1、1教材分析教材分析 本节课节选自高中数学教科书选修4-5第三讲第一节第一课时。在已经学习了第一讲不等式和绝对值不等式及第二讲证明不等式的基本方法的基础上，经历二维形式柯西不等式的证明，认识柯西不等式的几种不同的形式，理解其几何意义，能运用柯西不等式解决一些简单的问题，为接下来的学习三维形式的柯西不等式打好基础。1通过对二维形式的柯西不等式的学习，体验数学的对称与和谐美，提高学习数学的兴趣122自主探索、合作交流 3 练习巩固练习巩固22231,xyxy问题1：已知求 最小值？（1）你能想到什么方法可以解决这个问题？（2）可以用不等式内容来解决吗？3设计意图：设计意图：通过题（1）回顾旧知识，体
2、验一题多解，发展学生发散思维的能力；通过题（2）使学生体会到现有知识的局限性，通过学习柯西不等式能够解决，增强学生学习动机。(,),(,),a bc d 问题2:设在平面直角坐标系xOy中有向量与 的夹角为，0，则：（1）acbd(2)2222abcd (3)(4)问题(3)中等号何时成立？0=adbcad bc向量共线，则即22222()()()abcdacbd它就是二维形式的它就是二维形式的柯西不等式柯西不等式2222()()abcdacbd（5）由以上问题，你能得到怎么的代数式呢？3设计意图：设计意图：由具体问题，借助平面向量，通过图形，经历二维形式柯西不等式的生成，从形的角度理解数，为
3、柯西不等式证明提供方法，为理解其几何意义做好铺垫。柯西(Cauchy,17891857)是法国数学家、物理学家、天文学家。柯西的主要成就有柯西极限存在准则、柯西序列、柯西不等式、柯西积分公式等，柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的精华，也是柯西对人类科学发展所做的巨大贡献。3设计意图：设计意图：通过介绍数学家柯西生平，吸引学生注意力，使学生感受到柯西对数学领域的贡献，以及对待科学的严谨态度。定理定理1：（二维形式的柯西不等式）：（二维形式的柯西不等式）22222,()()()=abcdabcda cb da db c若都
4、 是 实 数，则当 且 仅 当等 号 成 立注意：注意：1、柯西不等式反映了、柯西不等式反映了4个实数之间特定数个实数之间特定数量关系，量关系，平方和的积不小于积的和的平方平方和的积不小于积的和的平方。2、等号成立的条件是、等号成立的条件是=ad bc3问 题 3：你 能 证 明 这 个 不 等 式 吗？222222222(,=(c,d)=ac+bd=cos()()(),=a bacbdabcdabcdacbdad bc 设），当且仅当向量共线 即时等号成立向量证明：3比较法作差证明：222222222222222222222222222()()()22()0()()()=0=abcdacbd
5、a cb da db ca cabcdb da dabcdb cadbcabcdacbdadbcad bc当且仅当，即等号成立还有其他证明方法吗？还有其他证明方法吗？3变变形变变形可得到下面两个不等式。可得到下面两个不等式。2222(1)abcdacbd2222(2)abcdacbd这两个式子等号何时成立？这两个式子等号何时成立？=ad bc当且仅当等号成立=ad bc当且仅当等号成立3设计意图：设计意图：通过这个问题，强调等号成立的条件，引起学生重视。(,),(,),a bc d 问题2:设在平面直角坐标系xOy中有向量与 的夹角为，0，则：（1）acbd(2)2222abcd (3)(4)
6、问题(3)中等号何时成立？0=adbcad bc向量共线，则即22222()()()abcdacbd它就是二维形它就是二维形式的柯西不等式的柯西不等式式2222()()abcdacbd（5）由问题（3）你能得到怎么的代数式呢？定理定理2：（柯西不等式的向量形式）：（柯西不等式的向量形式）,=,kk 设，是 两 个 向 量，则当 且 仅 当是 零 向 量，或 存 在 实 数使等 号 成 立。探究：探究：定理定理1和定理和定理2中的两种形式可以相互推导吗？中的两种形式可以相互推导吗？可以可以3设计意图：设计意图：探究的设置，使学生从数和形两方面体会二维形式柯西不等式，理解它们之间的等价关系。442
7、23321,()()()a bababab例：已知为实数，证明4422222222222332()()=()()=+ababababaabbab证明：根据柯西不等式，有（）理清结构理清结构3设计意图：设计意图：例1难度较小，能很好地帮助学生掌握如何利用二维形式的柯西不等式解决问题。1102yxx（2）求函数=5的最大值.21312 3_xx 例：（）填空：23x232221x22221 50110212552152746 321=551276 327yyxxxxxxxxx函数定义域为，且=55当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值解：解：理清结构、理清结构、注意配凑注意配凑注意等号成注意等号成
8、立的条件立的条件3设计意图：设计意图：通过例2使学生感知二维形式柯西不等式的不同应用，题（2）难度较大，故设计题（1），讲解题（2）时要注意函数定义域。22231,xyxy解决问题1：已知求 最小值？22222()(23)(23)xyxy解:22113xy2332,1313xyxy当且仅当，即时，等号成立。22113xy所以，最小值为 4、练习巩固、练习巩固理清结构、注意配凑理清结构、注意配凑注意等号成立的条件注意等号成立的条件3设计意图：设计意图：通过前后呼应，使学生经历了问题的产生到解决的过程，获得成就感，增强学生学习的信心，提高学生学习的兴趣。（1）学习了定理1和定理2，认识了二维形式的
9、柯西不等式的两种形式，从数和形两方面体会两者的等价关系通过本节课内容，我们学了哪些知识呢？（2）掌握二维形式的柯西不等式的证明思路（3）利用二维形式的柯西不等式解决简单问题。理清结构、注意配凑、注意等号成立的条件理清结构、注意配凑、注意等号成立的条件3 1、教科书第37页 习题3.1 第1题，第6题32222221122112212122,()()x y x yRxyxyxxyy设那么这个不等式成立吗？如果成立，你能、证明吗？设计意图：设计意图：作业2的设置，使学生再次经历问题的证明，帮助学生学会理清思路，同时，为下一节课二维形式的三角形式做铺垫。一、二维形式的柯西不等式定理 1定理 2例 1例 2证明 1：证明 2：3教学反思教学反思4
