1、2021年贵阳市中考数学年贵阳市中考数学微专题微专题 轨迹问题中的轨迹问题中的“瓜豆原理瓜豆原理”模型模型(2019.15)1.图形变换图形变换(平移、翻折、旋转及位似等平移、翻折、旋转及位似等)的本质是点变换；反之，点变换也可以看的本质是点变换；反之，点变换也可以看作该点所在图形的变换；作该点所在图形的变换；2.分析问题时，要先找定点，再确定从动点如何随主动点的运动而运动，即主动分析问题时，要先找定点，再确定从动点如何随主动点的运动而运动，即主动点关于定点经过怎样的变换可以得到从动点；点关于定点经过怎样的变换可以得到从动点；3.使用使用“瓜豆原理瓜豆原理”的前提是必须存在定点来充当旋转的前提
2、是必须存在定点来充当旋转(位似位似)中心，使主动点经过相中心，使主动点经过相应的变换可以得到从动点，即应的变换可以得到从动点，即“无定点，不瓜豆无定点，不瓜豆”模型分析模型分析问题问题1(共顶点，等线段共顶点，等线段)根据旋转的性质，写出在下列三角形中，点根据旋转的性质，写出在下列三角形中，点P经过怎样经过怎样的旋转变换可以得到的旋转变换可以得到Q点点(1)等腰等腰RtAPQ；(2)等边等边APQ；(3)任意等腰任意等腰APQ(顶角为顶角为)图图图问题1图类型一旋转型类型一旋转型问题问题1解：解：(1)点点Q可以看作点可以看作点P绕定点绕定点A按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转90而来；而来；(
3、2)点点Q可以看作点可以看作点P绕定点绕定点A按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转60而来；而来；(3)点点Q可以看作点可以看作点P绕定点绕定点A按逆时针方向旋转角按逆时针方向旋转角而来而来问题问题2(直线生直线直线生直线)在问题在问题1中，若点中，若点A是定点，点是定点，点P在直线在直线l上运动，在运动过程上运动，在运动过程中保持中保持A大小不变，则点大小不变，则点Q的运动路径是什么？它可以由点的运动路径是什么？它可以由点P的路径通过怎样的的路径通过怎样的旋转变换得到？旋转变换得到？图图图问题2图问题问题2解：解：点点Q可以看作点可以看作点P绕定点绕定点A经过旋转而来，因此点经过旋转而来，因此点
4、Q的运动轨迹即可由的运动轨迹即可由直线直线l通过旋转得到通过旋转得到.把把AP和直线和直线l作为一个整体，作为一个整体，AQ的对应线段是的对应线段是AP，点，点Q的运的运动轨迹即是动轨迹即是l绕点绕点A逆时针旋转方向角逆时针旋转方向角A得到如解图所示：得到如解图所示：问题2解图问题2解图问题2解图问题问题3(圆生圆圆生圆)在问题在问题2中，若将中，若将“定直线定直线l”改为改为“定定 O”，其他条件不变，结果，其他条件不变，结果如何？如何？图图图问题3图问题问题3解：解：点点Q的路径可以由点的路径可以由点P所在的所在的 O绕定点绕定点A经过相应的旋转而来，如解经过相应的旋转而来，如解图所示：图
5、所示：问题3解图问题3解图问题3解图模型总结模型总结此类轨迹问题可通过此类轨迹问题可通过“旋转变换旋转变换”来解决，称来解决，称P为主动点，为主动点，Q为从动点，根据旋转不为从动点，根据旋转不变性，从动点变性，从动点Q的路径与主动点的路径与主动点P的路径是全等图形的路径是全等图形.“集体行动，步调一致集体行动，步调一致”，每一，每一个点都是经过相同的变换得到，整个路径自然也是经过相同的变换而来，若是圆，个点都是经过相同的变换得到，整个路径自然也是经过相同的变换而来，若是圆，其圆心亦然其圆心亦然针对演练针对演练1.如图，已知如图，已知AB2，点，点D是等腰是等腰RtABC斜边斜边AC上一动点，以
6、上一动点，以BD为一边向右下方作为一边向右下方作等边等边BDE，当点，当点D由点由点A运动到点运动到点C时，点时，点E运动的路径长为运动的路径长为_2.如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，AB3，E在在AC上且上且AE AC，D是直线是直线BC上一上一动点，线段动点，线段ED绕点绕点E逆时针旋转逆时针旋转90，得到线段，得到线段EF，当点，当点D运动时，则线段运动时，则线段AF的最的最小值是小值是_.23第1题图第2题图2 2312 类型二位似型类型二位似型问题问题4(共顶点，定比值线段共顶点，定比值线段)已知线段已知线段AB，其中，其中A为定点，为定点，C为为AB上一点，在下列上一
7、点，在下列条件下，点条件下，点C可以看作点可以看作点B经过怎样的位似变换得到？经过怎样的位似变换得到？(1)点点C是是AB的中点；的中点；(2)AB3AC；(3)C为直线为直线AB上任意一点且上任意一点且 k(k为常数为常数)ACAB图图图问题4图问题问题4解：解：(1)点点C可以看作点可以看作点B以定点以定点A为位似中心，以为位似中心，以 为位似比同侧缩小而来；为位似比同侧缩小而来；(2)点点C可以看作点可以看作点B以定点以定点A为位似中心，以为位似中心，以 为位似比同侧缩小而来；为位似比同侧缩小而来；(3)点点C可以看作点可以看作点B以定点以定点A为位似中心，以为位似中心，以k为位似比放缩
8、而来为位似比放缩而来模型分析模型分析问题问题5(直线生直线直线生直线)在问题在问题4中，若点中，若点B在定直线在定直线l上运动，其他条件不变，点上运动，其他条件不变，点C的的运动路径是什么？它可以看作点运动路径是什么？它可以看作点B的路径如何变换而来？的路径如何变换而来？图图图问题5图问题问题5解：解：每个点每个点C都可以看作点都可以看作点B以定点以定点A为位似中心，以相应的位似比放缩而来，为位似中心，以相应的位似比放缩而来，点点C的路径是点的路径是点B的路径的路径(即直线即直线l)以定点以定点A为位似中心，以相应的位似比放缩而来，为位似中心，以相应的位似比放缩而来，如解图所示：如解图所示：问
9、题5解图问题5解图问题5解图问题问题6(圆生圆圆生圆)在问题在问题5中，若将中，若将“定直线定直线l”改为改为“定定 O”，其他条件不变，结果如何？，其他条件不变，结果如何？图图图问题6图问题问题6解：解：点点C的路径可以由点的路径可以由点B所在的所在的 O以定点以定点A为位似中心，以相应的位比为位似中心，以相应的位比放缩而来，且这两个圆的相似比放缩而来，且这两个圆的相似比(即半径比即半径比)等于位似比如解图所示：等于位似比如解图所示：问题6解图问题6解图问题6解图模型总结模型总结此类轨迹问题可通过此类轨迹问题可通过“位似变换位似变换”来解决，称来解决，称B为主动点，为主动点，C为从动点，根据
10、位似为从动点，根据位似的性质，从动点的性质，从动点C的路径与主动点的路径与主动点B的路径是相似图形的路径是相似图形.“集体行动，步调一致集体行动，步调一致”，每一个点都是经过相同的变换得到，整个路径自然也是经过相同的交换而来，若每一个点都是经过相同的变换得到，整个路径自然也是经过相同的交换而来，若是圆，其圆心亦然，且这两个圆的相似比是圆，其圆心亦然，且这两个圆的相似比(即半径比即半径比)等于位似比等于位似比针对演练针对演练3.如图，在等腰如图，在等腰RtABC中，中，ACBC2 ，点，点P在以斜边在以斜边AB为直径的半圆上，为直径的半圆上，M为为PC的中点，当点的中点，当点P沿半圆从点沿半圆从
11、点A运动至点运动至点B时，则点时，则点M运动的路径长是运动的路径长是()A.B.C.2 D.24.如图，已知菱形如图，已知菱形ABCD的边长为的边长为6，E是是BC的中点，的中点，AE、BD相交于点相交于点P，当，当ABC从从90逐步减少到逐步减少到30的过程中，则点的过程中，则点P 经过的路径长为经过的路径长为_第3题图第4题图222B23 模型分析模型分析类型三旋转位似型类型三旋转位似型问题问题7(共顶点，定夹角，定比值线段共顶点，定夹角，定比值线段)在在ABC中，中，A为定点，在下列条件下，为定点，在下列条件下，点点C可以通过点可以通过点B经过怎样的旋转和位似变换得到？经过怎样的旋转和位
12、似变换得到？(1)等腰等腰RtABC中，中，B90；(2)等腰等腰ABC中，中，B120；(3)ABC中，中，A为常数，且为常数，且 k为常数为常数ACAB图图图问题7图(3)点点C可以看作点可以看作点B先绕着定点先绕着定点A逆时针旋转角逆时针旋转角，再以定点，再以定点A为位似中心，以为位似中心，以k为为位似比放缩而来位似比放缩而来问题问题7解：解：(1)A45且且 ，故点，故点C可以看作点可以看作点B先绕着定点先绕着定点A逆时针转逆时针转45，再以定点，再以定点A为位似中心，以为位似中心，以 为位似比放大而来；为位似比放大而来；(2)A30且且 ，可知点，可知点C可以看作点可以看作点B先绕着
13、定点先绕着定点A逆时针旋转逆时针旋转30，再以定点再以定点A为位似中心，以为位似中心，以 为位似比放大而来；为位似比放大而来；问题问题8(直线生直线直线生直线)在问题在问题7中，若点中，若点B在定直线在定直线l上运动，其他条件不变，如图所上运动，其他条件不变，如图所示，点示，点C的运动路径是什么？它可以看作点的运动路径是什么？它可以看作点B的路径如何而来？的路径如何而来？图图图问题8图问题问题8解：解：每一个点每一个点C都可以看作相应的点都可以看作相应的点B先旋转后位似而来，因此点先旋转后位似而来，因此点C的路径的路径是点是点B的路径的路径(即直线即直线l)先旋转后位似而来如解图所示：先旋转后
14、位似而来如解图所示：问题8解图问题8解图问题8解图问题问题9(圆生圆圆生圆)在问题在问题8中，若将中，若将“定直线定直线l”改为改为“定定 O”，其他条件不变，结果如何？，其他条件不变，结果如何？问题问题9解：解：点点C的路径可以由点的路径可以由点B所在的所在的 O先旋转先旋转BAC，再以相应的位似比放缩，再以相应的位似比放缩得到，这两个圆的相似比得到，这两个圆的相似比(即半径比即半径比)等于位似比如解图所示：等于位似比如解图所示：问题9解图问题9解图问题9解图模型总结模型总结这里既含有这里既含有“旋转变换旋转变换”，又涉及，又涉及“位似变换位似变换”，故称，故称“旋转位似变换旋转位似变换”；
15、根据旋转不；根据旋转不变性以及位似的性质，从动点变性以及位似的性质，从动点C的路径与主动点的路径与主动点B的路径依然是相似图形，且其相的路径依然是相似图形，且其相似比等于位似比似比等于位似比针对演练针对演练5.如图，已知如图，已知AB2，点，点D是等腰是等腰RtABC斜边斜边AC上一动点，以上一动点，以BD为一边向右下方为一边向右下方作等腰作等腰BDE，其顶角，其顶角BDE120，当点，当点D由点由点A运动到点运动到点C时，点时，点E运动的路径运动的路径长为长为_第5题图第6题图6.如图，已知扇形如图，已知扇形 AOB中，中，OA3，AOB 120，C是是AB上的动点，以上的动点，以BC为边为边向右上方作正方形向右上方作正方形BCDE.当点当点C从点从点A移动至点移动至点B时，点时，点D经过的路径长是经过的路径长是_.2 62 2 谢谢！
