1、 1 平行四边形存在性问题 考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分 这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为： ABDC ABDC xxxx yyyy = = ， 可以理解为点 B 移动到点 A，点 C 移动到点 D，移动路径完全相同 yD-yC xD-xC yA-yB xA-xB A B C D （2）对角线互相平分转化为： 22 22 ACBD ACBD xxxx yyyy + = + = ， 可以理解为 AC 的中点也是 BD 的中点 D C B A 【小结】虽然由两个性质推得的式
2、子并不一样，但其实可以化为统一： ABDCACDB ABDCACDB xxxxxxxx yyyyyyyy =+=+ =+=+ ， 22 22 ACBD ACBD xxxx yyyy + = + = ACBD ACBD xxxx yyyy +=+ +=+ 当 AC 和 BD 为对角线时，结果可简记为：ACBD+=+（各个点对应的横纵坐标相加） 以上是对于平行四边形性质的分析， 而我们要求证的是平行四边形存在性问题， 此处当有一 问：若坐标系中的 4 个点 A、B、C、D 满足“A+C=B+D”，则四边形 ABCD 是否一定为平行 四边形？ 2 反例如下： A B C D M 之所以存在反例是因为
3、“四边形 ABCD 是平行四边形”与“AC、 BD 中点是同一个点”并不是完 全等价的转化，故存在反例 虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形 ABCD 是平行四边形：AC、BD 一定是对角线 （2）以 A、B、C、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论 【题型分类】 平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题 1三定一动 已知 A（1，2）B（5，3）C（3，5） ，在坐标系内确定点 D 使得以 A、B、C、D 四个点为顶 点的四边形是平行四边形 D3 D2 D1 O y x C B A A B C x
4、 y O 思路 1：利用对角线互相平分，分类讨论： 设 D 点坐标为（m，n） ，又 A（1，2）B（5，3）C（3，5） ，可得： （1）BC 为对角线时， 531 352 m n += + +=+ ，可得() 1 7,6D； （2）AC 为对角线时， 135 253 m n +=+ +=+ ，解得() 2 1,4D； （3）AB 为对角线时， 153 235 m n +=+ +=+ ，解得() 3 3,0D 3 D3 D2 D1 O y x C B A A B C x y O 当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可 比如： 1= DBCA+， 2= DACB+
5、， 3 DABC=+ （此处特指点的横纵坐标相加减） 2两定两动 已知 A（1，1） 、B（3，2） ，点 C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，且以 A、B、C、D 为顶点的四 边形是平行四边形，求 C、D 坐标 B A O y x 【分析】 设 C 点坐标为（m，0） ，D 点坐标为（0，n） ，又 A（1，1） 、B（3，2） （1）当 AB 为对角线时， 130 120 m n +=+ +=+ ，解得 4 3 m n = = ，故 C（4，0） 、D（0，3） ； （2）当 AC 为对角线时， 130 102 m n +=+ +=+ ，解得 2 1 m n = = ，故 C（2，0）
6、 、D（0，-1） ； （3）当 AD 为对角线时， 103 120 m n +=+ +=+ ，解得 2 1 m n = = ，故 C（-2，0） 、D（0，1） D C D CC D B A O y x B A O y xx y O A B 4 【动点综述】 “三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中， 横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在 坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点” 从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出 4 个点坐标若 把一个字母称
7、为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量 2 找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有 2 个未知量究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； （2）对角线互相平分 但此两个性质统一成一个等式： ACBD ACBD xxxx yyyy +=+ +=+ ， 两个等式， 只能允许最多存在两个未知数， 即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只 能存在 2 个未知量 由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题 【2019 宜宾中考】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 2 2yaxxc=+与直线y
8、kxb=+都经过 (0, 3)A、(3,0)B两点，该抛物线的顶点为 C （1）求此抛物线和直线 AB 的解析式； （2）设直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB 上是否存在一点 M，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，使点 M、N、C、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求 点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点 P 是直线 AB 下方抛物线上的一动点，当PAB 面积最大时，求点 P 的坐标，并 求PAB 面积的最大值 A B C E O x y 5 【分析】 （1）抛物线： 2 23yxx=，直线 AB：3yx=； （2）考虑 ECMN，故若使点 M、N、
9、C、E 是平行四边形，则 EC=MN 即可， E（1，-2） 、C（1，-4） ， EC=2， 设 M 点坐标为（m，m-3） （m1） ，则 N 点坐标为() 2 ,23m mm， 则 MN= ()() 22 2333MNmmmmm= 由题意得： 2 32mm=， 2 32mm=，解得： 1 317 2 m + =， 2 317 2 m =（舍） ， 对应 P 点坐标为 317317 , 22 + + ； 2 32mm= ，解得： 3 2m =， 4 1m =（舍） 对应 P 点坐标为（2，-1） M N y x O E C B A M N y x O E C B A 综上，P 点坐标为 3
10、17317 , 22 + + 或（2，-1） （3）铅垂法可解 6 【2018 河南中考（删减） 】 如图，抛物线 2 6yaxxc=+交x轴于 A、B 两点，交y轴于点C直线5yx=经过 B、C （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M当AMBC时，过抛物线上一动点P（不与点B， C重合） ，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的 四边形是平行四边形，求点P的横坐标 备用图 y x O C B AA B C O x y 7 【分析】 （1） 2 65yxx=+； （2）考虑到 AMPQ，故只需 AM=PQ 即可 过点 A 作 BC 的平行线，与抛
11、物线交点即为 P 点， 易得直线 AP 的解析式：1yx=， 联立方程： 2 651xxx+=，解得： 1 1x =（舍） ， 2 4x =， 故对应 P 点坐标为（4，3） ； Q P M y x O C B A 作点 A 关于 B 点的对称点 A ，过点 A 作 BC 的平行线， 与抛物线的交点亦为题目所求 P 点， 易求直线解析式：9yx=， 联立方程： 2 659xxx+=，解得： 1 541 2 x + =， 2 541 2 x = 故对应 P 点坐标为 5411341 , 22 + 、 5411341 , 22 A P Q Q P x y O A M B 综上所述，P 点坐标为（4
12、，3） 、 5411341 , 22 + 、 5411341 , 22 8 【2018 郴州中考（删减） 】 如图，已知抛物线 2 yxbxc=+与x轴交于( 1,0)A ，(3,0)B两点，与y轴交于C点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D在直线l上是否存在点M，使得四边形 CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 l AB C DO P x y M 【分析】 （1）抛物线： 2 23yxx=+； （2）由题意可知 CP、DM 为对角线， 考虑 DM 在直线 x=-1
13、上，故 CP 中点在直线 x=-1 上， 点 C 坐标为（0，3） ，故点 P 横坐标为 2，代入解析式得 P（2，3） ， 易知 M 点坐标为（1，6） M y x P OD C BA l 9 【三定一动】 （2018恩施州中考删减）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点 坐标为( 1,0)，2OC =，3OB =，点D为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式； （2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标 AB C D O x y AB C D O x y 【分析】 （1）抛物线： 2 24 2 33 yxx= +； （2）设 P 点坐标为
14、（m，n） ，又 B（3，0） 、C（0，2） 、D 8 1 3 ， 若 BC 为对角线，由题意得： 301 8 02 3 m n +=+ +=+ ，解得： 2 2 3 m n = = ， 故 1 P的坐标为 2 2, 3 ； 若 BD 为对角线，由题意得： 310 8 02 3 m n + =+ +=+ ，解得： 4 2 3 m n = = ， 故 2 P坐标为 2 4, 3 ； 若 BP 为对角线，由题意得： 301 8 02 3 m n +=+ +=+ ，解得： 2 14 3 m n = = ， 故 3 P坐标为 14 2, 3 P3 P2 P1 y x O D C BA 综上所述，P
15、点坐标为 2 2, 3 、 2 4, 3 、 14 2, 3 10 【两定两动：x 轴+抛物线】 （2018济宁中考删减）如图，已知抛物线 2 (0)yaxbxc a=+经过点(3,0)A，( 1,0)B ， (0, 3)C （1）求该抛物线的解析式； （2）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 C AB O y x C AB O y x 【分析】 （1）抛物线： 2 23yxx=； （2）列方程组求：设 P() 2 ,23m mm、Q(),0n，又 B（-1，0） 、C（0，-3） ， 若 BC 为
16、对角线，由题意得： 2 10 03230 mn mm +=+ =+ ，解得： 2 3 m n = = 或 0 1 m n = = （舍） ， 故对应的 P（2，-3） ； 若 BP 为对角线，由题意得： 2 10 23003 mn mm =+ += ，解得： 2 1 m n = = 或 0 1 m n = = （舍） ， 故对应的 P（2，-3） ； 若 BQ 为对角线， 由题意得： 2 10 00233 nm mm =+ += ， 解得： 17 27 m n = + =+ 或 17 27 m n = = ， 故对应的 P( ) 17,3+、( ) 17,3 P Q P Q C AB O y
17、x Q PP Q P Q x y OBA CC ABO y x 综上所述，P 点坐标为（2，-3） 、( ) 17,3+、( ) 17,3 11 【两定两动：对称轴+抛物线】 （2019包头中考删减）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 2(0)yaxbxa=+与x 轴交于( 1,0)A ，(3,0)B两点，与y轴交于点C，连接BC （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不 存在，请说明理由 y x O C BA y x O C B
18、A 【分析】 （1）抛物线： 2 24 2 33 yxx= +，对称轴：直线 x=1； （2）设 M 点坐标为 2 24 ,2 33 mmm + ，N 点坐标为()1,n， 又 B（3，0） 、C（0，2） 若 BC 为对角线，由题意得： 2 301 24 022 33 m mmn +=+ += + ，解得： 2 0 m n = = ， 故 M 点坐标为（2，2） ； 若 BN 为对角线，由题意得： 2 310 24 022 33 m nmm + =+ += + ，解得： 4 4 3 m n = = ， 故 M 点坐标为 10 4, 3 ； 若 BM 为对角线，由题意得： 2 310 24 2
19、02 33 m mmn += + +=+ ，解得： 2 16 3 m n = = ， 故 M 点坐标为 10 2, 3 综上所述，M 点坐标为（2，2） 、 10 4, 3 、 10 2, 3 12 【两定两动：斜线+抛物线】 （2019咸宁中考删减）如图，在平面直角坐标系中，直线 1 2 2 yx= +与x轴交于点A， 与y轴交于点B，抛物线 2 1 2 yxbxc= +经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C （1）求该抛物线的解析式； （2）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是 平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标 y x OC B A y
20、x OC B A 13 【分析】 （1）抛物线： 2 13 2 22 yxx= +； （2）设 E 点坐标为 1 ,2 2 mm + ，F 点坐标为 2 13 ,2 22 nnn + ， 又 B（0，2） 、O（0，0） ， 若 OB 为对角线，由题意得： 2 00 113 0222 222 mn mnn +=+ += + ， 解得： 1 1 22 2 22 2 m n = =+ 或 2 2 22 2 22 2 m n = + = ， 故 E 点坐标为( ) 22 2,32 +或( ) 22 2,32 +； 若 OE 为对角线，由题意得： 2 00 113 0222 222 mn mnn +=
21、+ +=+ ， 解得： 3 3 22 2 22 2 m n =+ =+ 或 4 4 22 2 22 2 m n = = ， 故 E 点坐标为( ) 22 2,12+或( ) 22 2,12+； 若 OF 为对角线，由题意得： 2 00 131 0222 222 nm nnm +=+ +=+ ，解得： 5 5 2 2 m n = = ， 故 E 点坐标为（2，1） F2 E2 E5 F5 A B CO x y F4 E4 A B COx y F3 E3 A B CO x y F1 E1 A B CO x y A B CO x y 14 【两定两动：抛物线+抛物线】 （2019连云港中考删减）如图
22、，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 1: Lyxbxc=+过点 (0, 3)C，与抛物线 2 2 13 :2 22 Lyxx= +的一个交点为A，且点A的横坐标为 2，点P、Q 分别是抛物线 1 L、 2 L上的动点 （1）求抛物线 1 L对应的函数表达式； （2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标 备用图 y xO C AA C Ox y 15 【分析】 （1） 1 L解析式： 2 23yxx=； （2）虽然两个动点均在抛物线上，仍可用设点坐标的方法求解 设 P 点坐标为() 2 ,23m mm，Q 点坐标为 2 13 ,2 22 nnn + ， 又 C（0
23、，-3） 、A（2，-3） ， 若 CA 为对角线，由题意得; 22 02 13 33232 22 mn mmnn +=+ =+ ， 解得： 3 5 m n = = 或 0 2 m n = = （舍） ，故 P 点坐标为（-3，12） ； 若 CP 为对角线，由题意得： 22 02 13 32332 22 mn mmnn +=+ + = + ， 解得： 3 1 m n = = 或 4 3 10 3 m n = = ，故 P 点坐标为（3，0）或 4 13 , 3 9 ； 若 CQ 为对角线，由题意得： 22 02 13 32323 22 nm nnmm +=+ += + ， 解得： 1 1 m
24、 n = = 或 0 2 m n = = （舍） ，故 P 点坐标为（-1，0） 综上所述，P 点坐标为（-3，12） 、 （3，0） 、 4 13 , 3 9 、 （-1，0） 16 【四动点构造】 （2019锦州中考删减）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 3 3 4 yx= +的图像与x轴 交于点A，与y轴交于B点，抛物线 2 yxbxc=+经过A，B两点，在第一象限的抛物线 上取一点D，过点D作DCx轴于点C，交直线AB于点E （1）求抛物线的函数表达式 （2）F是第一象限内抛物线上的动点 （不与点D重合） ， 点G是线段AB上的动点 连接DF， FG，当四边形DEGF是平行四边形且周
25、长最大时，请直接写出点G的坐标 G A B C D E F O x y 【分析】 （1）抛物线： 2 13 3 4 yxx= +； （2）本题 4 个点皆为动点，使四边形 DEGF 为平行四边形易，而使周长最大难 设 E 点坐标为 3 ,3 4 mm + ，则 D 点坐标为 2 13 ,3 4 mmm + ， 设 F 点坐标为 2 13 ,3 4 nnn + ，则 G 点坐标为 3 ,3 4 nn + ， 22 133 334 44 DEmmmmm = + += + ， 22 133 334 44 FGnnnnn = + += + ， 由 DE=FG，可得： 22 44mmnn+= +， mn，4mn+=， 过点 G 作 GHCD 交 CD 于 H 点，则()() 555 425 442 EGnmmm=， 又 2 4DEmm= +， 22 5 2452310 2 DEGF Cmmmmm =+= + ， 当 3 4 m =时，四边形 DEGF 是平行四边形且周长最大，此时 G 点坐标为 13 9 , 4 16
