1、高考大题增分专项四高考中的立体几何,-2-,从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的13%,通常以一大一小的模式命题,以中、低档难度为主.三视图、简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式加以考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.,-3-,题型一,题型二,题型三,线线、线面平行或垂直的转化1.在解决线线平行、线面平行问题时,若题目中已出现了中点,可考虑在图形中再取中点,构成中位线进行证明.2.要证明线
2、面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面,找出交线,证明二线平行.3.要证明线线平行,可考虑公理4或转化为线面平行.4.要证明线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.,-4-,题型一,题型二,题型三,例1在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:ACFB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.,-5-,题型一,题型二,题型三,证明(1)因为EFDB,所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC.同理可得BDA
3、C.又BDDE=D,所以AC平面BDEF.因为FB?平面BDEF,所以ACFB.,-6-,题型一,题型二,题型三,(2)设FC的中点为I,连接GI,HI.在CEF中,因为G是CE的中点,所以GIEF.又EFDB,所以GIDB.在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因为GH?平面GHI,所以GH平面ABC.,-7-,题型一,题型二,题型三,对点训练1(2017全国,文18)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90.(1)证明:直线BC平面PAD;(2)若PCD的面积为2 ,求
4、四棱锥P-ABCD的体积.,-8-,题型一,题型二,题型三,解: (1)在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC?平面PAD,AD?平面PAD,故BC平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC= AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形,则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因为CM?底面ABCD,所以PMCM.,-9-,题型一,题型二,题型三,-10-,题型一,题型二,题型三,1.判定面面平行的四个方法(1)利用定义:即判断两个平面没有公共点.(2)利用
5、面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行.(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.,-11-,题型一,题型二,题型三,2.面面垂直的证明方法(1)用面面垂直的判定定理,即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角.3.从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.,-12-,题型一,题型二,题型三,例2如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AE
6、D平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,AE= ,DE=3,BAD=60,G为BC的中点.(1)求证:FG平面BED;(2)求证:平面BED平面AED;(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.,-13-,题型一,题型二,题型三,(1)证明取BD中点O,连接OE,OG.在BCD中,因为G是BC中点,又因为EFAB,ABDC,所以EFOG且EF=OG,即四边形OGFE是平行四边形,所以FGOE.又FG?平面BED,OE?平面BED,所以,FG平面BED.,-14-,题型一,题型二,题型三,-15-,题型一,题型二,题型三,(3)解因为EFAB,所以直线EF与平面BED所成的角即为直
7、线AB与平面BED所成的角.过点A作AHDE于点H,连接BH.又平面BED平面AED=ED,由(2)知AH平面BED.所以,直线AB与平面BED所成的角即为ABH.,-16-,题型一,题型二,题型三,对点训练2(2017北京,文18)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.,-17-,题型一,题型二,题型三,(1)证明: 因为PAAB,PABC,所以PA平面ABC.又因为BD?平面ABC,所以PABD.(2)
8、证明: 因为AB=BC,D为AC中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)解: 因为PA平面BDE,平面PAC平面BDE=DE,-18-,题型一,题型二,题型三,1.对命题条件的探索三种途径:(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;(3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.2.对命题结论的探索方法:从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.,-19-,题型一,题型二,题型三,例3在如图所示的
9、几何体中,面CDEF为正方形,面ABCD为等腰梯形,ABCD,AC= ,AB=2BC=2,ACFB.(1)求证:AC平面FBC.(2)求四面体F-BCD的体积.(3)线段AC上是否存在点M,使EA平面FDM?证明你的结论.,(1)证明在ABC中,因为AC= ,AB=2,BC=1,所以ACBC.又因为ACFB,BCFB=B,所以AC平面FBC.,-20-,题型一,题型二,题型三,(2)解因为AC平面FBC,所以ACFC.因为CDFC,ACCD=C,所以FC平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CB=DC=1,所以FC=1.,-21-,题型一,题型二,题型三,(3)解线段AC上存在点M,且M为AC
10、中点时,有EA平面FDM.证明如下:连接CE,与DF交于点N,取AC的中点M,连接MN.如图所示,因为四边形CDEF为正方形,所以N为CE中点.所以EAMN.因为MN?平面FDM,EA?平面FDM,所以EA平面FDM.所以线段AC上存在点M,使得EA平面FDM成立.,-22-,题型一,题型二,题型三,对点训练3如图,直角梯形ABCD中,ABCD,ADAB,CD=2AB=4,AD= ,E为CD的中点,将BCE沿BE折起,使得CODE,其中点O在线段DE内.(1)求证:CO平面ABED.(2)问:CEO(记为)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?,-23-,题型一,题型二,题型三,(
11、1)证明 在直角梯形ABCD中,CD=2AB,E为CD的中点,则AB=DE,又ABDE,ADAB,知BECD.在四棱锥C-ABED中,BEDE,BECE,CEDE=E,CE,DE?平面CDE,则BE平面CDE.因为CO?平面CDE,所以BECO.又CODE,且BE,DE是平面ABED内两条相交直线,故CO平面ABED.,-24-,题型一,题型二,题型三,-25-,题型一,题型二,题型三,1.三种平行关系的转化方向,如图所示:,-26-,题型一,题型二,题型三,2.注重空间直线与平面垂直的相互转化.,-27-,3.线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用,依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键.证明面面平行主要依据判定定理,证明面面垂直时,关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直,若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决.,
