1、均值不等式及其应用均值不等式及其应用第第1课时课时问题1阅读课本第7175页，回答下列问题：整体概览整体概览（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？问题1阅读课本第7175页，回答下列问题：整体概览整体概览（1）本节将要研究均值不等式及其应用（2）起点是不等式的性质以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用均值不等式解决简单的最大（小）问题进一步提升数学运算、逻辑推理等素养（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？情境与问题情境与问题问题给定两个正数a，b，数 称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值两个数的算术
2、平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？2abab情境与问题情境与问题【尝试与发现】（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义情境与问题情境与问题a12b14131ab2ab2 2新知探究新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么 ，2abab当且
3、仅当ab时，等号成立证明因为a，b都是正数，所以22()0222ababababab，即 2abab而且，等号成立时，当且仅当，即ab2()0ab新知探究新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么 ，2abab当且仅当ab时，等号成立值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如 一定是正确的67422新知探究新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么 ，2abab当且仅当ab时，等号成立综合法证明如下：因为（ab）20，所以a2b22ab0，所以a2b22ab4ab0，即（ab）24ab又因为a0，b0，所以ab ，2 ab显然，当且仅当（a
4、b）20，即ab时，等号成立即 2abab新知探究新知探究问题2均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值那么，均值不等式有什么几何意义呢？将均值不等式两边平方可得 ab2()2ab如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大2()2ab新知探究新知探究【想一想】你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？正三角形，圆依题意
5、得2（xy）36，即xy18其中等号成立当且仅当x ，即x21，（3）求函数yx（1x），x ，1）的最大值因为x0，y0，所以（4）正确地写出答案两个正数的和为常数时，它们的积有最大值（3）利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；参考答案：（1）当x 时，y有最小值为 ；问题3如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心已知ACa，BCb，D为半圆上一点，且DCA
6、B，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？所以2（xy）40解：（2）当x（1，3）时，一1x3，因此1x0，3一x0（1）本节将要研究哪类问题？例1（2）已知x（1，3），求y（1x）（3x）的最大值，以及y取得最大值时x的值当且仅当xy时，等号成立，由 ，可知此时xy9新知探究新知探究问题3如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心已知ACa，BCb，D为半圆上一点，且DCAB，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？ABDOC在RtABD中，由于DCAB，利用射影定理可得CD ，又CO ，由图可知COCD，所以 ，变形为ab ab2ab2abab2 ab结论：
7、均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦新知探究新知探究例1（1）已知x0，求yx 的最小值，并说明x为何值时y取得最小值1x（2）已知x（1，3），求y（1x）（3x）的最大值，以及y取得最大值时x的值（3）求函数yx（1x），x ，1）的最大值23新知探究新知探究例1（1）已知x0，求yx 的最小值，并说明x为何值时y取得最小值1x解：（1）因为x0，所以根据均值不等式有1122xxxx解得x1或x1（舍）其中等号成立当且仅当x ，即x21，1x因此x1时，y取得最小值2新知探究新知探究例1（2）已知x（1，3），求y（1x）（3x）的最大值，以及y取得最大值时x的值解：
8、（2）当x（1，3）时，一1x3，因此1x0，3一x0当且仅当1x3x，即x1时，等号成立从而（1x）（3x）4，即y413(1)(3)22xxxx由均值不等式可得 ，从而x1时，y取得最大值4解：（3）错解：由 x1，易知1x0，23新知探究新知探究例1（3）求函数yx（1x），x ，1）的最大值23从而yx（1x）所以y的最大值为 2(1)2xx1414正解：yx（1x）x2x（x ）2 ，1412当x 时，ymax 2329新知探究新知探究（1）在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”：一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即ab有解（2
9、）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值（3）利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答新知探究新知探究例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值新知探究新知探究例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的
10、长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？解：（1）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy100因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40当且仅当xy时，等号成立，所以2（xy）40因为x0，y0，所以100102xyxy由 ，可知此时xy10100 xyxy新知探究新知探究例2（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？解：（2）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2（xy）36，即xy18因为x0，y0，所以1822xyxy因此 9，即xy81xy当且仅当xy时，等号成立，由 ，可知此时xy918xyxy因此，当矩形的
11、长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81新知探究新知探究方法总结：求实际问题中最值的一般思路：（1）读懂题意，设出变量，列出函数关系式；（3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解（2）把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题；（4）正确地写出答案新知探究新知探究（1）已知a为大于0的常数，x0，求yx 的最小值，并求y取得最小值时相应的x的值；ax（2）已知x0，求yx 的最大值，并求y取得最大值时相应x的值；1x（3）已知x1，求yx 的最小值，并求y取得最小值时相应x的值；11x（4）已知x1，求yx 的最大值，并求y取得最大值时相应x的值11x 新知探究新知探究（2）当x1时，y有最大值为一2；（3）当x2时，y有最小值为3；（4）当x0时，y有最大值为一1参考答案：（1）当x 时，y有最小值为 ；a2 a归纳小结归纳小结回顾本节课，你有什么收获？（1）什么叫均值不等式？如何证明？（2）均值不等式的几何意义是什么？（3）如何利用均值不等式求最值？作业：作业：教科书P76练习B 1，2，4作业布置作业布置再见再见
