得最小值,此时x2+y2的值为5.,2.(2019南通、如皋二模,8)已知实数x,y满足 则z= 的取值范围是 .,答案,解析 不等式组表示的平面区域如图, z= = ,可看成是平面区域内任一点P(x,y)与点Q(0,-1)的连线的斜率,由图可知,直线 AQ的斜率最小,z无最大值. 易得点A的坐标为(3,1),kAQ= = , 所以z= 的取值范围是 .,3.(2019徐州检
27、测,8)已知x,y满足约束条件 则z= 的取值范围为 .,答案,解析 不等式组所表示的平面区域如图所示. z= = ,等价于平面区域内任一点P(x,y)与点D(-2,0)连线的斜率的倒数. 易得A(1,2),C , 所以kDA= ,kDC= ,所以斜率倒数的范围为 ,所以z= 的取值范围为 .,4.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,7)若实数x,y满足xy2x+3,则x+y的最小值 为 .,答案 -6,解析 原不等式等价于 作出其表示的平面区域如图所示. 设z=x+y,当直线z=x+y过点A(-3,-3)时,z取得最小值-6.,5.(2019扬州中学检测,9)抛物线y=x2在x=1
28、处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三 角形内部和边界).若点P(x,y)是区域D内任意一点,则x+2y的取值范围是 .,答案,解析 y=x2,y=2x,y|x=1=2,而当x=1时y=1,即切点为(1,1),切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1= 0,切线与两坐标轴围成的三角形区域如图.令u=x+2y,由图知,直线u=x+2y经过A 时,u取得 最大值,即umax= ;直线u=x+2y经过B(0,-1)时,u取得最小值,即umin=-2,故x+2y的取值范围是 .,6.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,10)已知等差数列an的前n项和为Sn,若1 a13,6
29、S315,则 的取值范围是 .,答案,解析 设等差数列的公差为d,则 = =1+ ,所以只需求 的取值范围,根据条件6S3 15得到2a1+d5,又1a13,作出可行域,如图. 易得- 4,所以 =1+ .,7.(2018南京、盐城一模,14)若不等式ksin2B+sin Asin C19sin Bsin C对任意ABC都成立,则 实数k的最小值为 .,答案 100,解析 由正弦定理得k - , 令x= ,y= ,则k19y-xy, 由 得 即 令z=19y-xy,可得y= . 画出可行域如图,当y= 的图象与直线y=x+1相切时,z取最大值,易求得zmax=100. k的最小值是100.,8
30、.(2017常州第一学期调研,11)在平面直角坐标系中,点P是由不等式组 所确定的平 面区域内的动点,M,N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点,则 的最小值为 .,答案 7,解析 因为M,N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点,所以两点关于原点对称,可设M(x1,y1),则N(-x1, -y1),设P(x,y),则 =(x1-x,y1-y)(-x1-x,-y1-y)=x2- +y2- ,由M,N在圆x2+y2=1上,得 =x2+y 2-1. 点P是不等式组 所确定的平面区域内的动点,画出可行域,可得 =x2+y2-1 -1=7, 即 的最小值为7.,思路分析 M,N是圆x2+y2=1的一条直
31、径的两端点,所以两点关于原点对称,可设M(x1,y1),则N(-x1, -y1),设P(x,y),求出 =x2- +y2- ,再利用M,N在圆x2+y2=1上及x2+y2的几何意义求解.,9.(2017无锡期中)已知x,y满足 若z=3x+y的最大值为M,最小值为m,且M+m=0,则实数a 的值为 .,答案 -1,解析 不等式组 表示的平面区域如图所示, 由 可得A(a,a), 由 可得B(1,1).,结合图形可以看出:当动直线y=-3x+z经过点A(a,a)和B(1,1)时,z=3x+y分别取最小值m=4a和最 大值M=4,所以4a+4=0,所以a=-1.,10.(2017扬州中学高三月考,9)已知点P(x,y)满足 则点Q(x+y,y)构成的图形的面积 为 .,答案 2,解析 令x+y=a,y=b,则(a,b)满足 建立如下直角坐标系,并画出可行域如图所示,它 是一个平行四边形,故其面积为S= 212=2.,
