1、 1 专题五 二次函数综合压轴题(不含解析类) 1.（2018 江苏南通，第 27 题, 12 分） 已知，正方形ABCD，A(0，4)，B(1，4)，C(1，5)，D(0，5)，抛物线yx2mx 2m4(m为常数)，顶点为M （1）抛物线经过定点坐标是 ，顶点M的坐标（用m的代数式表示）是 ； （2） 若抛物线yx2mx2m4(m为常数)与正方形ABCD的边有交点 ， 求m的取值范围； （3）若ABM45时，求m的值 【解析】 （1）(2，0)，(，)； （2）； （3）或 2.（2018 江苏泰州，第 26 题, 14 分） 平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数(x0)的图
2、象，点A与点 A关于点O对称，一次函数的图象经过点A （1）设a2，点B(4，2)在函数，的图像上分别求函数，的表达式；直 接写出使0 成立的x的范围； （2）如图，设函数，的图像相交于点B，点B的横坐标为 3a，AAB的面积为 16，求k的值； （3）设m，如图，过点A作ADx轴，与函数的图像相交于点D，以AD为一 边向右侧作正方形ADEF，试说明函数的图像与线段EF的交点P一定在函数的图像 上 2 m 2 1 24 4 mm 1 1 2 m 215m 295 1 k y x 2 ymxn 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 2 2 y 2 y 1 y 2 【
3、解析】 （1），0x4； （2）k的值为 6； （3）设A(，)，则A(，)，代入得， ， D(，) AD， ，代入得，即P(，) 将点P横坐标代入得纵坐标为，可见点P一定在函数的图像上 3. （2018 江苏无锡，第 28 题, ） 已知；如图，一次函数1ykx的图象经过点 A（3 5，m） （m0）,与 y 轴交于点 B，点 C，在线段 AB 上，且 BC=2AC，过点 C 作x轴的垂线，垂足为点 D，若 AC=CD， （1）求这个一次函数的表达式； （2）已知一开口向下，以直线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A，它的顶点为 P，若过点 P 且垂直于 AP 的直线与x轴 的交点为 Q（ 4
4、 5 5 ，0）求这条抛物线的函数表达式。 1 8 y x 2 2yx a k a a k a 2 y 2 ak n a 2 1 + 22 ak yx a a k a a 2k a a 22 P kk xaa aa 2 y 2 P a y 2k a2 a 1 k y x 2 a 1 y 3 【解答】作 BECD，AFBE，AMCD 易证BECBFA BCBE BABF BC=2AC，A（2 5，m） 2 33 5 BE BE=25 C（25，25k-1） 又1ykx 易得 AC= 2 51k AC=CD， 2 51k =25k-1 所以得到 k= 2 5 5 （3）设 2 (2 5)ya xh
5、 A（3 5，5） h（h-5）=（ 4 5 2 5 5 ）5 h =7 2 (2 5)7ya x y y x x C C D D B B O O A A 4 5a+7=5 a= 2 5 即 2 2 (2 5)7 5 yx 4. （2018 江苏徐州 ，第 27 题,） 已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B（2，5） 求该函数的关系式； 求该函数图象与坐标轴的交点坐标； 将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A、B， 求O AB的面积. 解析 解： （1） （2） （0,3） ， （3,0） ， （1,0） （3）略 5. （2018 江西 ，第 23 题）
6、小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验 求解体验 (1) 已知抛物线 经过点 (-1,0),则 = ， (2) 顶点坐标为 ， 该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 . 抽象感悟 抽象感悟 我们定义： 对于抛物线 ,以 轴上的点 为中心， 作该抛物线关 -1 2 23yxx x y 备用图 O 5 于点 对称的抛物线 ,则我们又称抛物线 为抛物线 的“衍生抛物线” ，点 为“衍生 中心”. (2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ，若这两条抛物线有交点， 求 的取值范围. 问题解决 问题解决 (3) 已知抛物线 若抛物线 的衍生抛物线为 ,两抛物线有两
7、个交点，且恰好是它们的顶点，求 ， 的值及衍生中心的坐标； 若抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ；关于点 的衍生抛 物线为 ，其顶点为 ；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；( 为 正整数).求 的长(用含 的式子表示). 【解析】 【解析】 求解体验求解体验 (1)把(-1,0)代入 得 顶点坐标是(-2,1) (-2,1)关于(0,1)的对称点是(2,1) 成中心对称的抛物线表达式是： 即 (如右图) 抽象感悟 抽象感悟 (2) 顶点是（-1,6） (-1,6)关于 的对称点是 两抛物线有交点 有解 有解 (如右图) 问题解决 问题解决 (3) = 顶点（-1， ） 代入 得：
8、 顶点（1， ） x y 1 O x y O x y 9 6 3 O 6 代入 得： 由 得 , 两顶点坐标分别是（-1,0） ， （1,12） 由中点坐标公式得 “衍生中心”的坐标是（0,6） 如图，设 , , 与 轴分别相于 , , . 则 与 , 与 , 与 ， 与 分别关于 , , 中心 对称. , 分别是 , 的中位 线， ， , x y Bn Bk Bn+1 B1 A An+1 An Ak A1 O 7 6. （2018 辽宁大连，第 24 题） 如图 1，直线 AB 与x轴、y轴分别相交于点 A、B，将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90，得 到 AC，连接 BC，将ABC 沿
9、射线 BA 平移，当点 C 到达x轴时运动停止设平移为m， 平移后的图形在x轴下方部分的面积为 S S 关于m的函数图象如图 2 所示 （其中 0ma， amb时，函数的解析式不同） （1）填空：ABC 的面积为_； （2）求直线 AB 的解析式； （3）求 S 关于m的解析式，并写出m的取值范国 7. 7. （2018 山东滨州，第 26 题，14 分） ） 如图，在平面直角坐标系中，圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（1，2）且与 x 轴相切于 点 B （1）当 x=2 时，求P 的半径； （2） 求 y 关于 x 的函数解析式， 请判断此函数图象的形状， 并在图中画出此函数的图象； （
10、3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合） ，给（2）中 所得函数图象进行定义： 此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所 有点的集合 （4）当P 的半径为 1 时，若P 与以上（2）中所得函数图象相交于点 C、D，其中交点 D（m，n）在点 C 的右侧，请利用图，求 cosAPD 的大小 【解答】解： （1）由 x=2，得到 P（2，y） ， 连接 AP，PB， 圆 P 与 x 轴相切， PBx 轴，即 PB=y， 由 AP=PB，得到=y， 解得：y=， 则圆 P 的半径为； 4 5 8 （2）同（1） ，由 AP=PB，得到（x1）2+（y2）2=y2，
11、 整理得：y=（x1）2+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图所示； （3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点 A 的距离等于到 x 轴 的距离的所有点的集合； 故答案为：点 A；x 轴； （4）连接 CD，连接 AP 并延长，交 x 轴于点 F， 设 PE=a，则有 EF=a+1，ED=， D 坐标为（1+，a+1） ， 代入抛物线解析式得：a+1=（1a2）+1， 解得：a=2+或 a=2（舍去） ，即 PE=2+， 在 RtPED 中，PE=2，PD=1， 则 cosAPD=2 8.（2018 山东济宁，第 21 题，9 分） 知识背景 9 当a0 且
12、x0 时， 因为 (x x a )20，所以x2a+ a x 0， 从而x+2 a a x （当x=a时取等号） 设函数y=x+ a x (a0，x0)由上述结论可知：当x=a时，该函数有最小值为 2a 应用举例 已知函数为y1=x(x0)与函数y2= 4 x (x0) ， 则当x=4=2时，y1+y2=x+ 4 x 有最小值为24=4 解决问题 （1）已知函数为 y1=x+3(x3)与函数 y2=(x+3)2+9(x3)，当x取何值时， 2 1 y y 有最小值？ 最小值是多少？ （2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共 490 元；二是 设备的租赁使用费用，
13、每天 200 元； 三是设备的折旧费用， 它与使用天数的平方成正比， 比例系数为 0.001，若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每 天的租货使用成本最低？最低是多少元？ 【解答】解：（1）=（x+3）+， 当 x+3=时，有最小值， x=0 或6（舍弃）时，有最小值=6 （2）设该设备平均每天的租货使用成本为w 元则 w= =+0.001x+200， 当=0.001x 时，w 有最小值， x=700 或700（舍弃）时，w 有最小值，最小值=201.4 元 9.（2018 山东聊城，第 25 题） 如图，已知抛物线 2 yaxbx与x轴分别交于原点O和点(10,0)F，
14、与对称轴l交于点 (5,5)E.矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且1AB ，边AD，BC与抛物线分别交 于点M，N.当矩形ABCD沿x轴正方向平移， 点M，N位于对称轴l的同侧时， 连接MN， 10 此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN， 此时五边形ABNEM的面积记为S.将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点， 设矩形ABCD平移的长度为(05)tt . （1）求出这条抛物线的表达式； （2）当0t 时，求 OBN S的值； （3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于(05)tt 的函数表达式，并求 出t为何值时，S有最大值，
15、最大值是多少？ 11 10.（2018 山东淄博，第 24 题，9 分） 如图，抛物线 y=ax2+bx 经过OAB 的三个顶点，其中点 A（1，） ，点 B（3，） ， O 为坐标原点 （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； 12 （2）若 P（4，m） ，Q（t，n）为该抛物线上的两点，且 nm，求 t 的取值范围； （3） 若 C 为线段 AB 上的一个动点， 当点 A， 点 B 到直线 OC 的距离之和最大时， 求BOC 的大小及点 C 的坐标 【解答】解： （1）把点 A（1，） ，点 B（3，）分别代入 y=ax2+bx 得 解得 y= （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线
16、x= 当 x时，y 随 x 的增大而减小 当 t4 时，nm （3）如图，设抛物线交 x 轴于点 F 分别过点 A、B 作 ADOC 于点 D，BEOC 于点 E 13 ACAD，BCBE AD+BEAC+BE=AB 当 OCAB 时，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大 A（1，） ，点 B（3，） AOF=60，BOF=30 AOB=90 ABO=30 当 OCAB 时，BOC=60 点 C 坐标为（，） 11.（2018 山西，第 23 题，9 分） 综合与探究 如图，抛物线 2 11 4 33 yxx与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧） ，与y轴交 于点C，连接AC，BC.
17、点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过 点P作PMx轴， 垂足为点M，PM交BC于点Q， 过点P作/ /PEAC交x轴于点E， 交BC于点F. （1）求A，B，C三点的坐标； （2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三 角形是等腰三角形.若存在，请直接 写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值. 14 12.（2018 云南，第 20 题，9 分） 已知二次函数 y 16 3 x2bxc的图象经过 A（0，3） 、B（4， 2 9 ）两点 （1）求b、c的值； （2）二
18、次函致 y 16 3 x2bxc的图象与 x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标； 若没有，请说明理由 15 12.（2018 浙江杭州，第 22 题，12 分） 设二次函数 y=ax2+bx（a+b） （a，b 是常数，a0） （1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由 （2）若该二次函数图象经过 A（1，4） ，B（0，1） ，C（1，1）三个点中的其中两个点， 求该二次函数的表达式 （3）若 a+b0，点 P（2，m） （m0）在该二次函数图象上，求证：a0 【解答】解： （1） 由题意=b24a（a+b）=b2+4ab+4a2=（2a+b）20 二次函数图象与 x 轴的
19、交点的个数有两个或一个 （2）当 x=1 时，y=a+b（a+b）=0 抛物线不经过点 C 把点 A（1，4） ，B（0，1）分别代入得 解得 抛物线解析式为 y=3x22x1 （3）当 x=2 时 m=4a+2b（a+b）=3a+b0 a+b0 ab0 16 相加得： 2a0 a0 13.（2018 浙江嘉兴，第 23 题，12 分） （1）点M坐棕是) 14 ,(bb, 把bx 代入14 xy,得14 by, 点M在直线14 xy上. （2）如图 1, 直线5 mxy与y轴交于点内B,点B坐杯为)5 , 0(. 又B)5 , 0(在抛物线上, 14)0(5 2 bb,解得2b, 二次函数的
20、表达式为9)2( 2 xy, 当0y时,得1, 5 21 xx.)0 , 5(A 双察图象可得,当14)(5 2 bbxmx时, x的取值范围为0x或5x （3）如图 2, 直线14 xy与直线AB交于点E,与y轴交于点F, 而直线AB表达式为5xy, 解方程组 5 14 xy x 得 5 21 5 4 y y 点) 1 , 0(), 5 21 , 5 4 (FE 点M在AOB内, 5 4 0b. 当点DC,关于抛物线对称轴（直线bx ）对称时, 2 1 , 4 3 4 1 bbb 且二次函数图象的开口向下,顶点M在直线14 xy上, 17 综上:当一 2 1 0b时. 21 yy 当 2 1
21、 b时， 21 yy ; 当 5 4 2 1 b时， 21 yy 14. （2018 浙江杭州，第 23 题，12 分） 巳知,点M为二次函数14)( 2 bbxy图象的顶点,直线5 mxy分别交x 轴,y轴于点BA, （1）判断顶点M是否在直线14 xy上,并说明理由. （2）如图 1.若二次函数图象也经过点BA,.且14)(5 2 bbxmx.根据图象, 写出x的取值范围. （3） 如图 2.点A坐标为)0 , 5(,点M在BA0内,若点), 4 1 ( 1 yC,), 4 3 ( 2 yD都在二次函数图象 上，试比较 1 y与 2 y的大小. 【解答】解： （1）点 M 为二次函数 y=
22、（xb）2+4b+1 图象的顶点， M 的坐标是（b，4b+1） ， 把 x=b 代入 y=4x+1，得 y=4b+1， 点 M 在直线 y=4x+1 上； 18 （2）如图 1， 直线 y=mx+5 交 y 轴于点 B， B 点坐标为（0，5）又 B 在抛物线上， 5=（0b）2+4b+1=5，解得 b=2， 二次函数的解析是为 y=（x2）2+9， 当 y=0 时，（x2）2+9=0，解得 x1=5，x2=1， A（5，0） 由图象，得 当 mx+5（xb）2+4b+1 时，x 的取值范围是 x0 或 x5； （3）如图 2， 直线 y=4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于
23、F， A（5，0） ，B（0，5）得 直线 AB 的解析式为 y=x+5， 联立 EF，AB 得 方程组， 解得， 点 E（，） ，F（0，1） 点 M 在AOB 内， 14b+1 0b 当点 C，D 关于抛物线的对称轴对称时，b=b，b=， 19 且二次函数图象开口向下，顶点 M 在直线 y=4x+1 上， 综上：当 0b时，y1y2， 当 b=时，y1=y2， 当b时，y1y2 15. （2018 浙江宁波，第 22 题，10 分） 已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点（1，0） ， （0，） （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将抛物线 y=x2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点
24、，请写出一种平移的方法及平 移后的函数表达式 【解答】解： （1）把（1，0） ， （0，）代入抛物线解析式得：， 解得：， 则抛物线解析式为 y=x2x+； （2）抛物线解析式为 y=x2x+=（x+1）2+2， 将抛物线向右平移一个单位，向下平移 2 个单位，解析式变为 y=x2 16.（2018 浙江舟山，第 23 题，10 分） 已知， 点 M 为二次函数 y= （xb） 2+4b+1 图象的顶点， 直线 y=mx+5 分别交 x 轴正半轴， y 轴于点 A，B （1）判断顶点 M 是否在直线 y=4x+1 上，并说明理由 （2）如图 1，若二次函数图象也经过点 A，B，且 mx+5（
25、xb）2+4b+1，根据图象， 写出 x 的取值范围 （3）如图 2，点 A 坐标为（5，0） ，点 M 在AOB 内，若点 C（，y1） ，D（，y2）都 在二次函数图象上，试比较 y1与 y2的大小 20 【解答】解： （1）点 M 为二次函数 y=（xb）2+4b+1 图象的顶点， M 的坐标是（b，4b+1） ， 把 x=b 代入 y=4x+1，得 y=4b+1， 点 M 在直线 y=4x+1 上； （2）如图 1， 直线 y=mx+5 交 y 轴于点 B， B 点坐标为（0，5）又 B 在抛物线上， 5=（0b）2+4b+1=5，解得 b=2， 二次函数的解析是为 y=（x2）2+9
26、， 当 y=0 时，（x2）2+9=0，解得 x1=5，x2=1， A（5，0） 由图象，得 当 mx+5（xb）2+4b+1 时，x 的取值范围是 x0 或 x5； （3）如图 2， 直线 y=4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F， A（5，0） ，B（0，5）得 直线 AB 的解析式为 y=x+5， 联立 EF，AB 得 21 方程组， 解得， 点 E（，） ，F（0，1） 点 M 在AOB 内， 14b+1 0b 当点 C，D 关于抛物线的对称轴对称时，b=b，b=， 且二次函数图象开口向下，顶点 M 在直线 y=4x+1 上， 综上：当 0b时，y1y2， 当 b=时，y1=y2， 当b时，y1y2
