1、2019学年湖州高三期末教学质量统一检测卷试题一、选择题1.若集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数不等式的求解方法求出再求并集即可.【详解】易得.故.故选：B【点睛】本题主要考查了指数不等式的求解以及并集的运算,属于基础题型.2.已知复数（为虚数单位），则复数的模（ ）A. 1B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】根据复数模长的性质求解即可.【详解】由题.故选：C【点睛】本题主要考查了模长的性质与运算,属于基础题型.3.已知等差数列的公差为2，若，成等比数列，则（ ）A. -4B. -6C. -8D. -10【答案】B【解析】【分析】把，用和
2、公差2表示，根据，成等比数列，得到解得.【详解】解：因为等差数列的公差为2，若，成等比数列，即解得故选：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，与等比中项的性质，属于基础题.4.实数、满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出可行域,再根据目标函数斜率的几何意义分析即可.【详解】画出可行域,易得的几何意义为到的斜率,又.故或故的取值范围是故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划中斜率的几何意义的方法,属于基础题型.5.若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析
3、】分别求解两个不等式再判断即可.【详解】因为为增函数,故解得,又解得或,故“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查了幂函数与绝对值不等式的求解与充分不必要条件的判断,属于基础题型.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于，两点.若长为5，则的周长是（ ）A. 13B. 18C. 21D. 26【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义求解即可.【详解】易得的周长为.故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义运用,属于基础题型.7.已知离散型随机变量满足二项分布且，则当内增大时，（ ）A. 减小B. 增大C. 先减小后增大D. 先增大后减小【答案】D【解析】【分析】根
4、据的公式关于的函数表达式分析即可.【详解】易得二项分布为关于的二次函数,对称轴为,故当在内增大时先增大后减小.故选：D【点睛】本题主要考查了二项分布中方差的公式运用,属于基础题型.8.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】恰有三个零点则的函数图像有三个交点,再画图分析求解即可.【详解】根据的图像,取绝对值可知如图.当的函数图像有三个交点时分两种情况当直线与抛物线部分相交于三个点时,临界条件分别为过原点时,此时,以及与抛物线相切,此时判别式,故当直线与抛物线部分相交于1个点,与相交于两点,此时临界条件为直线与相切,此时判别式,由图
5、得中,故为临界条件.故此时综上所述, .故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点的问题,需要画出对应的图像分析直线与曲线相切等的临界条件,属于中等题型.9.已知实数，满足，则的最小值是（ ）A. B. C. -1D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意利用与的基本不等式,再转换为含的二次不等式求解即可.【详解】若取最小值,显然异号且.故,即,故,当且仅当分别取时等号成立.故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式以及二次不等式的综合运用,需要注意分析的正负再利用基本不等式,属于中等题型.10.在三棱锥中，为正三角形，设二面角，的平面角的大小分别为，则下面结论正确的是（ ）A. 的值可能
6、是负数B. C. D. 的值恒为正数【答案】D【解析】【分析】作在底面的投影为,再分别作,进而分析的正切值再判断即可.【详解】作在底面的投影,再分别作,设边长为.当在内时,易得分别为.由可得.当无限接近时易得接近0,故C错误.当在外时,不妨设在的延长线构成的角内.易得分别为.由可得.且当无限接近时易得接近,故B错误.综上,A也错误.故选：D【点睛】本题主要考查了二面角的分析,需要画图理解,表达出对应的二面角的平面角,再根据平面内任一点到正三角形三边的距离关系求解分析,同时也要有极限的思想分析二面角的范围问题.属于难题.二、填空题11.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为_，表
7、面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】易得该图形为正方体截去一个三棱柱再计算体积与表面积即可.【详解】画出对应的直观图五棱柱.(1)易得体积为.(2)表面积故答案为：56；【点睛】本题主要考查了根据三视图求解原几何体的体积与表面积的问题,需要画出对应的图像进行分析求解,属于中等题型.12.二项式的展开式中常数项等于_，有理项共有_项.【答案】 (1). 15 (2). 4【解析】【分析】(1)根据二项式定理的通项公式求解即可.(2)根据二项式定理的通项公式分析的指数为整数的项的个数即可.【详解】(1)根据二项式定理通项公式.故取常数项时.此时常数项为.(2)当取有理项时, 整
8、数.此时.故共有4项.故答案为：(1). 15 (2). 4【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用,属于中等题型.13.已知直线与椭圆的相交于，两点，则的最小值为_；若，则实数的值是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】(1)联立直线与椭圆的方程求解弦长公式的表达式再分析最小值即可.(2)根据弦长公式求解参数即可.【详解】联立,故.故弦长.(1)故当时有最小值.(2)若则,故.故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系中的弦长公式,属于中等题型.14.设三边，所对的角分别为，.若，则_，的最大值是_.【答案】 (1). -2 (2). 【解析】【分析】
9、化简成正余弦的关系式,再利用余弦定理与正弦定理化简求解即可.【详解】(1)(2)由(1),故,因为故为锐角.故.故答案为：(1). -2 (2). 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的运用,同时也考查了基本不等式的运用,需要根据题意将正切函数化简为正弦与余弦的表达式,进而想到边角的互化以及余弦定理的公式,属于中等题型.15.现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是_.【答案】【解析】【分析】根据题意可先求5个小球排成一列的总共情况数,再减去同一色相邻与同两色相邻的情况得出相同颜色的球都不相邻的情况总数,再求概率即
10、可.【详解】由题意,5个不同的小球全排列为,同一色的有种,同二色的有种情况.故同一颜色的小球不相邻的排列总数有种.故相同颜色的球都不相邻的概率是.故答案为：【点睛】本题主要考查了排列组合的综合运用,求事件的对立情况即可.属于中等题型.16.对任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】分析】化简求得关于的不等式,再分析所得的的不等式与区间的关系列式求解即可.【详解】由,因为的两根分别为,且恒成立.故恒成立即在上恒成立,故.故实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数表达式恒成立的问题,包括含参数的不等式的求解以及分类讨论的思想等.属于中等题型.17.正方形的边长
11、为2，分别为，的中点，点是以为圆心，为半径的圆上的动点，点在正方形的边上运动，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】先将转化为关于的向量表达式,再数形结合分析最值即可.【详解】易得,当且仅当同向时取等号.即考虑的最小值即可.当与重合时, .当与不重合时,设夹角为,由图易得当在上时取最小值为,当在时, 取最大值为,故,利用向量模长不等式有,且两次“” 不能同时取“=”.故此时.综上所述, 的最小值是.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的综合运用,需要根据题意找到定量关系进行化简再分析.属于难题.三、解答题18.已知函数.（1）求的值和的最小正周期；（2）设锐角的三边，所对的角分别为，且，求的
12、取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式与辅助角公式将化简为，进而求得的值和的最小正周期即可.（2）根据(1)与可得，再利用正弦定理转化为求三角函数的范围即可.【详解】由题.（1）,.（2），所以，利用正弦定理，解得，所以，由于，解得，所以，所以，综上可得的取值范围是.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.19.如图，三棱锥中，.（1）求证：；（2）若二面角的大小为且时，求的中线与面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】(1) 取中
13、点,连,证明平面即可.(2) 由(1)在平面内作,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面角的正弦值或直接利用向量的关系求解即可.【详解】（1）证明：取中点,连,平面,且,平面,又平面,.（2）由（1）知是二面角的平面角,又由平面知平面平面,所以在平面内作,则面,可建如图坐标系,又易得,故中由余弦定理可得,于是可得各点坐标为,又平面的一个法向量为,所以直线与面所成角的正弦值.法二：由（1）知是二面角的平面角,.作于,则由平面知平面,且,又易得,故在中由余弦定理可得,.又为中点,所以到平面的距离.因为,.所以直线与面所成角的正弦值.【点睛】本题主要考查了异面直线垂直的证明以及利用空间直角坐标系或
14、向量的方法求解线面角的方法,属于中等题型.20.已知是数列的前项和，已知且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若，求正整数的最小值.【答案】（1）（2）1010【解析】【分析】(1)利用累乘法或构造常数列求解再求解的通项公式即可.(2)利用裂项相消的方法求解前项和,再分析求正整数的最小值即可.【详解】（1）解析1：（累乘法）由,所以时,又也成立,所以,所以当时,又也成立,所以.解析2：（配凑常数数列）,故为常数列,即,所以,所以当时,又也成立,所以.解析3：（直接求）,所以,两式相减可得,又因为,所以,即当时,当也成立,故.（2）解析（裂项相消）：由上题可知,所以,所以,故的
15、最小值为1010.【点睛】本题主要考查了利用数列前项和与通项的关系求解通项公式的方法,同时也考查了裂项相消的应用与数列不等式的方法等.属于中等题型.21.已知点是抛物线：的焦点，直线与抛物线相切于点，连接交抛物线于另一点，过点作的垂线交抛物线于另一点.（1）若，求直线的方程；（2）求三角形面积的最小值.【答案】（1），（2）16【解析】【分析】(1)求得,再设直线的方程,联立抛物线方程令二次方程求解即可.(2)设切线的方程为,根据,三点共线求得,再化简求得到直线的距离,进而表达出三角形面积,再利用基本不等式的方法求最小值即可.【详解】（1）由得,设直线的方程为,由得,因为直线与抛物线相切,故,
16、解得.故所求直线的方程,即.（2）设切线的方程为,又由,三点共线,故,化简可得,由得,因为直线与抛物线相切,故,即,故直线的方程为,因此点到直线的距离为,由得,故,所以等号成立当且仅当,即时等号成立.此时三角形面积的最小值为16.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,同时也考查了抛物线中的三角形面积公式,需要根据题意设点,根据联立方程的韦达定理求得对应的点的关系,再表达出面积公式,根据面积公式的类型利用基本不等式求解等.属于难题.22.已知函数，.（1）求证：在上单调递增；（2）若关于的方程在区间上有三个零点，求实数的值；（3）若对任意的，恒成立（为自然对数的底数），求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2），（3）【解析】【分析】(1)求导后分析导函数的正负得单调性即可.(2)求导后分析的单调性,进而根据在区间上有三个零点数形结合求解即可.(3)根据的单调性求得关于的表达式,进而分析最值求解即可.【详解】（1）,故在上单调递增.（2）,令,故当,即在上单调递减；在上单调递增.,若在区间上有三个零点,则,.（3）在上单调递减；在上单调递增.故,令,故,因为,设则,故为增函数,又.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与最值,进而分析函数零点的问题的方法等,同时也考查了分类讨论的思想,属于难题.
