1、 1 第二节 解一元一次方程 (一 ) 一 . 本周教学内容： 一元一次方程的应用（一） 知识内容 列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际， 解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。 列方程解应用题的主要步骤： （ 1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； （ 2）设未知数：用字母 表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式； （ 3）列方程：利用这些代数式列出反映某个等
2、量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）； （ 4）解方程：求出所列方程的解； （ 5）检验：检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，不符合实际的要舍去，并答题。 【典型例题】 1. 和、差、倍、分问题：这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。 （ 1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率?”来体现。 （ 2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余?”来体现。 例 1. 某学校今年为 山区捐款 28000 元，比去年的 2 倍还多 500 元，去年该学校为山区捐款多少元？ 分析： 等量关系是：去年捐款 2 500今年捐款 解：
3、 设去年为灾区 捐款 x 元 由题意得： 2 500 28000x ? ? 2 27500x? 2 ? ?x 13750 答： 去年该学校为山区捐款 13750 元。 例 2. 根据 2001 年 3 月 28 日新华社公布的第 五次人口普查统计数据，截止到 2000 年 11 月 1 日 0时，全国每 10 万人中具有小学文化程 度的人口为 35701 人，比 1990 年 7 月 1 日减少了 3.66%， 1990年 6 月底每 10 万人中约有多少人具有小学文化程度？ 分析： 等量关系为： ? ?1 3 66% 90 6 2000 11 1? ? ?. 年 月底有的人数 年 月 日人数
4、 解： 设 1990 年 6 月底每 10 万人中约有 x 人具有小学 文化程度 ( .1 3 66% ) 35701? ?x x?37057 答： 1990 年 6 月底每 10 万人中约有 37057 人具有小学文化程度。 2. 等积变形问题： 常用的公式：长方体体积长宽高 圆柱体体积 ?rh2 圆锥体体积 13 2?rh长方形周长 2（长宽），面积 长宽 正方形周长 4边长，面积边长的平方 正方体体积 a3 “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为： 形状面积变了，周长没变； 原料体积成品体积。 例 3. 用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为 1
5、25 125 2? mm 内高为 81mm的长方体铁盒倒水 时，玻璃杯中的水的高度下降多少 mm？（结果保留整数 ?314. ） 分析： 等量关系为：圆柱形玻璃杯体积长方体铁盒的体积 下降的高度就是倒出水的高度 解： 设玻璃杯中的水高下降 x mm 3 ? 902 125 125 812? ? ? ? ? x?xx? ?625625 199 答： 下降约为 199mm。 3. 劳力调配问题： 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： （ 1）既有调入又有调出； （ 2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； （ 3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。 例 4. 机械厂加工车间有 85
6、 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮 刚好配套？ 分析： 列表法。 每人每天 人数 数量 大齿轮 16 个 x 人 16x 小齿轮 10个 ? ?85?x 人 ? ?1085?x 等量关系：小齿轮数量的 2 倍大齿轮数量的 3 倍 解： 设分别安排 x 名、 ? ?85?x 名工人加工大、小齿轮 3 16 2 10 85( ) ( )x x? ? 48 1700 2068 170025x xxx? ? ? ?85 60x 人 答： 安排 25 人加工大齿轮，安排
7、60 人加工小齿轮。 例 5. 李明今年 8 岁，父亲是 32 岁，问几年以后父亲的年龄为李明的 3 倍。 4 分析： 此问题中只有调入，没有调出。等量关系为：几年后父亲年龄 3李明几年后的年龄。 解： 设 x 年后父亲的 年龄为李明的 3 倍 由题意得： ? ?32 3 8? ? ?x x 解这个方程： 32 24 3? ? ?x x 2 84xx?答： 4 年后父亲的年龄为李明的 3 倍。 4. 比例分配问题： 这类问题的一般思路为：设其中一份为 x，利用已知的比，写出相应的代数式。 常用等量关系：各部分之和总量。 例 6. 甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为 4： 3；乙、
8、丙之比为 6： 5，又知甲与丙的和比乙的 2 倍多 12 件，求每个人每天生产多少件？ 分析： 应设一份为 x 件，则其他量均可用含 x 的 代数式表示。等量关系为：（甲日产量丙日产量） 12乙日产量的 2 倍。 解： 设一份为 x 件，则甲每天生产 4x 件，乙每天生产 3x 件，丙每天生产 56 3?x件（即 52x件） 由题意得： 4 52 12 2 3x x x? ? ? ?解这个方程： x2 12? ?x 24 ? ? ? ?4 4 24 96x （件） 3 3 24 72x ? ? ? （件） 52 52 24 60x ? ? ?（件） 答： 甲每天生产 96 件，乙每天生产 72
9、 件，丙每天生产 60 件。 例 7. 三个正整数的比为 1： 2： 4，它们的和是 84，那么这三个数中最大的数是几？ 解： 设一份为 x，则三个数分别为 x， 2x， 4x 分析： 等量 关系：三个数的和是 84 5 x x xx? ? ?2 4 8412最大的是 48 答： 最大的数是 48。 5. 数字问题 要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c（其中 a、 b、c 均为正整数且 1 9 0 9 0 9? ? ? ? ? ?a b c， ，），则这个三位数表示为 100 10a b c? ? 。 例 8. 一个三位数，三个数位上的数的和是 17
10、，百位上的数比十位上的数大 7，个位上的数是十位上数的 3 倍，求这个数。 分析： 本题很显然无法设直接未知数求解，而条件中给出了百位 和个位上的数与十位上的数的关系，所以若设十位上的数为 x，则百位上的数为 x?7 ， 个位上的数为 3x，根据关系列出方程。 等量关系：三个数位上的数的和 17 解： 设十位上数字为 x，百位上的数为 x?7 ，个位上的数为 3x x x x? ? ? ?7 3 17 ? ? ? ?xxx27 93 6答： 这个三位数是 926。 【模拟试题】 （答题时间： 30 分钟） 1. 一块地共 x 亩，计划三天耕完，拖拉机第一天耕了这块地的 14，第二天耕了剩下的
11、13，求第三天耕多少亩？ 2. 一个三位数，百位上的数字比十位上的数字小 3，个位上的数字比十位数字小 2，如果把百位数字与个位交换，所得数字与原三位数的和是 827，求这个三位数是？ 3. 已知一个长方体的长、宽、高三边之比 5： 4： 3，长比高长 4cm，那么这个长方体的面积和为多少？ 4. 有三盘苹果共 90 个，把第一盘个数加 5，第二盘个数减 5，所得的数刚好与第三盘的个数相等，6 求原来三盘苹果各有多少个？ 5. 有父子二人，父亲对儿子说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才两岁。”儿子对父亲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将 62 岁”。那么父亲和儿子现在各是多少岁？ 6.
12、有若干本连环画册分给小朋友，每人 8 本，则余 14 本，每 人 9 本，则最后一人得 6 本。问有多少个小朋友分这些书？ 7. 工人师傅制作了一个容积是 84 立方厘米，高为 6 厘米的长方体盒子，已知盒子底面的长比宽多 5 厘米。求盒子的底面的宽是多少？ 8. 用直径为 4 厘米的圆钢，铸造成三个直径为 2 厘米、高为 16 厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？ 9. 七年级数学兴趣小组，买日记本和练习本共花 65.6 元，已知日记本每本 2.4 元，练习本每本0.7 元，练习本比日记本多 14 本，求买日记本和练习本各是多少本？ 10. 某服装厂加工车间有工人 54 人，每天每人可以
13、加工上衣 8 件或裤子 10 件，应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和 裤子配套？ 11. 师生共 600 人外出参观，一辆大客车比一辆面包车多载 20 人， 6 辆大客车和 10 辆面包车的人数相等，如果都乘面包车需要几辆？如果都乘大客车需要几辆？ 【试题答案】 1. 12x 亩 2. 这个数是 364 3. 376 平方厘米 4. 25、 35、 30 个 5. 父亲 42 岁，儿子 22 岁 6. 17 个人分 7. 底面宽 2 厘米 8. 需要截取 12 厘米的圆钢 9. 日记本 18 本，练习本 32 本 10. 做上衣的 30 人，做裤子的 24 人 11. 面包车需要 20 辆
14、 ，大客车需要 12 辆 【励志故事】 足迹 7 一天晚上，一个人做了个梦，他梦见他一直与神同行。他注意到有些地方有两行足迹在身后 一行属于他，另一行属于神。而有一些地方只有一行足迹，这些地方刚好都是他人生最低潮、最悲观的阶段。他感觉被神欺骗了。 他问神：“神，你曾说一旦我决定跟随你，你就会一路陪着我走下去。但是，我注意到在我人生最糟糕的时候，却只有我的一行足迹。到底是因为什么？在我最需要的时候，你却离开了我？” 神回答：“可爱的孩子，我爱你，而且永远不会离开你。是的，在你经历考验和挫折 的时候，只有一行足迹，但那是我背着你留下的。” 那人仔细查看了一番地上的脚印，突然说：“那是我自己的脚印呀！” 神笑了：“现在你知道了，既然你在最低潮、最悲观的阶段，都能够背负我走过去，那你现在还需要我吗？”
