1、1.(2019安徽,13,5分)如图,ABC内接于O,CAB=30,CBA=45,CDAB于点D.若O的半径为2,则CD 的长为 .,A组 安徽中考题组,解析 如图,连接OC、OB,则COB=2CAB=60,OC=OB, COB为等边三角形,BC=2. CBA=45,CDAB, CB= CD,CD= .,答案,解题关键 连接OC、OB,得到COB是等边三角形是解答本题的关键.,2.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE= .,答案 60,解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB
2、=BO,点D是AB的中点, BD= AB= BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE=360- 90-90-120=60.,解题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.,3.(2019安徽,19,10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在农政全书 中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上 方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,OAB=41.3.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB),求 点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin 4
3、1.30.66,cos 41.30.75,tan 41.30.88),解析 连接CO并延长,交AB于点D,则CDAB,所以D为AB的中点,所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直 线的距离即为线段CD的长. 在RtAOD中,AD= AB=3,OAD=41.3, OD=ADtan 41.330.88=2.64,OA= =4, CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64. 答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. (10分),思路分析 本题考查垂径定理和三角函数的应用,通过垂径定理求得AD的长,再通过解三角形,求得AO和 OD的长,从而求出点C到弦AB所在直线的距离.,4
4、.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.,解析 (1)尺规作图如图所示. (4分) (2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE,所以 = , 易得OEBC,所以EM=3. RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦CE的长为 . (10分),思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,
5、再连接OC,由BAE=CAE可得 = ,可推出OEBC,最后利 用勾股定理求出CE的长.,5.(2015安徽,20,10分)在O中,直径AB=6,BC是弦,ABC=30,点P在BC上,点Q在O上,且OPPQ. (1)如图1,当PQAB时,求PQ长; (2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.,解析 (1)OPPQ,PQAB,OPAB. 在RtOPB中,OP=OBtanABC=3tan 30= . (3分) 如图,连接OQ,在RtOPQ中, PQ= = = . (5分) (2)PQ2=OQ2-OP2=9-OP2, 当OP最小时,PQ最大.此时,OPBC. (7分) OP=OBsinA
6、BC=3sin 30= . PQ长的最大值为 = . (10分),思路分析 (1)先在RtOPB中求出OP,连接OQ,再在RtOPQ中求出PQ;(2)因为OQ的长为定值3,所以当 OP最小时PQ最大,易知OPBC时OP最小,由此可求出PQ长的最大值.,方法指导 解决此类题目,需把动态问题转化为静态问题求解,先对点在运动变化过程中相伴随的数量关 系、图形位置关系等进行观察研究,然后画出大致图形,结合图形找出运动过程中的特殊点,代入求解即可.,考点一 圆的有关概念及性质,B组 20152019年全国中考题组,1.(2019吉林,5,2分)如图,在O中, 所对的圆周角ACB=50,若P为 上一点,A
7、OP=55,则POB的度 数为 ( ) A.30 B.45 C.55 D.60,答案 B 由题意可得AOB=2ACB=100.POB=100-55=45.故选B.,2.(2019湖北黄冈,7,3分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( ),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,点C 是 的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为 ( ) A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m,答案 A 连接OD,因为点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点,所以O、D、C三点共线.BD= AB=20 m, 设OB=x m,则OD=(x-10)m,在RtOBD中,OD2
8、+BD2=OB2,即(x-10)2+202=x2,解得x=25,故选A.,思路分析 连接OD,利用点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点及弦心距的性质将问题转化到直角三角 形中,然后由勾股定理求出.,3.(2018陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O相交于点D,连 接BD,则DBC的大小为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45,答案 A AB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65,BAC=50,CDAB,BAC=ACD=50, 根据圆周角定理的推论得ABD=ACD=50,所以DBC=ABC-ABD=65-50=15,故选A.,
9、4.(2017陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,C=30,O的半径为5.若点P是O上的一点,在 ABP中,PB=AB,则PA的长为 ( ) A.5 B. C.5 D.5,答案 D 连接OB、OA、OP, C=30,AOB=60, OA=OB,OAB是等边三角形,AB=5. PB=AB=OA=OP,OBAP, AP=2ABcos 30=25cos 30=25 =5 .故选D.,5.(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是O上的四个点, = .若AOB=58,则BDC= 度.,答案 29,解析 连接OC(图略), = ,AOB=BOC=58,又点D在圆上,BDC= BOC=2
10、9.,思路分析 连接OC,由 与 相等可得圆心角AOB=BOC,再根据同弧所对的圆周角是其所对圆心角 的一半即可求得BDC的度数.,6.(2019内蒙古包头,24,10分)如图,在O中,B是O上一点,ABC=120,弦AC=2 ,弦BM平分ABC交AC 于点D,连接MA,MC. (1)求O半径的长; (2)求证:AB+BC=BM.,解析 (1)ABC=120,BM平分ABC, MBA=MBC= ABC=60. 易知ACM=ABM=60,MAC=MBC=60, AMC是等边三角形. 如图,连接OA,OC, AO=CO,AOC=2AMC=120, OAC=OCA=30.作OHAC于点H, AH=C
11、H= AC= . 在RtAOH中,cosOAH= , 即 = ,AO=2. O的半径为2. (4分),(2)证明:在BM上截取BE=BC,连接CE, MBC=60,BE=BC,EBC为等边三角形, CE=CB=BE,BCE=60,BCD+DCE=60. ACM=60,ECM+DCE=60,ECM=BCD. AMC为等边三角形,AC=MC,ACBMCE,AB=ME. ME+EB=BM,AB+BC=BM. (10分),7.(2017北京,24,5分)如图,AB是O的一条弦,E是AB的中点,过点E作ECOA于点C,过点B作O的切线交 CE的延长线于点D. (1)求证:DB=DE; (2)若AB=12
12、,BD=5,求O的半径.,解析 (1)证明:BD是O的切线,OBD=90. CEOA,ACE=90. OBA+EBD=A+AEC=90. OA=OB,A=OBA, EBD=AEC. 又AEC=BED,BED=EBD,DB=DE. (2)如图,连接OE,则OEAB,AE=BE=6. 过点D作DMAB于点M, DE=DB,BM= BE=3, 在RtBMD中,由勾股定理得,DM=4. 易证OBE=BDM, 又BEO=DMB, RtOBERtBDM, = , OB= .,8.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是O的内接四边形,AC是O的直径,DEAB,垂足为E. (1)延长DE交O于点F
13、,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB; (2)过点B作BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB= ,DH=1,OHD= 80,求BDE的大小.,解析 (1)证明:AC是O的直径,ABC=90. 又DEAB,DEA=90. DEA=ABC,BCDF,F=PBC. 四边形BCDF是圆内接四边形, F+DCB=180, 又PCB+DCB=180, F=PCB,PBC=PCB,PC=PB. (2)连接OD,AC是O的直径,ADC=90,又BGAD,AGB=90,ADC=AGB,BGDC. 又由(1)知BCDE,四边形DHBC为平行四边形,BC=DH
14、=1. 在RtABC中,AB= ,tanACB= = , ACB=60,CAB=30. 从而BC= AC=OD,DH=OD. 在等腰三角形DOH中,DOH=OHD=80, ODH=20. 设DE交AC于N.BCDE,ONH=ACB=60. NOH=180-(ONH+OHD)=40, DOC=DOH-NOH=40, CBD=OAD=20. BCDE,BDE=CBD=20.,一题多解 (1)证明:易证DFBC,从而CD=BF,且 = =1,PB=PC. (2)连接OD,设BDE=x,则EBD=90-x, 易证四边形BCDH为平行四边形, BC=DH=1,AB= , CAB=30,AC=2, ADB
15、=ACB=60, OD=OA=1=DH, ODH=180-2OHD=180-280=20, OAD=ODA=ADB-(ODH+x)=60-(20+x)=40-x. 又AOD=2ABD, 180-2(40-x)=2(90-x), 解得x=20,即BDE=20.,考点二 与圆有关的位置关系,1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB等于 ( ) A.55 B.70 C.110 D.125,答案 B 连接OA,OB. PA,PB是O的两条切线, OAAP,OBPB. OAP=OBP=90. AOB=2ACB=255=110, AP
16、B=360-OAP-OBP-AOB =360-90-90-110=70.故选B.,方法总结 在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在圆 中通过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法.,2.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD等 于 ( ) A.40 B.50 C.60 D.80,答案 D 由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180 及ACB=50可得BAC=40, 由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
17、可得BOD=O- DA+OAD=80.,3.(2018重庆,9,4分)如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD与O相切于点D,过点B作PD的垂 线交PD的延长线于点C.若O的半径为4,BC=6,则PA的长为 ( ) A.4 B.2 C.3 D.2.5,答案 A 连接DO,PD与O相切于点D,PDO=90.BCPC,PCB=90,DOBC,POD PBC, = , = ,PA=4,故选A.,思路分析 利用切线的性质得出PDO=90,再利用相似三角形的判定和性质求出结果.,4.(2019内蒙古包头,18,3分)如图,BD是O的直径,A是O外一点,点C在O上,AC与O相切于点C,CAB
18、=90,若BD=6,AB=4,ABC=CBD,则弦BC的长为 .,答案 2,解析 连接CD,BD是直径,DCB=90, 又CAB=90,ABC=CBD, CABDCB, = ,即 = , BC= =2 .,5.(2018内蒙古包头,17,3分)如图,AB是O的直径,点C在O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在 上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若D=40,则BEC= 度.,答案 115,解析 如图,连接OC,AC, CD是O的切线,DCO=90, 1=90-D=50. OA=OC,2= (180-1)=65. BEC=180-2=180-65=115.,6.(2018山西,15
19、,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作O,O 分别与AC,BC交于点E,F,过点F作O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为 .,答案,解析 如图,连接OF. FG为O的切线,OFFG. RtABC中,D为AB中点, CD=BD,DCB=B. OC=OF,OCF=OFC,CFO=B, OFBD,ABFG.,O为CD的中点,F为BC的中点, CF BF BC 4. RtABC中,AB= =10, sin B= = , 在RtBGF中,FG=BFsin B 4 .,思路分析 连接OF,得OFFG,由OCF=OFC,OCF=B可得OFC=B,
20、所以OFBD,所以AB FG.在RtABC中求出sin B,再在RtBFG中,利用FG=BFsin B求得FG.,7.(2018四川成都,20,10分)如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A, D的O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G. (1)求证:BC是O的切线; (2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长; (3)若BE=8,sin B= ,求DG的长.,解析 (1)证明:如图,连接OD. AD为BAC的平分线,BAD=CAD, OA=OD,ODA=OAD, ODA=CAD,ODAC. 又C=90,ODC=9
21、0, ODBC,BC是O的切线. (2)连接DF. 由(1)可知,BC为O的切线. FDC=DAF,CDA=CFD, AFD=ADB, 又BAD=DAF,ABDADF, = ,AD2=ABAF,AD2=xy,AD= . (3)连接EF. 在RtBOD中,sin B= = , 设圆的半径为r, = , r=5,AE=10,AB=18.,AE是直径,AFE=90,又C=90, EFBC,AEF=B, sinAEF= = , AF=AEsinAEF=10 = , AFOD, = = = , DG= AD, AD= = = , DG= = .,思路分析 (1)连接OD,由OD=OA,AD平分BAC,易
22、得ODAC,所以ODBC,证得BC为圆O的切线;(2)连 接DF,判定ABDADF,得AD2=ABAF=xy,即AD= ;(3)连接EF,设圆的半径为r,由sin B的值,解直角 ABC,直角AEF,根据ODAF,得出DG= AD,又AD= ,进而可以求出DG的长.,易错警示 本题属于圆的综合题,考查了切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质及锐角三角函数.题 中涉及直角三角形的条件间的转化较多,易造成代换或计算错误,加强对三角函数概念的理解,提高计算能 力,是减少错误的关键.,考点一 圆的有关概念及性质,C组 教师专用题组,1.(2018山东威海,10,3分)如图,O的半径为5,AB为弦,点
23、C为 的中点,若ABC=30,则弦AB的长为 ( ) A. B.5 C. D.5,答案 D 如图,连接OA、OC,OC 交AB于点M.根据垂径定理可知OC垂直平分AB,因为ABC=30,故 AOC=60,在RtAOM中,sin 60= = = ,故AM= ,即AB=5 .故选D.,2.(2017新疆,9,5分)如图,O的半径OD垂直于弦AB,垂足为点C.连接AO并延长交O于点E,连接BE,CE,若 AB=8,CD=2,则BCE的面积为 ( ) A.12 B.15 C.16 D.18,答案 A O的半径OD垂直于弦AB,AB=8, AC=BC= AB=4. 设OA=r,则OC=OD-CD=r-2
24、, 在RtAOC中,由勾股定理得42+(r-2)2=r2, 解得r=5,AE=10, 在RtABE中,BE= = =6, SBCE= BCBE= 46=12.故选A.,方法指导 运用垂径定理求相关线段长度的关键是构造直角三角形,进而利用勾股定理求解.其最常用的 方法是“连接圆心和圆中弦的端点”.若弦长为l,圆心到弦的距离为d,半径为r,则根据勾股定理有 l= .,3.(2017内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为O的直径,弦ABCD,垂足为M.若AB=12,OMMD=58,则O 的周长为 ( ) A.26 B.13 C. D.,答案 B 连接OA,设OM=5x(x0),则MD=8x,OA=O
25、D=13x,又AB=12,ABCD,AM=6.在RtAOM中, (5x)2+62=(13x)2,解得x= (舍负),半径OA= ,O的周长为13.,方法规律 如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则 +d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其 中任意两个量即可求出其余两个量.,4.(2016广西南宁,9,3分)如图,点A,B,C,P在O上,CDOA,CEOB,垂足分别为D,E,DCE=40,则P的度 数为 ( ) A.140 B.70 C.60 D.40,答案 B DCE=40,CDOA,CEOB,DOE=180-40=140,P= AOB=70.故选B.,5.(201
26、8山东青岛,9,3分)如图,点A、B、C、D在O上,AOC=140,点B是 的中点,则D的度数是 ( ) A.70 B.55 C.35.5 D.35,答案 D 如图,连接OB.点B是 的中点, = , AOB= AOC= 140=70,D= AOB= 70=35.,6.(2018内蒙古呼和浩特,12,3分)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 .,答案 1,解析 设圆的半径为r,则内接正方形的边心距为 r,内接正三角形的边心距为 r,故 r r= 1.,7.(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在O上, = ,CAD=30,ACD=50,则ADB= .,答案 70,解析 =
27、 ,BAC=CAD=30.又BDC=BAC=30,ACD=50,ADB=180-30-30 -50=70.,8.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD=6,则 AC= .,答案 2,解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=30, 因为 =cos 30,所以AB= = =4 .在RtABC中,AC=ABcos 60=4 =2 .,9.(2019福建,24,12分)如图,四边形ABCD内接于O,AB=AC,ACBD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF= DC,连接
28、AF,CF. (1)求证:BAC=2CAD; (2)若AF=10,BC=4 ,求tanBAD的值.,解析 (1)证明:ACBD,AED=90, 在RtAED中,ADE=90-CAD. AB=AC, = , ACB=ABC=ADE=90-CAD. 在ABC中,BAC+ABC+ACB=180, BAC=180-(ABC+ACB)=180-2(90-CAD), 即BAC=2CAD. (2)DF=DC,FCD=CFD. BDC=FCD+CFD, BDC=2CFD. BDC=BAC,且由(1)知BAC=2CAD, CFD=CAD, CAD=CBD,CFD=CBD,CF=CB.,ACBF,BE=EF,故C
29、A垂直平分BF, AC=AB=AF=10. 设AE=x,则CE=10-x. 在RtABE和RtBCE中,AB2-AE2=BE2=BC2-CE2, 又BC=4 ,102-x2=(4 )2-(10-x)2,解得x=6. AE=6,CE=4,BE= =8. DAE=CBE,ADE=BCE, ADEBCE, = = , DE=3,AD=3 . 过点D作DHAB,垂足为H.,SABD= ABDH= BDAE,BD=BE+DE=11, 10DH=116,故DH= . 在RtADH中,AH= = , tanBAD= = .,10.(2019山西,21,8分)阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:,任务:(1
30、)观察发现:IM=R+d,IN= (用含R,d的代数式表示); (2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由; (3)请观察式子和式子,并利用任务(1)(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分; (4)应用:若ABC的外接圆的半径为5 cm,内切圆的半径为2 cm,则ABC的外心与内心之间的距离为 cm.,解析 (1)R-d. (1分) (2)BD=ID. (2分) 理由如下:点I是ABC的内心, BAD=CAD,CBI=ABI. (3分) DBC=CAD,BID=BAD+ABI,DBI=DBC+CBI, BID=DBI. (4分) BD=ID. (5分) (3)证明:由(2
31、)知BD=ID, IAID=DEIF.又IAID=IMIN, DEIF=IMIN. (6分) 2Rr=(R+d)(R-d).R2-d2=2Rr.,d2=R2-2Rr. (7分) (4) . (8分),思路分析 (1)根据线段的差易得IN=R-d;(2)根据点I是ABC的内心,推出BAD=CAD,CBI=ABI,进 而根据外角知识及圆周角定理得到BID=DBI,即可得到BD=ID;(3)利用任务(1)(2)的结论得出DEIF=IM IN,进而得出d2=R2-2Rr;(4)运用(3)中推出的公式计算得解.,11.(2018湖北黄冈,18,7分)如图,AD是O的直径,AB为O的弦,OPAD,OP与A
32、B的延长线交于点P,过B点 的切线交OP于点C. (1)求证:CBP=ADB; (2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长.,解析 (1)证明:连接OB,则OBBC,OBD+DBC=90,又AD为O的直径,DBA=90,DBP= DBC+CBP=90,OBD=CBP, 又OD=OB,OBD=ODB,ODB=CBP,即ADB=CBP. (2)在RtADB和RtAPO中,DAB=PAO, RtADBRtAPO, = , AB=1,AO=2,AD=4,AP= =8,BP=7.,12.(2016宁夏,23,8分)已知ABC,以AB为直径的O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC. (1)求证
33、:AB=AC; (2)若AB=4,BC=2 ,求CD的长.,解析 (1)证明:ED=EC, CDE=C, 又四边形ABED是O的内接四边形, CDE=B, B=C, AB=AC. (4分) (2)连接AE,则AEBC,BE=EC= BC, 在ABC与EDC中,C=C,CDE=B, ABCEDC, (6分) = ,得DC= = , 由AB=4,BC=2 ,得DC= = . (8分),思路分析 (1)由ED=EC可得CDE=C,由圆内接四边形的性质可得CDE=B,进而求得AB=AC;(2)连 接AE,则AEBC,证明ABCEDC,进而求得CD的长.,13.(2017湖北武汉,21,8分)如图,AB
34、C内接于O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D. (1)求证:AO平分BAC; (2)若BC=6,sinBAC= ,求AC和CD的长.,解析 (1)证明:连接BO. AB=AC,OB=OC, A、O在线段BC的中垂线上,AOBC. 又AB=AC,AO平分BAC. (2)如图,延长AO交BC于点H,过点D作DKAO,交AO于点K. 由(1)知AOBC,OB=OC,BC=6, BH=CH= BC=3,COH= BOC, BAC= BOC,COH=BAC.,在RtCOH中,OHC=90,sinCOH=sinBAC= = . CH=3,sinCOH= = ,CO=AO=5, OH= = =4, AH
35、=AO+OH=5+4=9,tanCOH=tanDOK= . 在RtACH中,AHC=90,AH=9,CH=3, tanCAH= = = ,AC= = =3 , 由(1)知CAH=BAH,tanBAH=tanCAH= . 设DK=3a(a0),在RtADK中,tanDAK= , 在RtDOK中,tanDOK= ,OK=4a,DO=5a,AK=9a,AO=OK+AK=13a=5,a= ,DO=5a= ,CD=OC+DO=5+ = .,一题多解 (1)证明:连接OB. AO=AO,BO=CO,AB=AC, AOBAOC,BAO=CAO. 即AO平分BAC. (2)过点C作CEAB,交AB于点E, s
36、inBAC= = ,可设AC=5m(m0),则EC=3m, AE=4m,BE=m. 在RtCBE中,BE2+EC2=BC2,即m2+(3m)2=36, 解得m= (舍负),AC=3 . 延长AO交BC于点H,则AHBC,且BH=CH=3, 过点O作OFAH,交AB于点F,BOC=2BAC,BOC=2HOC, BAC=HOC, sinHOC=sinBAC= ,又HC=3, OC=5,OH=4, AH=OA+OH=9, tanBAH= = = , OF= OA= .,OFBC, = ,即 = , 解得DC= .,考点二 与圆有关的位置关系,1.(2017吉林,6,2分)如图,直线l是O的切线,A为
37、切点,B为直线l上一点,连接OB交O于点C.若AB=12,OA=5, 则BC的长为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 D 因为AB是圆O的切线,所以OAAB,由勾股定理可得,OB=13,又因为OC=5,所以BC=OB-OC=13-5 =8,故选D.,2.(2018浙江杭州,14,4分)如图,AB是O的直径,点C是半径OA的中点,过点C作DEAB,交O于D,E两点,过 点D作直径DF,连接AF,则DFA= .,答案 30,解析 点C是半径OA的中点, OC= OA= OD, 又DEAB,CDO=30,DOA=60, DFA= DOA=30.,3.(2019江西,19,8分)如图1,A
38、B为半圆的直径,点O为圆心,AF为半圆的切线,过半圆上的点C作CDAB交AF 于点D,连接BC. (1)连接DO,若BCOD,求证:CD是半圆的切线; (2)如图2,当线段CD与半圆交于点E时,连接AE,AC,判断AED和ACD的数量关系,并证明你的结论.,解析 (1)证法一:连接OC. AF为半圆的切线,A=90. BCDO,CBO=AOD,BCO=COD. OC=BO,CBO=BCO. COD=AOD. 在OAD和OCD中, OADOCD(SAS).,OCD=A=90. CD是半圆的切线. 证法二:连接OC. CDAB,BCOD, 四边形BCDO是平行四边形,CD=BO. OB=OA,CD
39、=OA. CDOA,四边形OADC是平行四边形. 又AF为半圆的切线,A=90. OADC是矩形,OCD=90. CD是半圆的切线. (2)AED+ACD=90. 证法一:CDAB,ACD=BAC. 四边形ABCE是圆内接四边形,B+AEC=180. AED+AEC=180, AED=B. AB为半圆的直径,BCA=90. CAB+B=90.AED+ACD=90. 证法二:连接BE,则ACD=ABE. CDAB,AED=BAE. AB为半圆的直径,AEB=90, ABE+BAE=90, AED+ACD=90.,思路分析 (1)要证CD与半圆相切,由于点C为半圆上一点,所以必须连接OC并证明OC
40、D=90,其中证法 一的思路是通过证明OCDOAD,从而得到OCD=A=90.证法二的思路是证明四边形OADC是矩 形,从而得到OCD=90. (2)通过观察,易得到AED+ACD=90.证法一的思路是由ABCD得DCA=CAB,由四边形ABCE为圆 内接四边形得到B=AED,由AB为直径得ACB=90,从而得到B+CAB=90,最终推出AED+ ACD=90.证法二的思路是连接BE,易证DCA=EBA,由ABCD得EAB=AED,由AB为直径易得EBA+EAB=90,最终推出AED+ACD=90.,4.(2019四川成都,20,10分)如图,AB为O的直径,C,D为圆上的两点,OCBD,弦A
41、D,BC相交于点E. (1)求证: = ; (2)若CE=1,EB=3,求O的半径; (3)在(2)的条件下,过点C作O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQCB交O于F,Q两点(点F在线段 PQ上),求PQ的长.,解析 (1)证明:连接OD. OCBD, OCB=DBC, OB=OC, OCB=OBC, OBC=DBC, AOC=COD, = . (2)连接AC. = , CBA=CAD. 又BCA=ACE, CBACAE., = . CA2=CECB=CE(CE+EB)=1(1+3)=4. CA=2. AB为O的直径, ACB=90. 在RtACB中,由勾股定理,得AB= = =2 .
42、 O的半径为 .,(3)如图,设AD与CO相交于点N,AB为O的直径, ADB=90, OCBD, ANO=ADB=90.,PC为O的切线, PCO=90. ANO=PCO. PCAE. = = . PA= AB= 2 = . PO=PA+AO= + = . 过点O作OHPQ于点H,则OHP=90=ACB. PQCB, BPQ=ABC. OHPACB., = = . OH= = = ,PH= = = . 连接OQ. 在RtOHQ中,由勾股定理,得HQ= = = . PQ=PH+HQ= .,思路分析 (1)依据题意推得AOC=COD,可证 = ;(2)先证CBACAE,求得CA的长,再在Rt A
43、CB中,由勾股定理求得AB的长,进而可得半径长;(3)作OHPQ,证OHPACB,根据相似的性质以及勾 股定理求得HQ的长,再求PQ的长.,5.(2019内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,以RtABC的直角边AB为直径的O交斜边AC于点D,过点D作O的 切线与BC交于点E,弦DM与AB垂直,垂足为H. (1)求证:E为BC的中点; (2)若O的面积为12,AHD和BMH的外接圆面积之比为3,求DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的 外接圆面积S2的比.,解析 (1)证明:连接OE, 在ODE和OBE中, ODEOBE, DOE=BOE= DOB, 又DAB= DOB, DAB=BOE, OE
44、AC, 又O是AB的中点, E为BC的中点.,(2)AHD与MHB都是直角三角形, 其外接圆面积的比= =3, = , 又AHDMHB, = = ,又DH=HM, = , BMH=30=DAH,C=60, 又易知O的半径为2 ,AB=4 , 在RtABC中,可求得BC=4,AC=8, 连接BD,由题意知BDC是直角三角形, 由(1)知E是斜边BC的中点,而C=60, CDE是等边三角形,且边长为2, CDE的内切圆的半径r1= , 又四边形ODEB的外接圆直径为OE,OE= AC=4, 四边形ODEB的外接圆的半径r2=2, = .,思路分析 (1)连接OE,证明ODEOBE,进一步得出OE是ABC的中位线,证得E为BC的中点;(2)根据 题意以及RtAHDRtMHB得出 = = ,则 = =tan 60,求得DAH=30,C=60,得出 CDE是边长为2的等边三角形,则内切圆半径为
