1、第8节 二项分布及正态分布,最新考纲 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.,知 识 梳 理,P(A|B),P(AB)P(A)P(B),相互独立,4.正态分布 (1)XN(，2)，表示X服从参数为_的正态分布. (2)正态分布密度函数的性质 函数图像关于_对称； _决定图像的“胖”“瘦”； P(X)_； P(2X2)_ ； P(3X3)_.,和2,直线x,(0)的大小,68.3%,95.4%,99.7%,微点提醒,1.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是
2、指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A+B)P(A)P(B). 2.若X服从正态分布，即XN(，2)，要充分利用正态曲线的关于直线X对称和曲线与x轴之间的面积为1.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),解析 对于(1)，相互独立事件的发生互不影响，而互斥事件是不能同时发生，故(1)错；对于(2)，只有当A，B为相互独立事件时，公式P(AB)P(A)P(B)才成立；对于(4)，取到红球的个数X服从二项分布. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修23P62讲解引申改编)
3、已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ),答案 B,3.(选修23P64讲解引申改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X2c1)P(Xc3)，则c_.,解析 XN(3，1)，正态曲线关于x3对称，且P(X2c1)P(Xc3)，,4.(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则p( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3,解析 由题意知
4、，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布， 所以D(X)10p(1p)2.4，所以p0.6或p0.4.,答案 B,答案 D,6.(2019合肥联考)已知随机变量XN(1，2)，若P(X0)0.8，则P(X2)_. 解析 随机变量X服从正态分布N(1，2)，正态曲线关于x1对称，P(X2)P(X0)1P(X0)0.2. 答案 0.2,考点一 条件概率,【例1】 (1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)( ),(2)(2019珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历
5、经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( ),答案 (1)B (2)C,(2)设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗). 依题意P(B|A)0.8，P(A)0.9. 根据条件概率公式P(AB)P(B|A)P(A)0.80.90.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 (1)C (
6、2)0.72,考点二 相互独立事件同时发生的概率,(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，,故所求的分布列为,规律方法 求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.,解析 灯泡不亮包括两种情况：四个开关都开，下边的2个都开，上边的2个中有一个开，,答案 C,考点三 独立重复试验与二项分布 【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为
7、(490，495，(495，500，(510，515.由此得到样本的频率分布直方图(如下图).,(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 解 (1)质量超过505克的产品的频率为50.0550.010.3， 所以质量超过505克的产品数量为400.312(件).,(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布.,X的分布列为,Y的分布列为
8、,【训练3】 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人. (1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率； (2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为
9、X，求X的分布列.,所以X的分布列为,考点四 正态分布 【例4】 (1)(2019郑州模拟)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(04)( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2,(2)(2019茂名一模)设XN(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( ) (注：若XN(，2)，则P(X)68.26%，P(2X2)95.44%),A.7 539 B.6 038 C.7 028 D.6 587,解析 (1)因为随机变量服从正态分布N(2，2)，2，得对称轴为x2，P(4)0.8
10、，P(4)P(0)0.2，P(04)0.6. (2)XN(1，1)，1，1. P(X)68.26%， P(0X2)68.26%，则P(1X2)34.13%， 阴影部分的面积为10.34 130.658 7. 向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 0000.658 76 587. 答案 (1)A (2)D,规律方法 (1)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个. (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与
11、x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用： P(Xa)1P(Xa)；P(X)P(X).,【训练4】 设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且XN(800，502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( ) (参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4) A.0.977 2 B.0.682 6 C.0.997 4 D.0.954 4,答案 A,思维升华,易错防范 1.运用公式P(AB)P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立. 2.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.
12、有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.,数据分析三局两胜制的概率问题,1.数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论. 2.教材和考题中涉及到“三局两胜制”的概率计算问题，对于“三局两胜”的比赛赛制其实是有两种：一种是比赛完3局，胜两局的一方获胜；另一种是比赛的一方先获胜两局则比赛结束，两种不同的赛制对于同一问题的概率计算结果是否一样呢？我们可通过教材的习题对此问题进行认识.,【例题】
13、 (选修23P59习题2.2B组1)甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？,解 每局比赛只有两个结果，甲获胜或乙获胜，每局比赛可以看成是相互独立的，所以甲获胜的局数X是随机变量，X服从二项分布.,可以看出采用5局3胜制对甲更有利，由此可以猜测“比赛的总局数越多甲获胜的概率越大”，由此可以看出为了使比赛公平，比赛的局数不能太少.在这个实际问题背景中，比赛局数越少，对乙队越有利；比赛局数越多，对甲队越有利.,拓展延伸 先后参赛对比赛公平性的影响 拓展1 (两方参赛)匣中有3红5黑2白共10个
14、球.现甲、乙二人轮流从匣中取球，甲先取而乙后取；每人每次取一球且取后不放回.按规定先取到红球者获胜，而出现白球时为平局.分别求甲获胜、乙获胜和平局的概率.,解 甲获胜则必为甲先取到了红球，即：甲取到黑球时乙必取黑球，甲取到红球后比赛马上结束，比赛过程中不会取到白球. 记Bi“第i次取到黑球”，Ri“第i次取到红球”.,拓展2 (三方参赛)甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两局为止，此人即为冠军.已知每次比赛双方取胜的概率都是0.5，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率.,解 记事件A，B，C分别为“甲、乙、丙获冠军”，事件Ai，Bi，Ci分别为“第i局中甲、乙、丙获胜”.则,
