1、第十七章第十七章 勾股定理勾股定理全章热门考点整合应用全章热门考点整合应用 本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间及其应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系它把直角三角形的的数量关系它把直角三角形的“形形”的特点转化为的特点转化为三边长的三边长的“数数”的关系，是数形结合的典范，是直的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一本章的考点可概括为：形的依据之一本章的考点可概括为：两个概念两个概念，两个定理两个定理，
2、四种方法四种方法，两个应用两个应用1考点考点两个概念两个概念1有下列命题：有下列命题：直角都相等；直角都相等；内错角相等，两直内错角相等，两直 线平行；线平行；如果如果ab0，那么，那么a0，b0；相等相等 的角都是直角；的角都是直角；如果如果a0，b0，那么，那么ab0；两两 直线平行，内错角相等直线平行，内错角相等 (1)和和是互逆命题吗？是互逆命题吗？(2)你能说出你能说出和和的逆命题各是什么吗？的逆命题各是什么吗？(3)请指出哪几个命题是互逆命题请指出哪几个命题是互逆命题概念概念1 互逆命题互逆命题(1)由于由于的题设是的题设是ab0，而，而的结论是的结论是ab0，故，故 不是由不是由
3、交换命题的题设和结论得到的，所以交换命题的题设和结论得到的，所以 和和不是互逆命题不是互逆命题(2)能能的逆命题是：如果的逆命题是：如果a0，b0，那么，那么ab 0.的逆命题是：如果的逆命题是：如果ab0，那么，那么a0，b0.(3)与与，与与分别是互逆命题分别是互逆命题解：解：2下列三个定理中，存在逆定理的有下列三个定理中，存在逆定理的有()个个 (1)有两个角相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形；(2)全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应角相等；(3)同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 A0 B1 C2 D3概念概念2 互逆定理互逆定理C3写出下列各命
4、题的逆命题，并判断是不是互逆定理写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理 (1)全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应边相等；(2)同角的补角相等同角的补角相等解：解：(1)逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等原逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等原 命题与其逆命题都是真命题且都是定理，所以它命题与其逆命题都是真命题且都是定理，所以它 们是互逆定理们是互逆定理(2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一 个角的补角原命题是真命题，但其逆命题是假个角的补角原命题是真命题，但其逆命题是假 命题，所以它们不是互逆定理命题，所以它们不是互逆定理2
5、考点考点两个定理两个定理4如图，在如图，在RtABC中，中，C90，点，点D是是BC上一上一 点，点，ADBD.若若AB8，BD5，求，求CD的长的长定理定理1勾股定理勾股定理解：解：设设CDx，在在RtABC中，有中，有AC2(CDBD)2AB2，整理，得整理，得AC2AB2(CDBD)264(x5)2.在在RtADC中，有中，有AC2CD2AD2，整理，得整理，得AC2AD2CD225x2.由由两式，得两式，得64(x5)225x2，解得，解得x1.4，即即CD的长是的长是1.4.勾股定理反映了直角三角形三边长之间的数量关系，勾股定理反映了直角三角形三边长之间的数量关系，利用勾股定理列方程
6、思路清晰、直观易懂利用勾股定理列方程思路清晰、直观易懂5在在ABC中，中，BCa，ACb，ABc，设，设c为最长边为最长边.当当a2b2c2时，时，ABC是直角三角形；当是直角三角形；当a2b2c2时，时，利用代数式利用代数式a2b2和和c2的大小关系，可以判断的大小关系，可以判断ABC的的 形状形状(按角分类按角分类)(1)请你通过画图探究并判断：当请你通过画图探究并判断：当ABC三边长分别为三边长分别为6，8，9时，时，ABC为为_三角形；当三角形；当ABC三边三边 长分别为长分别为6，8，11时，时，ABC为为_三角形三角形定理定理2勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理解：解：(1)画图略画
7、图略锐角锐角顿角顿角(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当当a2 b2c2时，时，ABC为锐角三角形；当为锐角三角形；当a2b2c2时，时，ABC为钝角三角形为钝角三角形”请你根据小明的猜想完成请你根据小明的猜想完成 下面的问题：当下面的问题：当a2，b4时，最长边时，最长边c在什么范在什么范 围内取值时，围内取值时，ABC是锐角三角形、直角三角形、是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？钝角三角形？解：解：(2)a2b2224220，c为最长边，为最长边，246，4cc2，得，得c220，0c2 ，当当4c2 时，这个三角形是锐角三角形；时，这个三角
8、形是锐角三角形；由由a2b2c2，得，得c220，c2 ，当当c2 时，这个三角形是直角三角形；时，这个三角形是直角三角形；由由a2b220，c2 ，当当2 c6时，这个三角形是钝角三角形时，这个三角形是钝角三角形5555553考点考点四种方法四种方法6如图，长方体的底面相邻两边的长分别为如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和和3 cm，高为高为6 cm，如果用一根细线从点，如果用一根细线从点A开始经过开始经过4个侧面缠个侧面缠 绕一圈到达绕一圈到达B，那么所用细线最短需要多长？如果从点，那么所用细线最短需要多长？如果从点 A开始经过开始经过4个侧面缠绕个侧面缠绕n圈到达点圈到达点B，
9、那么所用细线最短时其长度的平方是那么所用细线最短时其长度的平方是 多少？多少？方法方法1化曲化曲(折折)为直法为直法将长方体的侧面展开，如图所示将长方体的侧面展开，如图所示 因为因为AA13138(cm)，AB6 cm，所以所以AB2AA2AB28262102.所以用一根细线从点所以用一根细线从点A开始经过开始经过4个侧面缠绕一圈到个侧面缠绕一圈到达达B，所用细线最短需要，所用细线最短需要10 cm.如果从点如果从点A开始经过开始经过4个侧面缠绕个侧面缠绕n圈到达点圈到达点B，那么所用细线最短时，那么所用细线最短时，其长度的平方为其长度的平方为(64n236)cm2.解：解：7如图，牧童在如图
10、，牧童在A处放牛，其家在处放牛，其家在B处，处，A，B到河岸到河岸 的距离分别为的距离分别为AC400 m，BD200 m，且，且CD 800 m，牧童从，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在处把牛牵到河边饮水后回家，在 何处饮水所走总路程最短？最短路程是多少？何处饮水所走总路程最短？最短路程是多少？方法方法2对称找点法对称找点法如图，作点如图，作点A关于直线关于直线CD的对称点的对称点A，连接连接AB交交CD于点于点M，连接，连接AM，则在点则在点M处饮水所走的总路程最短，处饮水所走的总路程最短，最短路程为最短路程为AB的长的长 过点过点A作作AHBD交交BD的延长线于点的延长线于点H，在在
11、RtAHB中，中，AHCD800 m，BHBDDHBDACBDAC200400600(m)，由勾股，由勾股定理得定理得AB2AH2BH2800260021 000 000，故故AB1 000 m，所以最短路程为，所以最短路程为1 000 m.解：解：8如图，点如图，点E是正方形是正方形ABCD内一点，连接内一点，连接AE，BE，CE，将，将ABE绕点绕点B顺时针旋转顺时针旋转90到到CBE的的 位置若位置若AE1，BE2，CE3，求求BEC的度数的度数方法方法3旋转法旋转法如图，连接如图，连接EE.由题意可知由题意可知ABE CBE，所以所以CEAE1，BEBE2，ABECBE.又因为又因为A
12、BEEBC90，所以所以CBEEBC90.即即EBE90，则由勾股定理，得，则由勾股定理，得EE28.在在EEC中，中，CE2EE2189CE2.由勾股定理的逆定理可知由勾股定理的逆定理可知EEC90.因为因为EBE90，BEBE，所以所以BEE 45.所以所以BECBEEEEC4590135.解：解：180902-9如图，在如图，在ABC中，中，AB13，BC10，BC边上的边上的 中线中线AD12.求：求：(1)AC的长度；的长度；(2)ABC的面积的面积方法方法4化斜为直法化斜为直法(1)因为因为AD是是BC边上的中线，边上的中线，BC10，所以所以BDCD5.因为因为52122132，
13、所以所以BD2AD2AB2.所以所以ADB90.所以所以ADC90.所以所以AC2AD2CD2169.所以所以AC13.(2)SABC BCAD 101260.解：解：12124两个应用两个应用考点考点10将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶到将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶到地面地面 的的高度为高度为320 cm，在无风的天气里，彩旗自然，在无风的天气里，彩旗自然下垂下垂,如如图图所示求彩旗下垂时最低处离地面的最小所示求彩旗下垂时最低处离地面的最小高高 度度h.(彩旗完全展开时的尺寸彩旗完全展开时的尺寸是是 如如图图所示的长方形所示的长方形)应用应用1 勾股定理的应用勾股定理的应用解
14、：解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，的高度减去彩旗的对角线的长，因为因为120290222 500，所以彩旗的对角线长为所以彩旗的对角线长为150 cm.所以所以h320150170(cm)即彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为为170 cm.11如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我 国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 5 n mile的的A，B两个基地前去拦截，两个基地前去拦截，6 min后同时后同时 到达到达C地将其拦截已知甲巡地将其拦截已知甲巡 逻艇的速度为逻艇的速度为40 n mile/h，乙，乙 巡逻艇的速度为巡逻艇的速度为30 n mile/h，且乙巡逻艇的航向为北偏西且乙巡逻艇的航向为北偏西 37，求甲巡逻艇的航向，求甲巡逻艇的航向应用应用2 判定直角三角形的应用判定直角三角形的应用由题意得由题意得AC400.14(n mile)，BC300.13(n mile)因为因为AB5 n mile，所以，所以AB2BC2AC2.所以所以ACB90.因为因为CBA903753，所以所以CAB37.所以甲巡逻艇的航向为北偏东所以甲巡逻艇的航向为北偏东53.解：解：
