1、第三节平面向量的数量积及应用举例,总纲目录,教材研读,1.平面向量的数量积,考点突破,2.向量的数量积的性质,3.向量的数量积的运算律,考点二平面向量数量积的应用,考点一平面向量数量积的运算,考点三平面向量与三角函数的综合问题,4.平面向量的数量积的坐标表示,1.平面向量的数量积(1)向量a与b的夹角:已知两个非零向量a,b,过O点作?=a,?=b,则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.当=90时,a与b垂直,记作ab;当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向.(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积),记作ab
2、=|a|b|cos .,教材研读,(3)规定0a=0.(4)一个向量在另一个向量方向上的投影设是a与b的夹角,则|a|cos 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量.(5)ab的几何意义ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.,2.向量的数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)ea=ae=|a|cos .(2)ab?ab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|.当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2.(4)cos =?.(5)|a
3、b|a|b|.,3.向量的数量积的运算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.,4.平面向量的数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=?.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|?|=?,这就是平面内两点间的距离公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则ab?x1x2+y1y2=0.,1.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120,则ab为?()A.10?B.-10?C.10D
4、.-10,D,答案Dab=|a|b|cos 120=54cos 120=20?=-10.故选D.,2.已知|a|=2,|b|=6,ab=-6?,则a与b的夹角为?()A.?B.?C.?D.,D,答案Dcos =?=?=-?.又因为0,所以=?,故选D.,3.设a=(5,-7),b=(-6,t),若ab=-2,则t的值为?()A.-4B.4C.?D.-,A,答案A由ab=-2得,5(-6)+(-7)t=-2,-7t=28,所以t=-4,故选A.,4.在边长为1的等边ABC中,设?=a,?=b,?=c,则ab+bc+ca=?()A.-?B.0C.?D.3,答案A依题意有ab+bc+ca=?+?+?
5、=-?,故选A.,A,5.(2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m=.,2,答案2,解析ab,ab=0,又a=(-2,3),b=(3,m),-6+3m=0,解得m=2.,6.已知平面向量a,b的夹角为?,|a|=2,|b|=1,则|a+b|=.,答案,解析|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=4+2|a|b|cos?+1=4-2+1=3,|a+b|=?.,典例1(1)设四边形ABCD为平行四边形,|?|=6,|?|=4.若点M,N满足?=3?,?=2?,则?=?()A.20B.15C.9D.6(2)(2017课标全国,12,5分)已知ABC是边
6、长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则?(?+?)的最小值是()A.-2B.-?C.-?D.-1,考点一平面向量数量积的运算,考点突破,答案(1)C(2)B,解析(1)依题意有?=?+?=?+?,?=?+?=?-?=?-?,所以?=?=?-?=9.故选C.(2)以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,?则A(-1,0),B(1,0),C(0,?),设P(x,y),取BC的中点D,则D?.,(?+?)=2?=2(-1-x,-y)?=2?=2?.因此,当x=-?,y=?时,?(?+?)取得最小值,为2?=-?,故选B.,方法技巧向量数量积的两种运算方法,1-1(201
7、7陕西西安八校联考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量?在?方向上的投影是?()A.-3?B.-?C.3?D.,答案A依题意得,?=(-2,-1),?=(5,5),?=(-2,-1)(5,5)=-15,|?|=?,因此向量?在?方向上的投影是?=?=-3?,故选A.,A,1-2已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为?()A.-?B.?C.?D.,B,答案B建立如图所示的平面直角坐标系.,考点二平面向量数量积的应用,典例2(1)(2018河南郑州质检)已知平面向量a与b的夹角等
8、于?,若|a|=2,|b|=3,则|2a-3b|=?()A.?B.?C.57D.61(2)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,?),C(3,0),动点D满足|?|=1,则|?+?+?|的最大值是.,命题方向一平面向量模的问题,答案(1)B(2)?+1,解析(1)由题意可得ab=|a|b|cos?=3,所以|2a-3b|=?=?=?=?,故选B.(2)设D(x,y),由?=(x-3,y)及|?|=1,知(x-3)2+y2=1,即动点D的轨迹是以点C为圆心的单位圆.又?+?+?=(-1,0)+(0,?)+(x,y)=(x-1,y+?),|?+?+?|=?.问题转化为圆(x-3)2
9、+y2=1上的点与点P(1,-?)间距离的最大值.圆心C(3,0)与点P(1,-?)之间的距离为?=?,故?的最大值为?+1.即|?+?+?|的最大值是?+1.,典例3(1)(2016课标全国,3,5分)已知向量?=?,?=?,则ABC=?()A.30B.45C.60D.120(2)已知向量a=(1,?),b=(3,m).若向量a,b的夹角为?,则实数m=?()A.2?B.?C.0D.-,命题方向二平面向量的夹角问题,答案(1)A(2)B,解析(1)cosABC=?=?,向量间的夹角的取值范围是0,所以ABC=30,故选A.(2)a=(1,?),b=(3,m),|a|=2,|b|=?,ab=3
10、+?m,又a,b的夹角为?,?=cos?,即?=?,?+m=?,解得m=?.,典例4(1)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足?=2a,?=2a+b,则下列结论正确的是?()A.|b|=1B.abC.ab=1D.(4a+b)?(2)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,则实数k=?()A.-?B.0C.3D.,命题方向三平面向量的垂直问题,答案(1)D(2)C,解析(1)b=?-?=?,|b|=|?|=2,故A错;?=22cos 60=2,即-2ab=2,ab=-1,故B、C都错;(4a+b)?=(4a+b)b=4ab+b2=-4+4=0,(4
11、a+b)?,故选D.(2)2a-3b=(2k-3,-6),由(2a-3b)c,得(2a-3b)c=0,即4k-6-6=0,解得k=3.选C.,规律总结平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角:cos =?,要注意0,.(2)两向量垂直的应用:ab?ab=0?|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有a2=aa=|a|2或|a|=?.|ab|=?=?.若a=(x,y),则|a|=?.,2-1(2017课标全国理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.,答案2,解析由题意知ab=|a|b|cos 60=21?=1
12、,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12.所以|a+2b|=2?.,2-2(2017课标全国,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.,7,答案7,解析a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3),又(a+b)a,(a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7.,2-3若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是 .,答案?,解析2a-3b与c的夹角为钝角,(2a-3b)c0,即(2k-3,-6)(2,1)0,4k-6-60,k3.又若(2a-3b)c,则2k-3=-12,即k=-?.当k=-?时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,即2a-3b与c反向.综上,k的取值范围为?.,典例5已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-?),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x
