1、一、等腰三角形的性质与线段垂直平分线的综合应用1如图，AD是ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF.求证：BAFACF.解：EF是AD的垂直平分线，AFDF，FADADF，AD是BAC的平分线，DABCAD，BAFBADFAD，ACFADFCAD，BAFACF2如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，D是AB的中点，AFCD于点H，交BC于点F，BEAC交AF的延长线于点E.求证：(1)ADC BEA；(2)BC垂直平分DE.解：(1)BAC90，AFCD，1290，2390，13，又ACBE，ABEBAC180，ABE90，ABEBAC90，又ABAC，
2、ADC BEA(ASA)(2)D是AB中点，BDAD，ADC BEA，ADBE，BEBD，ABAC，4ACB，ACBE，5ACB，45，BC垂直平分DE二、等腰三角形的判定4如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三 个条件：EBODCO；BECD；OBOC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程解：(1)；(2)选证明如下：在BOE和COD中，EBODCO，EOBDOC，BECD，BOE COD(AAS)，BOCO，OBCOCB，EBOOBCDCOOCB，即AB
3、CACB，ABAC，即ABC是等腰三角形；选证明如下：在BOC中，OBOC，OBCOCB，EBODCO，EBOOBCOCBDCO，即ABCACB，ABAC，即ABC是等腰三角形5如图，在等腰ABC中，ABAC，BAC36，以点C为旋转中心，顺时针旋转ABC到EDC的位置，使点A落在BC边的延长线上的E处，连接AD和BD.(1)求证：ADC BCD；(2)请判断ABE的形状，并证明你的结论解：(1)等腰ABC中，ABAC，BAC36，ABCACB72，由旋转可得EDC ABC，DCEACB72，BCDC，DEABAC，又B，C，E三点共线，BCD108，ACD36，BCDC，CBDCDBACD3
4、6，又E36，DBEE，BDED，BDCA，在ADC和BCD中，ACBD，ACDBDC36，CDDC，ADC BCD(SAS)(2)ABE为等腰三角形；证明：ADC BCD，ADCBCD108，ADCCDE10872180，即A，D，E三点共线，又BAEBACCAD72，ABE72，BAEABE，AEBE，即ABE为等腰三角形6在ABC中，C90，ACBC2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图，是旋转得到的三种图形(1)观察图，中线段PD和PE之间有怎样的大小关系，并以图为例，加以说明；(2)PBE是否能构成等
5、腰三角形？若能，求出PEB的度数；若不能，请说明理由三、等边三角形性质和判定的综合7如图，等边ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DEBC于点E，过点E作EFAC于点F.(1)若AD2，求AF的长；(2)求当AD取何值时，DEEF.8如图，在平面直角坐标系中，AOP为等边三角形，点A(0，1)，B为y轴上一动点，以BP为边作等边PBC.(1)当点B运动到(0，4)时，AC_；(2)CAP的度数为_；(3)当点B运动时，AE的长度是否发生变化？若不变，求出AE的值；若变化，说明变化的规律OB60解：(1)OB点拨：证明PBO PCA(SAS)(2)60点拨：由(1)知CAPBOP，CAP60(3)EAO60，AEO30，AE2AO2，故AE的值不变，为2
