1、微分方程模型介绍u微分方程作为数学科学的中心学科，微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。涵。微分方程模型介绍u微分方程建模对于许多实际问题的解决是微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化
2、速度、加变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示规律一般可以用微分方程或方程组表示u微分方程建模适用的领域比较广，利用它微分方程建模适用的领域比较广，利用它可建立可建立纯数学纯数学（特别是几何）模型，（特别是几何）模型，物理物理学学（如动力学、电学、核物理学等）模型（如动力学、电学、核物理学等）模型，航空航天航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型（火箭、宇宙飞船技术）模型，考古考古（鉴定文物年代）模型，（鉴定文物年代）模型，微分方程模型介绍 交通交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）模（如电路信
3、号，特别是红绿灯亮的时间）模型，型，生态生态（人口、种群数量）模型，环境（污染（人口、种群数量）模型，环境（污染）模型，）模型，资源利用资源利用（人力资源、水资源、矿藏（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，资源、运输调度、工业生产管理）模型，生物生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模型，型，医学医学（流行病、传染病问题）模型，（流行病、传染病问题）模型，经济经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，战争（正规战、游击战）模型等。其机）模型，战争（正规战、游击战）模型
4、等。其中的中的连续模型连续模型适用于常微分方程和偏微分方程适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，及其方程组建模，离散模型离散模型适用于差分方程及适用于差分方程及其方程组建模。其方程组建模。微分方程模型 微分方程建模的对象微分方程建模的对象 涉及涉及“改变改变”、“变化变化”、“增加增加”、“减少减少”、“衰变衰变”、“边际边际”、“速度速度”、“运动运动”、“追赶追赶”、“逃逃跑跑”、等等词语的确定性连续问题。等等词语的确定性连续问题。微分方程建模的基本手段微分方程建模的基本手段 主要包括下面几种方法，但是大家必须掌握主要包括下面几种方法，但是大家必须掌握元素法元素法 背景背景 年年 1
5、625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长 如何预报人口的增长如何预报人口的增长指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1(0 x(t)时刻时刻t的的人口人口基
6、本假设基本假设:人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0,年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1(0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长参数估计参数估计MatLAB命令线性拟合命令线性拟合polyfit()或者或者非线性拟合直接非线性拟合直接lsqcurvefit()拟合出即可拟合出即可最小二乘拟合出最小二乘拟合出 r指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前
7、欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数
8、量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设)0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxrrxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt()()110tx0 x(t)S形曲线形曲线,x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估
9、计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位百万）百万）1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2557,xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较/)1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实
10、际为实际为281.4(百万百万)5.274)2000(x模型应用模型应用预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic模型模型)r=0.2490,xm=434.0 x(2010)=306.0 -Logisitic模型模型001NtNNNrNdttdNm)()()(调整 ，可使阻滞因子变大或缩小。更复杂的人口模型更复杂的人口模型 Gompertz模型模型mNNNdtdNln-人口模型的推广人口模型的推广放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代的判断）经济领域（通货膨胀，利率，新产品的
11、销售，广告宣传等）动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题）浓度的扩散（人体内药物的吸收，传染病的传播与流行等）Malthus 模型和 Logistic模型都是确定性模型，只考虑人口总数的连续时间模型。在研究过程中还发展了随机性模型，考虑人口年龄分布的模型等。Usher模型模型001NtNNNNdttdNm)()()(Logistic 模型在经济领域中的应用模型在经济领域中的应用 动植物的生长规律动植物的生长规律 新产品的销售新产品的销售 广告的宣传作用广告的宣传作用动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特
12、征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程传染病模型传染病模型问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规
13、律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型 已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数人数为为 模型模型1 1假设假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人
14、和健康 人的人的 比例分别为比例分别为(),()i ts t 2）每个病人每天）每个病人每天有效接触有效接触人数人数为为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模()()()(Nsi tti ttt Ni t0)0()1(iiiidtdi 日日接触率接触率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率)tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最大最大模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健
15、康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11(iidtdi模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值/1)(ti形曲线增长按Sti)(感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数小01i1-1/i0i
16、iidtdi)1(模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值ssss00lnln模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/的估计的估计0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高阈值提高阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免
17、疫模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi0 0,s0 1 小小,s0 1提高阈值提高阈值1/降低降低被传染人数比例被传染人数比例 xs0-1/=模型模型5传染病有潜伏期传染病有潜伏期SEIR模型模型假设假设1）总人数）总人数N不变，病人、健康人、潜伏不变，病人、健康人、潜伏者和移出者的比例分别为者和移出者的比例分别为)(),(),(),(trtetsti2）病人的日接触率）病人的日接触率 ,日日治愈率治愈率,接触数接触数 =/建模建模1)()()()(trtetits建立建立 方程方程)(),(),(),(trtetsti3）单位时间内潜伏者以比例常数）单位时间内潜伏者以比例常数 转为染转为染 病者病者 模型模型5SEIR模型模型 000)0(,)0(,)0(eessiiidtdriedtdiesidtdesidtds
