1、题型突破（四）二次函数与几何综合问题二次函数与几何综合类问题一直是中考的热点和重点,常以压轴题形式出现.把二次函数和几何图形放在一起,可以“创造”出很多综合性强、解法灵活、新颖等特点鲜明的题型,这类试题集代数、几何知识于一体,灵活多变.解决这类问题需要用到数形结合思想.常见两条线段和差最值问题类型一线段问题知识储备问题图例方法数学原理1如图,点P为定点,点Q为直线m上一动点,求PQ的最小值过P作PQm于Q,则PQ最小直线外一点与直线上各点连线中,垂线段最短2如图,点P是O外一定点,点Q在O上运动,求PQ的最大值与最小值过P,O的直线与O交于Q1,Q2,则PQ1最小,PQ2最大（续表）问题图例方
2、法数学原理3如图,已知两定点A,B,动 点 P 在 直 线 m 上,求PA+P B 的 最 小 值(或ABP的最小周长)作点A关于直线m的 对 称 点 A ,当A,P,B三点共线时PA+PB最小三 角 形 任 意两边之和大于第三边4如图,已知A,B是两个定点,动点P在直线m上,求|PB-PA|的最大值作A关于直线m的对称点A,当P,A,B三点共线时|PB-PA|最大三 角 形 任 意两边之差小于第三边问题图例方法数学原理5如图,已知点A,B位于直线m,n的内侧,在直线n,m上分别求点D,E,使得围成的四边形ADEB周长最小作点A关于直线n的对称点A,点B关于直线m的对称点B,当A,D,E,B共
3、线时,四边形ADEB周长最小两点之间,线段最短6如图,已知定点A,在直线m,n上分别求点P,Q,使得APQ的周长最小,(或PA+PQ+QA最小)作两次对称点,当A,Q,P,A在一条直线上时,APQ周长最小两点之间,线段最短（续表）问题图例方法数学原理7如图,已知A,B是两个定点,线段PQ在直线m上运动,且PQ=a(a为定值),求PA+PQ+QB(或四边形ABQP周长)的最小值将点A沿PQ方向平移a个单位得点A,作点A关于直线m的对 称 点 A ,当 点A ,Q,B 共 线 时PA+PQ+QB最小平行四边形的性质,三角形任意两边之和大于第三边（续表）1.如何利用坐标表示一条线段如何利用坐标表示一
4、条线段已知点A(0,y),B(0,1),画平面直角坐标系,求线段长度.(1)若点A在点B上方,则线段AB=.(用含y的代数式表示)(2)若点A在点B下方,则线段AB=.(用含y的代数式表示)技能台阶y-11-y2.如何利用解析式表示坐标如何利用解析式表示坐标点P是抛物线y=x2+1上一点,过点P作PA垂直于x轴于A,交直线y=x-1于点B,若设点P的横坐标为p,请用含p的代数式表示点P,点B的坐标.解:点B的坐标是(p,p-1),点P的坐标是(p,p2+1).3.如何将一条线段看成函数如何将一条线段看成函数,运用函数的性质来解决运用函数的性质来解决点P是抛物线y=x2+1上一点,过点P作PA垂
5、直于x轴于A,交直线y=x-1于点B,试求线段PB的最小值.例例1 如图Z4-1,抛物线y=-x2-4x+5与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.(1)求直线AC的解析式及顶点D的坐标;(2)若Q为抛物线对称轴上一动点,连接QA,QC,求|QA-QC|的最大值及此时点Q的坐标;图Z4-1图Z4-1(3)连接CD,点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A,C重合),过P作PEx轴交直线AC于点E,作PFCD交直线AC于点F,当线段PE+PF取最大值时,求点P的坐标及线段EF的长;(4)在(3)问的条件下,将P向下平移个单位得到点H,在抛物线对称轴上找一点L,在y轴上找一点K,
6、连接OL,LK,KH,求线段OL+LK+KH的最小值,并求出此时点L的坐标;图Z4-1图Z4-1(5)在(3)问的条件下,将线段PE沿着直线AC的方向平移得到线段PE,连接DP,BE,求DP+PE+EB取最小值时点E的坐标.图Z4-1解:(1)y=-x2-4x+5=-(x2+4x)+5=-(x+2)2+9,D(-2,9).当x=0时,y=5,C(0,5).当y=0时,x1=1,x2=-5,A(-5,0),B(1,0),yAC=x+5.例例1 如图Z4-1,抛物线y=-x2-4x+5与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.(2)若Q为抛物线对称轴上一动点,连接QA,QC,求|QA
7、-QC|的最大值及此时点Q的坐标;图Z4-1图Z4-1例例1 如图Z4-1,抛物线y=-x2-4x+5与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.(3)连接CD,点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A,C重合),过P作PEx轴交直线AC于点E,作PFCD交直线AC于点F,当线段PE+PF取最大值时,求点P的坐标及线段EF的长;图Z4-1例例1 如图Z4-1,抛物线y=-x2-4x+5与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.(4)在(3)问的条件下,将P向下平移个单位得到点H,在抛物线对称轴上找一点L,在y轴上找一点K,连接OL,LK,KH,求线段OL+LK+KH
8、的最小值,并求出此时点L的坐标;图Z4-1例例1 如图Z4-1,抛物线y=-x2-4x+5与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.(5)在(3)问的条件下,将线段PE沿着直线AC的方向平移得到线段PE,连接DP,BE,求DP+PE+EB取最小值时点E的坐标.图Z4-11.如图Z4-2,在平面直角坐标系xOy中,将二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折,把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度,得到二次函数图象N.(1)求N的函数表达式;(2)设点P(m,n)是以点C(1,4)为圆心,1为半径的圆上一动点,二次函数的图象M与x轴相交于两点A,B,求PA2+PB2
9、的最大值;(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数,则该点称为整点.求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数.图Z4-2|题型精练|解:(1)二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折得到函数的解析式为y=-x2+1,此时顶点坐标为(0,1),将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为(2,9),故N的函数表达式为y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.1.如图Z4-2,在平面直角坐标系xOy中,将二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折,把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度,得到二次函数图象N.(2)设点P(m,n)是以点C(1,4)
10、为圆心,1为半径的圆上一动点,二次函数的图象M与x轴相交于两点A,B,求PA2+PB2的最大值;图Z4-21.如图Z4-2,在平面直角坐标系xOy中,将二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折,把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度,得到二次函数图象N.(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数,则该点称为整点.求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数.图Z4-2(3)M与N所围成封闭图形如图所示,由图象可知,M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点个数为25个.图Z4-3图Z4-3类型二面积问题知识储备2.求四边形的面积一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积,尽量分割
11、成基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上的三角形,或者有一边平行于x轴或y轴的三角形,称为基本模型的三角形)面积的和差.如图Z4-4,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),且BD平行于y轴.(1)求直线AC的解析式以及线段BD的长度;(2)求SABD和SCBD;(3)求SABC.技能台阶图Z4-4例例2 2018泰州平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2-2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点.(1)当m=-2时,求二次函数的图象与x轴的交点坐标;(2)过点P(0,m-1)作直线ly轴,二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l上),求m的取值范围;(3)在(
12、2)的条件下,设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B,求ABO的面积最大时m的值.例例2 2018泰州平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2-2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点.(2)过点P(0,m-1)作直线ly轴,二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l上),求m的取值范围;(2)令x2-2mx+m2+2m+2=0,则=(-2m)2-4(m2+2m+2)0,m-1,点P(0,m-1)在y轴负半轴上.y=x2-2mx+m2+2m+2=(x-m)2+2m+2,顶点A(m,2m+2)在第三象限,点A在直线l与x轴之间,m-12m+20,-3m-1.例例2 2018
13、泰州平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2-2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点.(3)在(2)的条件下,设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B,求ABO的面积最大时m的值.1.2019甘肃节选如图Z4-5,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式;(2)点E是二次函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.图Z4-5解:(1)根据题意可得函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.|题型精练|1.2019甘肃节选如图Z4-5,已知二
14、次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(2)点E是二次函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.图Z4-52.2018菏泽如图Z4-6,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作ADx轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的表达式;(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求EAD的面积;(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和ABP
15、的最大面积.图Z4-62.2018菏泽如图Z4-6,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作ADx轴交抛物线于点D.(2)点E是抛物线上一点,且点E关于x轴的对称点在直线AD上,求EAD的面积;图Z4-62.2018菏泽如图Z4-6,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),过点A作ADx轴交抛物线于点D.(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和ABP的最大面积.图Z4-63.2019常州如图Z4-7
16、,二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.(1)b=.(2)若点P在第一象限,过点P作PHx轴,垂足为H,PH与BC,BD分别交于点M,N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQBD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且SPQB=2SQRB,求点P的坐标.图Z4-7答案(1)2解析二次函数y=-x2+bx+3的图象过点A(-1,0),0=-(-1)2-b+3.b=2.故填2.3.2019常州如图Z4-7,二次函数y=
17、-x2+bx+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.(2)若点P在第一象限,过点P作PHx轴,垂足为H,PH与BC,BD分别交于点M,N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z4-73.2019常州如图Z4-7,二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQBD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且SPQB=2SQRB,求点P的坐标.图Z4-7类型三二次
18、函数与三角形的结合知识储备1.等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题(1)等腰三角形要分类讨论等腰三角形要分类讨论.如图Z4-8,当一个三角形为等腰三角形时,存在三种情况:AB=AC;AB=BC;BC=AC,所以要进行分类讨论.图Z4-8图Z4-9(3)等腰三角形存在性问题等腰三角形存在性问题.代数法:若ABC中,AB2,BC2,AC2方便用勾股定理求解,则由AB2=AC2,BC2=BA2,CA2=CB2分别建立方程,依次求解;几何法:两圆一线法:如图Z4-10,已知线段AB,在平面内找一点C,使得ABC为等腰三角形,满足条件的点C如图Z4-10所示(在以点A,B为圆心,AB长为半径的圆和线
19、段AB的垂直平分线上,除了与点A,B在同一直线上的点外所有的点).图Z4-10其他方法:可用等腰三角形的性质(作垂线,三线合一),将证明两腰相等转化为证明中点,或用相似三角形性质,或用哪个定角的三角函数比来建立方程.图Z4-10技能台阶图Z4-11答案7解析如图,分别以A,B为圆心,AB长为半径作圆,与两直线的交点(A,B除外)即为满足条件的P点;作AB的垂直平分线,过O点,所以O也满足条件,所以满足条件的点共有7个.如图Z4-11,若直线ab,垂足为O,点A在直线b上,点B在直线a上,且OA=OB,请在直线a或b上找一点P,使ABP为等腰三角形,这样的点P有个.图Z4-12图Z4-12|题型
20、精练|1.如图Z4-13,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式.(2)在y轴上是否存在一点P,使PBC为等腰三角形?若存在.请求出点P的坐标.图Z4-131.如图Z4-13,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.(2)在y轴上是否存在一点P,使PBC为等腰三角形?若存在.请求出点P的坐标.图Z4-132.2019盐城节选如图Z4-14所示,二次函数y=k(x-1)2+2的图象与一次函数y=k
21、x-k+2的图象交于A,B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x轴、y轴交于C,D两点,其中,k0.(1)求A,B两点的横坐标;(2)若OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值.图Z4-142.2019盐城节选如图Z4-14所示,二次函数y=k(x-1)2+2的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A,B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x轴、y轴交于C,D两点,其中,k0)上有两点A,B,其横坐标分别为-1,2,请探求关于a的取值情况,ABO可能是直角三角形吗?若不能,说明理由;若能,写出探求过程.|题型精练|1.二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧
22、),与y轴交于点C,顶点为D.在二次函数y=-x2+2x+3的图象上是否存在点P(点P与点B,C不重合),使得PBC是以BC为一条直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z4-212.2019淄博节选如图Z4-22,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点,与y轴交于点C.(1)求这条抛物线对应的函数表达式.(2)问在y轴上是否存在点P,使得PAM为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.图Z4-222.2019淄博节选如图Z4-22,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点
23、,与y轴交于点C.(2)问在y轴上是否存在点P,使得PAM为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.图Z4-22类型四二次函数与四边形的结合1.平行四边形存在性问题平行四边形存在性问题题型3个定点+1个动点两个定点+两个动点例图A,M,N为定点,D为动点A,C为两个定点,另两个动点中一点在x轴上,另一点在抛物线上知识原理平行四边形对边平行且相等;对角线互相平分(中心对称性)(续表)解题策略方法具体思路适用情况(1)直接计算法根据已知两点的连线为边,或者为对角线两大类,分别计算已知两点的连线在坐标轴上或平行于坐标轴(2)构造全等法过平行四边形的某两个顶点作坐标轴的垂线,利用平行四
24、边形一组对边所在的两个三角形全等,把平行且相等的对边转化为水平或者垂直方向的两条对应边相等已知两点的连线不与坐标轴平行;容易画出草图(续表)解题策略方法具体思路适用情况(3)中心对称法已知两点的连线为对角线时,它的中点也是另外待定的两点连线的中点,设待定两点坐标,用中点坐标公式表示其中点坐标,由中点重合,建立方程(组)即可已知两点的连线不与坐标轴平行;不方便画出草图(4)平移坐标法利用平移的意义,根据已知两点间横纵坐标的距离关系,得待定两点也有同样的数量关系已知两点的连线不与坐标轴平行;仅适用于不要去书写过程的题目图Z4-23图Z4-23图Z4-23|题型精练|1.如图Z4-24,抛物线y=x
25、2+2x-3交x轴于点A,B.点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.图Z4-242.2017宿迁如图Z4-25,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2x-3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连接AC,BC.(1)求曲线N所在抛物线对应的函数表达式;(2)求ABC外接圆的半径;(3)点P为曲线M或曲线N上的一个动点,点Q为x轴上的一个动点
26、,若以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.图Z4-25解:(1)因为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,所以抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标为(1,-4),开口向上,所以曲线N所在抛物线的顶点坐标为(1,4),开口向下,故曲线N所在抛物线对应的表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.2.2017宿迁如图Z4-25,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2x-3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连接AC,BC.(2)求ABC外接圆的
27、半径;图Z4-252.2017宿迁如图Z4-25,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2x-3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),将该抛物线位于x轴上方曲线记作M,将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折,翻折后所得曲线记作N,曲线N交y轴于点C,连接AC,BC.(3)点P为曲线M或曲线N上的一个动点,点Q为x轴上的一个动点,若以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.图Z4-252.矩形存在性问题矩形存在性问题由于矩形是含90角的平行四边形,因此解决矩形存在性问题需要综合平行四边形和直角三角形存在性问题的方法.图Z4-26|题型精练|1.如图Z4-27所示是二次函数y
28、=-x2+4x图象上的一段,其中0 x4,若矩形ABCD的两个顶点A,B落在x轴上,另外两个顶点C,D落在函数图象上,则矩形ABCD的周长能否恰好为8?若能,请求出C,D两点坐标;若不能,请说明理由.图Z4-272.如图Z4-28,抛物线y=a(x+1)2+4(a0)与x轴交于A,C两点,与直线y=x-1交于A,B两点,直线AB与抛物线的对称轴交于点E.连接CE,将CEB补成矩形,使CEB上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,求出矩形未知顶点的坐标.图Z4-283.菱形存在性问题菱形存在性问题由于菱形是一组邻边相等的平行四边形,因此解决菱形存在性问题需要综合平行
29、四边形和等腰三角形存在性问题的方法.图Z4-29图Z4-29|题型精练|图Z4-30图Z4-30图Z4-304.正方形存在性问题正方形存在性问题由于正方形既是矩形也是菱形,因此解决正方形存在性问题需要灵活选用所有存在性问题的方法.图Z4-31|题型精练|图Z4-32如图Z4-32,抛物线经过点A(-2,0),B(6,0),C(0,-3),D为抛物线的顶点,过OD的中点E,作EFx轴于点F,G为x轴上一动点,M为抛物线上一动点,N为直线EF上一动点,当以F,G,M,N为顶点的四边形是正方形时,点G的坐标为.类型五与角的和、差、倍、分的结合知识储备求解二次函数综合题中角度的存在性问题的一般思路:(
30、1)设问形式:角度相等;角度成倍数关系;角度等于特殊值,如15,30,45,60等.(2)解题方法:求解角度问题时,一般会已知该角的顶点和其中一边,求另一边与某条线的交点坐标,此时应分另一边在已知边的两侧这两种情况进行讨论,先根据条件求出未知边所在直线的解析式,再联立函数解析式,求得交点坐标.“半角”和“倍角”也常通过构造等腰三角形,由等腰三角形顶角的外角和不相邻内角的关系来得到.图Z4-33例例102019宿迁如图Z4-33,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图,连接AC,点P在抛物线上,且满
31、足PAB=2ACO.求点P的坐标.(3)如图,点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点,直线AQ,BQ分别交抛物线的对称轴于点M,N.请问DM+DN是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.图Z4-33例例102019宿迁如图Z4-33,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).(2)如图,连接AC,点P在抛物线上,且满足PAB=2ACO.求点P的坐标.图Z4-33例例102019宿迁如图Z4-33,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).(3
32、)如图,点Q为x轴下方抛物线上任意一点,点D是抛物线对称轴与x轴的交点,直线AQ,BQ分别交抛物线的对称轴于点M,N.请问DM+DN是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.|题型精练|图Z4-341.2018东莞如图Z4-34,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B.(1)求m的值.(2)求函数y=ax2+b(a0)的解析式.(3)抛物线上是否存在点M,使得MCB=15?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)将(0,-3)的坐标代入y=x+m,可得m=-3.图Z4-341.2018东莞如图Z4
33、-34,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B.(2)求函数y=ax2+b(a0)的解析式.图Z4-341.2018东莞如图Z4-34,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B.(3)抛物线上是否存在点M,使得MCB=15?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图Z4-35(3)在(2)的结论下,若点P是直线EF上一点,点Q是直线l上一点,当PFA与QPA全等时,直接写出点P和相应的点Q的坐标.图Z4-35图Z4-35图Z4-35图Z4-36图Z4-36图Z
34、4-36类型六二次函数与圆的结合1.抛物线上(或平面直角坐标系中)的四个点是否共圆,实质是在平面内找到一个点M,使得这些点到点M的距离相等.2.抛物线背景下的直线与圆的位置关系根据圆心到直线的距离与半径的关系判断（1）从圆心向直线作垂线段;（2）利用坐标或几何求解的方法解出该垂线段的长;（3）判断这条垂线段的长与圆的半径的大小关系，从而得出结论.3.二次函数与圆的综合应用往往要构建相似三角形这一模型,通过对应边成比例及坐标计算解决问题.例例112019潍坊如图Z4-37,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),ABO的中线AC与y轴交于点C,且M经过O,A,C三
35、点.(1)求圆心M的坐标;(2)若直线AD与M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式;(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PEy轴,交直线AD于点E.若以PE为半径的P与直线AD相交于另一点F.当时,求点P的坐标.图Z4-37解:(1)AOC=90,线段AC是M的直径,点M为线段AC的中点.AC是ABO的中线,B(0,4),点C的坐标为(0,2),A(4,0),圆心M的坐标为(2,1).例例112019潍坊如图Z4-37,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),ABO的中线AC与y轴交于点C,且M经过O,A,C三点.(2)若直线
36、AD与M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式;图Z4-37例例112019潍坊如图Z4-37,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),ABO的中线AC与y轴交于点C,且M经过O,A,C三点.(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PEy轴,交直线AD于点E.若以PE为半径的P与直线AD相交于另一点F.当时,求点P的坐标.图Z4-37|题型精练|图Z4-382018宿迁如图Z4-38,在平面直角坐标系中,二次函数y=(x-a)(x-3)(0a3)的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点D,过其顶点C作直线CPx轴,
37、垂足为点P,连接AD,BC.(1)求点A,B,D的坐标.(2)若AOD与BPC相似,求a的值.(3)点D,O,C,B能否在同一个圆上?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.解:(1)y=(x-a)(x-3)中,当y=0时,x1=a,x2=3.A(a,0),B(3,0).当x=0时,y=3a,D(0,3a).图Z4-382018宿迁如图Z4-38,在平面直角坐标系中,二次函数y=(x-a)(x-3)(0a3)的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点D,过其顶点C作直线CPx轴,垂足为点P,连接AD,BC.(2)若AOD与BPC相似,求a的值.图Z4-382018宿迁如图Z4-38,在平面直角坐标系中,二次函数y=(x-a)(x-3)(0a3)的图象与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点D,过其顶点C作直线CPx轴,垂足为点P,连接AD,BC.(3)点D,O,C,B能否在同一个圆上?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.
