1、第三章 导数应用3.2.2 最大值、最小值问题一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定义，如果及其附近有定义，如果f(xf(x0 0)的值比的值比x x0 0附近所有各点的函数值都大，我们就附近所有各点的函数值都大，我们就说说f(xf(x0 0)是函数的一个是函数的一个极大值极大值，记作，记作y y极大值极大值=f(x=f(x0 0)，x x0 0是极大值点是极大值点。如果。如果f(xf(x0 0)的值比的值比x x0 0附近所有各点的函附近所有各点的函数值都小，我们就说数值都小，我们就说f(xf(x0 0)是函数的一个是函数的一个极小值极小值。记
2、。记作作y y极小值极小值=f(x=f(x0 0)，x x0 0是极小值点是极小值点。极大值与极小值。极大值与极小值统称统称为极值为极值.一、函数极值的定义一、函数极值的定义知知 识识 回回 顾顾1 1、在定义中，取得极值的点称为极值点，、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值极值点点是是自变量自变量(x)(x)的值，的值，极值极值指的是指的是函数值函数值(y)(y)。注意注意2 2、极值是一个、极值是一个局部局部概念，极值只是某个点的概念，极值只是某个点的函数值与它函数值与它附近点附近点的函数值比较是最大或最的函数值比较是最大或最小小,并并不意味不意味着它在函数的整个的定义域内最着它在函数的
3、整个的定义域内最大或最小。大或最小。3 3、函数的、函数的极值不是唯极值不是唯一一的即一个的即一个函数在某区间上或定义域内极大值函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。或极小值可以不止一个。4 4、极大值与极小值之间无确定的大小关、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的系即一个函数的极大值未必大于极小值，极大值未必大于极小值，如下图所示，如下图所示，是极大值点，是极大值点，是极小值是极小值点，而点，而 1x4x41()()f xf x3.3.用函数的导数为用函数的导数为0 0的点，顺次将函数的定义区的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格间分成若干小开区间，并
4、列成表格.检查检查f f(x x)在在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.二、二、求函数求函数f(x)f(x)的极值的步骤的极值的步骤:1.1.求导数求导数f(x);f(x);2.2.求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根的根(x(x为极值点为极值点.).)注意注意:如果函数如果函数f(x)f(x)在在x x0 0处取得极值处取得极值,意味着意味着0 0)(x(xf f0 0反之不一定成立！反之不一定成立！如如y=xy=x3 3一一.最值的概念最值的概念(最大值与最小值最大值与最小值)新新 课课 讲讲 授授 如果在函数定义域如果在函数定义域I内存
5、在内存在x x0 0,使使得对任意的得对任意的xxI,总有总有f(x)f(xf(x)f(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最大值最大值.最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言的而言的.)(xfba,1.1.在定义域内在定义域内,最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一;注意注意:2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.二二.如何求函数的最值如何求函数的最值?1.1.利用函数的单调性利用函数的单调性;2.2.利用函数的图象利用函数的图象;3.3.利用函数的导数利用函数的导数.如如:求求y=2x+1y=2x+1在区
6、间在区间1,31,3上的最值上的最值.如如:求求y=(xy=(x2)2)2 2+3+3在区间在区间1,31,3上的最值上的最值.2.2.将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(b)f(b)比较，其中最大的一个为最大比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值值，最小的一个为最小值 1.1.求求f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b内极值内极值(极极大值或极小值大值或极小值)利用导数求函数利用导数求函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上最值的步骤上最值的步骤:例例1 求函数求函数 在区间在区间 上的最大值与上的最大值与最小值最小值2425yxx2,2
7、解：解：xxy443 0 y令令，有，有0443 xx，解得，解得1,0,1 x1345413y+00+02(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x当当x 变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy,从表上可知，最大值是从表上可知，最大值是13，最小值是，最小值是4y 练习练习1 1 求函数求函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3在区间在区间-1-1，44内的最大值和最小值内的最大值和最小值 解解:f(x)=2x-4f(x)=2x-4令令f(x)=0f(x)=0，即，即2x4=02x4=0，得得x=2x=2x x-1-1（-1,2-1,2）2
8、2（2 2，4 4）4 40 0+8 83-1 故函数故函数f(x)f(x)在区间在区间-1-1，44内的内的最大最大值为值为8 8，最小值为，最小值为-1-1)(xf)(xf 6060解解:设箱底边长为设箱底边长为x cm，箱子容积为箱子容积为V=x2 h例例2 在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？则箱则箱高高260 xh 26032xx xxV
9、=60 x3x/2令令V =0，得，得x=40,x=0(舍去舍去)得得V(40)=16000答：当答：当箱底边长为箱底边长为x=40时时,箱子容积最大，箱子容积最大，最大值为最大值为16000cm3)600(x;0()40,0(）时，时，当当xVx.0()60,40(）时，时，当当xVx。为为极极大大值值，且且为为最最大大值值)40(V例例3.已知某商品生产成本已知某商品生产成本C与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为C=100+4q,价格价格p与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为 求产量求产量q为何值为何值时时,利润利润L最大。最大。.8125qp 分析分析:利润利润L等于收入等于
10、收入R减去成本减去成本C,而收入而收入R等于产量乘价格等于产量乘价格.由此可得出由此可得出利润利润L与产量与产量q的函数关系式的函数关系式,再用导数求最大利润再用导数求最大利润.281258125qqqqpqR解：收入)2000(1002181)4100(812522 qqqqqqCRL利润利润2141qL021410 qL，即，即令令求得唯一的极值点求得唯一的极值点84q因为因为L只有一个极值点只有一个极值点,所以它是最大值所以它是最大值.答答:产量为产量为84时时,利润利润L最大最大.求下列函数在指定区间内的最大值和最小值求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。2,2,2sin)()1(x
11、xxf1,5,1)()2(xxxf4,1,71862)()3(23xxxxf答 案最大值最大值 f(/2)=/2，最小值，最小值 f(/2)=/2最大值最大值 f(3/4)=5/4，最小值，最小值 f(5)=5+最大值最大值 f(1)=29，最小值，最小值 f(3)=61练习练习2：6求函数求函数 在在 内的极值；内的极值；)(xf),(ba1.求求 在在 上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤:)(xf,ba求函数求函数 在区间端点在区间端点 的值；的值；)(xf)()(bfaf、将函数将函数 在各极值与在各极值与 比较，其中最大的一比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个是最小值)(xf)()(bfaf、小结小结2 2.求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法：.是利用函数性质；是利用函数性质；.是利用不等式；是利用不等式；.是利用导数是利用导数
