1、CT重建的概念传说中的暴力破解法Radon变换傅立叶直接法反投影滤波(卷积)反投影理想与现实有多远?1Projection:CT发出的X射线在某条路径上抵达检测器后采集到的衰减值.Sinogram:所有 q 角度上的projection 数据组成的2D图像.投影及正弦图投影及正弦图（Projection&Sinogram)2在投影过程中投影线始终与t轴保持垂直关系，因此这些投影值所处的坐标位置都应该落在以r为直径构成的圆周上。由此可见，图像中一个特定点,在不同角度下的投影数据对应与正弦图中的一条正弦线。在连续旋转的扫描过程中，特定的病灶在不同角度下产生的投影数据在正弦图中应表现为连续的曲线。如
2、果出现不连续点，则表示数据采集过程中病人发生运动，这样的数据将在重构的图像中造成伪影。3=density of 25=density of 50),(yxxy=density of 0 4),(yxxy=density of 25=density of 50=density of 0 5),(yx第一个 Projectiont)(tP=density of 25=density of 50 6),(yx第一个 Projectiont)(0tPqtq=density of 25=density of 50 q7第二个 Projectiont)(45tPqo45qtq8第三个 Projection
3、to90qtq9tSinogramq下面把整个过程连续演示一下10tSinogramq11tSinogramq12tSinogramq13tSinogramq14tSinogramq15tSinogramq16tSinogramq17tSinogramq18tSinogramq19tSinogramq20tSinogramq21tSinogramq22tSinogramq23tSinogramq24Sinogramq25Sinogramq2627 4个方程,4个末知数,看起来问题解决了.Io IoIoIoI1I2I3I411212342lnlnooIMxIIMxI31334344ln()ln(
4、)ooIMxIIMxI28+对于临床应用,我们至少需要 512*512 pixel 的图像矩阵+因此我们至少需要 264,144 个独立方程式去联立求解图像的分布.看来，传说中的暴力破解法只能做为理论的可能的存在！Io IoIoIoI1I2I3I4291917年 Radon提出:由函数线积分求函数本身的问题dRrpRRgdrf)cos(),(21),(02qqqqLdLyxfRg),(),(qqqsincos:yxRL逆变换：逆变换：30 中心切片定理：二维图像一维投影的傅立叶变换等价于该二维图像傅立叶变换的中心剖面，剖面法线沿投影方向。31每个投影的Fourier变换对应物体的fourier
5、变换中的一条线。也就是说投影数据和物体在频域是一一对应的。如果我们根据投影得到物体中每条线的话，也就重构了整个物体。32由此,傅立叶直接变换法便产生了:34 傅立叶直接变换法在实际中不太适用：中心切片定理不是建立在直角坐标上的，需要做插值，而频域的插值并不是很直接，因为频域的一个点上的误差会扩散到整个时域中。可以理解为不稳定性。3536考虑一个点状物体，对其做平行状地投影。37考虑一个点状物体，对其做平行状地投影。把该点状物的投影值沿着投影线方向均匀地涂抹回去（涂抹到图像上）38考虑一个点状物体，对其做平行状地投影。把该点状物的投影值沿着投影线方向均匀地涂抹回去（涂抹到图像上）当从所有角度（平
6、面内）去反向涂抹该图像时，最终会得到一幅图像39考虑一个点状物体，对其做平行状地投影。把该点状物的投影值沿着投影线方向均匀地涂抹回去（涂抹到图像上）当从所有角度（平面内）去反向涂抹该图像时，最终会得到一幅图像40反投影(Backprojection):把Projection“抹”回去),(yxf),(yxf41),(yxf),(yxf42),(yxf),(yxf经过一圈无限角度的projections43设被测人体体层内器官或组织的衰减系数为f（x，y），X线束扫描时在某一角度上的投影用下式表示为：某一角度的反投影表示为：是投影 沿反方向进行反投影所产生的衰减系数；-函数是筛选因子。将上式全部
7、角度反投影值相加，可得到图像重建的衰减系数分布函数fb（x，y）；4445为了获得真实的密度函数，可以先求出反投影函数的傅立叶变换。在频域中对其加上权重|w|之后求出其逆傅立叶变换。就是我们所要的密度函数了。用这样的方法重建图像当然是可行的，但他还是没有避免计算二维傅立叶变换的问题。两次二维傅立叶变换所花费的时间还是相当长的。46dttjp)2exp(),t()(Pqq),(qF为f(x,y)的Fourier变换的极坐标形式,)(qP),t(qp为关于t的Fourier变换 47通过中心切片定理48通道方向斜变滤波器（Ramp）可见，只要将投影函数p修正为p1，然后在做反投影，就能得到不失真的
8、原始密度函数f（x，y）。49filtered signalconvolution operatorfilter kernelinput signal(projection)dethtj2)(qdpthtg),()()(50)(tPqFilterBackprojection51简单反投影滤波过程滤波反投影521)对某一角度下的投影函数作一维傅里叶变换;2)对1)的变换结果乘上一维权重因子|w|;3)对2)的加权结果作一维逆傅立叶变换；4）用3）中得出的修正过的投影函数做直接反投影；5）改变投影角度，重复1)-4)的过程，直至完成全部180度下的反投影。53前面讲述的滤波反投影建像方法成立(FB
9、P)的一些基本前提：供给建像的数据在成分和几何关系上是理想的。例如：焦点是无限小的,并且轨道是准确的射线光谱是单一的射线是没有宽度的,且每次输出在能量上没有波动检测器也是完全没有大小的,并且可以准确真实的测量投影的值采样几何为平行束,并且这些投影无论是通道方向以及投影方向完全是连续的。图像及投影测量是轴方向上是无限薄的也就是说，从投影数据到输出图像的过程完全是一个数学模型。54什么是现实?焦点是有大小的,并且轨道是不一定是准确的,并且存在非圆轨道射线光谱是相当宽的,同一物质的衰减与能量依赖,并且有散射射线是有宽度的,且每次输出在能量上有波动检测器也是完全有大小的,并且可以不能准确真实的测量投影的值(电子噪声,量子效率随温度变化,辐射损伤,灵敏度不一致等)采样几何为扇(锥)束,并且这些投影无论是通道方向以及投影方向的采样都是有限的。图像及投影测量是轴方向上是有厚度的55
