1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 1.了解引入虚数单位了解引入虚数单位i的必要性，了解数系的的必要性，了解数系的扩充过程扩充过程2了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念集出现的一些基本概念3掌握复数代数形式的表示方法及复数相等掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充要条件的充要条件1616世纪意大利米兰学者卡当，第一世纪意大利米兰学者卡当，第一个把负数的平方根写到公式中，在个把负数的平方根写到公式中，在讨论是否可能把讨论是否可能把1010分成两部分，使分成两部分，使它们的乘积
2、等于它们的乘积等于4040时，他把答案写时，他把答案写成了成了 这样问题便得到了解决这样问题便得到了解决.40515515,“”-15-15能能作作为为 数数吗吗？它它表表示示什什么么意意义义呢呢？卡当卡当给出给出“虚数虚数”这一名称的是这一名称的是法国数学家笛卡尔法国数学家笛卡尔(1596(15961650)1650)，他在，他在几何学几何学(1637(1637年发表年发表)中使中使“虚的数虚的数”与与“实的数实的数”相对应，从此，相对应，从此，虚数才流传开来虚数才流传开来.笛卡尔笛卡尔(R.Descartes,15961650)21,?xx 由它所创造的复变函数理论，成为解决电磁理由它所创
3、造的复变函数理论，成为解决电磁理论，航空理论，原子能及核物理等尖端科学的数学工论，航空理论，原子能及核物理等尖端科学的数学工具具.从社会生活来看为了满足生活和生产实践从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展的需要，数的概念在不断地发展.从数学内部来看，数集是在按某种从数学内部来看，数集是在按某种“规规则则”不断扩充的不断扩充的.自然数自然数是是“数数”出来的，其历史最早可以追溯出来的，其历史最早可以追溯到五万年前到五万年前.探究点探究点1 1 数系的扩充数系的扩充 负数负数是是“欠欠”出来的出来的.它是由于借贷关系中量的它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的不同意义而产
4、生的.我国我国三国时期数学家刘徽（公三国时期数学家刘徽（公元元250250年前后）首先给出年前后）首先给出了负数的定义、记法和加了负数的定义、记法和加减运算法则减运算法则.刘徽（公元刘徽（公元250年前后）年前后）数集扩充到整数集数集扩充到整数集负负整整正正整整数数自自然然数数整整数数零零数数 分数（有理数）分数（有理数）是是“分分”出来的出来的.早在古希腊时期，早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数认为有理数就是所有的数.数集扩充到有理数集数集扩充到有理数集正正整整数数自自然然数数整整数数零零有有理理数数
5、负负整整数数分分数数 小小数数11边长为边长为1 1的正方形的对角线长度为多少？的正方形的对角线长度为多少？毕达哥拉斯毕达哥拉斯(约公元前约公元前560480年）年）无理数无理数是是“推推”出来出来的的.公元前六世纪，古希公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了达哥拉斯定理，发现了“无理数无理数”.“.“无理数无理数”的承认（公元前的承认（公元前4 4世纪）世纪）是数学发展史上的一个里是数学发展史上的一个里程碑程碑.数集扩充到实数集数集扩充到实数集正正整整数数自自然然数数整整数数零零有有理理数数负负整整数数实实数数分分无无理理数数数数 小小数数正数与负
6、数，正数与负数，有理数与无理数，有理数与无理数，都是具有都是具有“实际意义的量实际意义的量”，称之为称之为“实数实数”，构成实数系统，构成实数系统.实数系统是一个没有缝隙的连续系统实数系统是一个没有缝隙的连续系统.实数集能否继实数集能否继续扩充呢续扩充呢?回回顾顾从从自自然然数数系系逐逐步步扩扩充充到到实实数数系系的的过过程程,可可以以看看到到,数数系系的的每每一一次次扩扩充充都都与与实实际际需需求求密密切切相相关关.2 2 例例如如,为为了了解解决决这这样样的的方方程程在在有有理理数数集集中中无无解解,以以及及正正方方形形对对角角线线的的度度量量等等问问题题,人人们们把把有有理理数数系系扩扩
7、充充到到了了x-2=0 x-2=0实实数数系系.数数系系扩扩充充后后,在在实实数数系系中中规规定定的的加加法法运运算算、乘乘法法运运算算,与与原原来来 在在有有理理数数系系中中规规定定的的加加法法运运算算、乘乘法法运运算算协协调调一一致致:加加法法和和乘乘法法都都满满足足交交换换律律和和结结合合律律,乘乘法法对对加加法法满满足足分分配配律律.21x 1i i 引入一个新数：引入一个新数：i满足满足探究点探究点2 2 复数的概念复数的概念2 2 把把这这个个新新数数 添添加加到到实实数数集集中中去去,得得到到一一个个新新数数集集,记记作作A,A,那那么么方方程程x+1=0 x+1=0在在A A中
8、中就就有有i i解解x=ix=i了了.从从数数集集A A出出发发,希希望望新新引引进进的的数数i i和和实实数数之之间间仍仍然然能能实实数数系系那那样样进进行行加加法法和和交交换换律律、结结乘乘法法运运算算合合律律,并并希希望望加加法法和和乘乘法法都都满满足足,乘乘法法对对加加法法满满足足以以及及.分分配配律律像把把实实数数a a与与新新引引入入的的数数i i相相加加,结结果果记记作作;把把实实数数b b与与i i相相乘乘,结结果果记记作作;把把实实数数a a与与实实数数b b和和i i相相乘乘的的结结果果相相加加,结结果果记记作作a a+i ib bi ia a+b bi i.a a+b b
9、 加加法法和和乘乘法法的的运运算算律律仍仍然然成成立立,这这些些运运算算的的结结果果都都可可以以写写成成(a a,b bR R)的的形形式式,把把这这些些数数都都添添加加到到i i数数集集A A中中去去.这这样样的的数数都都可可以以看看作作是是(a,b(a,bR)R)的的特特殊殊形形式式,所所以以实实数数系系经经过过扩扩充充后后得得到到的的新新数数集集a+bia+biC=a+bi|aC=a+bi|a应应该该是是,b,bR R.a+1ia+1i0+bi0+bia+ia+i可可以以看看作作是是,bibi可可以以看看作作是是,a a可可以以看看作作是是,i i可可以以看看作作a+0ia+0i0 0是
10、是+1i+1i.我我们们把把集集合合C=a+bi|a,bC=a+bi|a,bR R 中中的的数数,即即形形如如a+bi a,ba+bi a,bR R 的的数数叫叫做做(complex number),(complex number),其其中中i i叫叫做做(imaginary unit).(imaginary unit).全全体体复复数数所所成成的的集集合合C C叫叫做做(set of complex(set of complexn n复复数数虚虚数数单单位位umbumb复复数数集集ers).ers).虚虚数数单单位位i i是是瑞瑞士士数数学学家家欧欧拉拉 EulerEuler 最最早早引引用
11、用的的,它它取取自自imaginary(imaginary(想想象象的的,假假想想的的)一一词词的的词词头头.复数的概念复数的概念复复数数通通常常用用字字母母z z表表示示，即即z=a+bi a,bz=a+bi a,bR,R,这这一一表表示示形形式式叫叫做做复复数数的的代代数数形形式式.其其中中abab分分别别叫叫做做复复数数z z的的.实实部部与与虚虚部部与在在复复数数集集C=a+bi|a,bC=a+bi|a,bR R 中中任任取取两两个个数数a,b,c,da,b,c,dR,R,我我们们规规定定:a+bia+bi与与c+dic+di相相等等的的充充 a a要要条条件件是是+bi,c+di+b
12、i,c+dia=ca=c且且b=db=d.思思考考复复数数集集C C和和实实数数集集R R之之间间有有什什么么关关系系?i,0;bba对于复数当且仅当时 它是实数0,0;ab当且仅当时 它是实数0,.0ab当且时 叫做纯虚数,;0b 当时 叫做虚数1111例例如如,3+2i,-3i,-3-i,-0.2i,3+2i,-3i,-3-i,-0.2i都都是是 ,2222133 02,它它们们的的实实部部分分别别是是虚虚部部分分别别是是1230 22,.,并并且且其其中中只只有有-0.2i-0.2i是是 .虚数虚数纯虚数纯虚数复数集复数集实数集实数集虚数集虚数集纯虚数集纯虚数集,RC,RC.显然 实数集
13、 是复数集 的真子集 即 zabi:这样，复数可以分类如下0,00.实数复数虚数当时为纯虚数bzba,.复数集 实数集 虚数集 纯虚数集之间的关系可用图示表示1；实实数数m m取取什什么么值值时时,复复数数z=m+1+m-1 iz=m+1+m-1 i是是（1 1）实实数数（2 2）虚虚数数（3 3）例例纯纯虚虚数数.因因为为m mR,R,所所以以m+1,m-1m+1,m-1都都是是实实数数.由由复复数数z=a+biz=a+bi是是实实数数、虚虚数数和和纯纯 虚虚数数的的条条件件可可以以确确定定m m分分析析的的取取值值.（1 1）当当m-1=0,m-1=0,即即m=1m=1时时,复复数数解解z
14、 z是是实实数数;（2 2）当当m-1m-10,0,即即m m1 1时时,复复数数z z是是虚虚数数;（3 3）当当m+1=0,m+1=0,且且m-1m-10,0,即即m=-1m=-1时时,复复数数z z是是纯纯虚虚数数.最最后后还还要要指指出出的的是是,一一般般地地说说,两两个个复复数数只只能能说说相相等等或或不不相相等等,而而不不能能比比较较大大小小.例例如如1+i1+i与与2+3i2+3i不不能能比比总总结结提提升升较较大大小小.例2 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求实数x,y的值.1.1.虚数单位虚数单位i i的引入，数系的扩充；的引入，数系的扩充；2.2.复数有关概念：复数有关概念：(,)zabi aR bR复数的代数形式复数的代数形式:复数的实部、虚部复数的实部、虚部复数相等复数相等复数的分类复数的分类abicdiacbd
