1、2019年全国各地区高考数学真题试卷与解析汇编2019年全国理科高考数学试卷22019年全国文科高考数学试卷62019年全国理科高考数学试卷102019年全国文科高考数学试卷132019年全国理科高考数学试卷162019年全国文科高考数学试卷212019年北京理科高考数学试卷252019年北京文科高考数学试卷282019年天津理科高考数学试卷312019年天津文科高考数学试卷342019年江苏省高考数学试卷372019年浙江省高考数学试卷412019年上海春季高考数学试卷452019年上海秋季高考数学试卷482019年全国理科高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小
2、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则ABCD2设复数满足，在复平面内对应的点为，则ABCD3已知，则ABCD4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是A B C D5函数的图象在，的大致为ABCD6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个
3、阳爻的概率是ABCD7已知非零向量，满足，且，则与的夹角为ABCD8如图是求的程序框图，图中空白框中应填入ABCD9记为等差数列的前项和已知，则ABCD10已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点若，则的方程为ABCD11关于函数有下述四个结论：是偶函数 在区间，单调递增在，有4个零点 的最大值为2其中所有正确结论的编号是ABCD12已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，则球的体积为ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在点处的切线方程为14记为等比数列的前项和若，则15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队
4、获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是16已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点若，则的离心率为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）的内角，的对边分别为，设（1）求；（2）若，求18（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值19（12分
5、）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为（1）若，求的方程；（2）若，求20（12分）已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点21（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分
6、；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，1，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，2，其中，假设，证明：，1，2，为等比数列；求，并根据的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系
7、，直线的极坐标方程为（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知，为正数，且满足证明：（1）；（2）2019年全国文科高考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设，则A2BCD12已知集合，2，3，4，5，6，3，4，3，6，则A，B，C，D，6，3已知，则ABCD4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比
8、例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是ABCD5函数的图象在，的大致为ABCD6某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A8号学生B200号学生C616号学生D815号学生7ABCD8已知非零向量，满足，且，则与的夹角为ABCD9如图是求的程序框图，图中空白框中应填入ABCD10双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为ABCD11的内角，的对边分别为，已知，则A6B5C4D312已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点若，则的方程为ABCD二、填空
9、题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在点处的切线方程为14记为等比数列的前项和，若，则15函数的最小值为16已知，为平面外一点，点到两边，的距离均为，那么到平面的距离为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有的把握认为男
10、、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82818（12分）记为等差数列的前项和，已知（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围19（12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离20（12分）已知函数，为的导数（1）证明：在区间存在唯一零点；（2）若，时，求的取值范围21（12分）已知点，关于坐标原点对称，过点，且与直线相切（1）若在直线上，求的半径；（2）是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
11、一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知，为正数，且满足证明：（1）；（2）2019年全国理科高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则ABCD2设，则在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知，则ABC2D342019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月
12、球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：设由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为ABCD5演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A中位数B平均数C方差D极差6若，则ABCD7设
13、，为两个平面，则的充要条件是A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面8若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则A2B3C4D89下列函数中，以为周期且在区间，单调递增的是ABCD10已知，则ABCD11设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为ABC2D12设函数的定义域为，满足，且当，时，若对任意，都有，则的取值范围是A，B，C，D，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正
14、点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为14已知是奇函数，且当时，若，则15的内角，的对边分别为，若，则的面积为16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有个面，其棱长为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23
15、题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值18（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束（1）求；（2）求事件“且甲获胜”的概率19（12分）已知数列和满足，（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式20（12分）已知函数（1）讨论的单调性，并证
16、明有且仅有两个零点；（2）设是的一个零点，证明曲线在点，处的切线也是曲线的切线21（12分）已知点，动点满足直线与的斜率之积为记的轨迹为曲线（1）求的方程，并说明是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点证明：是直角三角形；求面积的最大值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在极坐标系中，为极点，点，在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为（1）当时，求及的极坐标方程；（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程选修4-5：不等式选讲（10分
17、）23已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求的取值范围2019年全国文科高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则ABCD2设，则ABCD3已知向量，则AB2CD504生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为ABCD5在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A甲、乙、丙B乙、甲
18、、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙6设为奇函数，且当时，则当时，ABCD7设，为两个平面，则的充要条件是A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面8若，是函数两个相邻的极值点，则A2BC1D9若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则A2B3C4D810曲线在点处的切线方程为ABCD11已知，则ABCD12设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为ABC2D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若变量，满足约束条件则的最大值是14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，
19、有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为15的内角，的对边分别为，已知，则16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有个面，其棱长为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第
20、22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，（1）证明：平面；（2）若，求四棱锥的体积18（12分）已知的各项均为正数的等比数列，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和19（12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表的分组，企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到附：
21、20（12分）已知，是椭圆的两个焦点，为上的点，为坐标原点（1）若为等边三角形，求的离心率；（2）如果存在点，使得，且的面积等于16，求的值和的取值范围21（12分）已知函数证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在极坐标系中，为极点，点，在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为（1）当时，求及的极坐标方程；（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数（1）当时，求不等式的解
22、集；（2）当时，求的取值范围2019年全国理科高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，0，1，则A，0，B，C，D，1，2若，则ABCD3西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为A0.5B0.6C0.7D0.84的展开式中的系数为A12B
23、16C20D245已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A16B8C4D26已知曲线在点处的切线方程为，则A，B，C，D，7函数在，的图象大致为ABCD8如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则A，且直线，是相交直线B，且直线，是相交直线C，且直线，是异面直线D，且直线，是异面直线9执行如图所示的程序框图，如果输入为0.01，则输出的值等于ABCD10双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为ABCD11设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则ABCD12设函数，已知在，有且仅有5个零点下述四个结论：在有且仅有3个极大值点在有且仅有2个极小
24、值点在单调递增的取值范围是，其中所有正确结论的编号是ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，为单位向量，且，若，则，14记为等差数列的前项和，若，则15设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的坐标为16学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图，该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）
25、必考题：共60分。17为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成、两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到（C）的估计值为0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中，的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18的内角、的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围
26、19图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起使得与重合，连结，如图2（1）证明：图2中的，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小20已知函数（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由21已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22如图，在极坐标系中，弧，所在圆的
27、圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧（1）分别写出，的极坐标方程；（2）曲线由，构成，若点在上，且，求的极坐标选修4-5：不等式选讲（10分）23设，且（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或2019年全国文科高考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，0，1，则A，0，B，C，D，1，2若，则ABCD3两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是ABCD4西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生
28、，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该学校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为A0.5B0.6C0.7D0.85函数在，的零点个数为A2B3C4D56已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A16B8C4D27已知曲线在点处的切线方程为，则A，B，C，D，8如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则A，且直线，是相交直线B，且直线，是相交直线C，且直线，是异面直线D，且直线，是异面直线9执行如图所示的程序框图，如果输入为0.01，则输出的值等于ABCD10已知是双曲
29、线的一个焦点，点在上，为坐标原点若，则的面积为ABCD11记不等式组表示的平面区域为命题，；命题，下面给出了四个命题 这四个命题中，所有真命题的编号是ABCD12设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则A BC D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量，则，14记为等差数列的前项和若，则15设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的坐标为16学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图，该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为三、解答题：共70分。
30、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成、两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到（C）的估计值为0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中，的值；（2）分别估计甲、乙离
31、子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18（12分）的内角、的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围19（12分）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2（1）证明：图2中的，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积20（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间，的最大值为，最小值为，求的取值范围21（12分）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，（1）证明：直线过定点（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程（二）选考题：共10分。请
32、考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）如图，在极坐标系中，弧，所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧（1）分别写出，的极坐标方程；（2）曲线由，构成，若点在上，且，求的极坐标选修4-5：不等式选讲（10分）23设，且（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或2019年北京理科高考数学试卷一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知复数，则ABC3D52执行如图所示的程序框图，输出的值为A1B2C3D43已知直线的参数方程为为参数），则点到直线的距离是
33、ABCD4已知椭圆的离心率为，则ABCD5若，满足，且，则的最大值为AB1C5D76在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为AB10.1CD7设点，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线上任意一点到原点的距离都不超过；曲线所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号
34、是ABCD二、填空题 共6小题，每小题5分，共30分。9函数的最小正周期是10设等差数列的前项和为，若，则，的最小值为11某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为，那么该几何体的体积为12已知，是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：；以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：13设函数为常数）若为奇函数，则；若是上的增函数，则的取值范围是14李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元盒、65元盒、80元盒、90元盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达
35、到120元，顾客就少付元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为三、解答题 共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（13分）在中，（）求，的值；（）求的值16（14分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，点在上，且（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由17（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，
36、从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元支付方式，大于2000仅使用18人9人3人仅使用10人14人1人（）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和数学期望；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明
37、理由18（14分）已知抛物线经过点（）求抛物线的方程及其准线方程；（）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交直线，于点和点求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点19（13分）已知函数（）求曲线的斜率为的切线方程；（）当，时，求证：；（）设，记在区间，上的最大值为（a）当（a）最小时，求的值20（13分）已知数列，从中选取第项、第项、第项，若，则称新数列，为的长度为的递增子列规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列（）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为若，求证
38、：；（）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，2，求数列的通项公式2019年北京文科高考数学试卷一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合，则ABCD2已知复数，则ABC3D53下列函数中，在区间上单调递增的是ABCD4执行如图所示的程序框图，输出的值为A1B2C3D45已知双曲线的离心率是，则AB4C2D6设函数为常数），则“”是“为偶函数”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮
39、度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为AB10.1CD8如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为ABCD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9已知向量，且，则10若，满足则的最小值为，最大值为11设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为12某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为，那么该几何体的体积为13已知，是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：；以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：14李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元盒、65元盒、80元盒、90元盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果
