1、绝密 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷,文)本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第卷1至2页,第卷3至5页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B)
2、.圆柱的体积公式V=Sh,其中S表示圆柱的底面面积,h表示圆柱的高.棱锥的体积公式V=13Sh,其中S表示棱锥的底面面积,h表示棱锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2019天津,文1)设集合A=-1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xR|1x3,则(AC)B=()A.2B.2,3C.-1,2,3D.1,2,3,4命题点集合的运算.解题思路先求AC,再求(AC)B.解析AC=1,2,(AC)B=1,2,3,4,故选D.答案D2.(2019天津,文2)设变量x,y满足约束条件x+y-20,x-y+20,x-1,y-1,则目标函数z=-4x+y的最大值
3、为()A.2B.3C.5D.6命题点线性规划.解题思路画出可行域,平移目标函数,确定最大值.解析画出可行域如图,平移目标函数z=-4x+y可知过点A时取得最大值,由x=-1,x-y+2=0,得A(-1,1).zmax=-4(-1)+1=5.故选C.答案C3.(2019天津,文3)设xR,则“0x5”是“|x-1|1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件命题点绝对值不等式,充分必要条件.解题思路求解绝对值不等式,根据集合的包含关系确定充分必要条件.解析由|x-1|1可得0x2.故“0x5”是|x-1|1的必要而不充分条件.故选B.答案B4.(2019
4、天津,文4)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为()A.5B.8C.24D.29命题点程序框图.解题思路根据题意,模拟程序框图的运行过程,可得输出结果.解析i=1,为奇数,S=1;i=2,为偶数,S=1+221=5;i=3,为奇数,S=8;i=4,此时44,满足要求,输出S=8.故选B.答案B5.(2019天津,文5)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为()A.cbaB.abcC.bcaD.calog24=2.b=log38log391.又c=0.30.21,故cb0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点)
5、,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5命题点抛物线方程、双曲线性质.解题思路由抛物线方程求得准线方程,利用|AB|=4|OF|列方程求解.解析由抛物线方程可得l的方程为x=-1.由y=bax,x=-1,得y1=-ba.由y=-bax,x=-1,得y2=ba.AB=2ba.由|AB|=4|OF|得2ba=4,故ba=2.ca2=a2+b2a2=5a2a2.e=5,故选D.答案D7.(2019天津,文7)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)是奇函数,且f(x)的最小正周期为,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若
6、g4=2,则f38=()A.-2B.-2C.2D.2命题点三角函数的图象及性质.解题思路先求函数解析式,再求值.解析已知函数为奇函数,且|1.若关于x的方程f(x)=-14x+a(aR)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为()A.54,94B.54,94C.54,941D.54,941命题点函数的零点,分段函数.解题思路分别画出函数图象,利用有两个相异点确定a的范围.解析当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=54.当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=94.故当54a94时,有两个相异点.当x1时,f(x0)=-1x02=-14,x0=2.此时切点为2,12,此时a=1
7、.故选D.答案D第卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2019天津,文9)i是虚数单位,则5-i1+i的值为.命题点复数的运算.解题思路先用复数的除法化简,再求模.解析5-i1+i=(5-i)(1-i)2=4-6i2=2-3i.5-i1+i=4+9=13.答案1310.(2019天津,文10)设xR,使不等式3x2+x-20成立的x的取值范围为.命题点一元二次不等式.解题思路分解因式,求解.解析由3x2+x-20,得(x+1)(3x-2)0.解得-1x0,y0,x+2y=4,则(x+
8、1)(2y+1)xy的最小值为.命题点基本不等式.解题思路先化简,利用xy的范围求解.解析(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.x+2y=4,422xy,2xy4.1xy12.2+5xy2+52=92.答案9214.(2019天津,文14)在四边形ABCD中,ADBC,AB=23,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BDAE=.命题点解三角形,平面向量数量积.解题思路利用平行及EA=EB,求出EB=EA=2,将BDAE转化为已知的边角求解.解析ADBC,且DAB=30,ABE=30.EA=EB,EAB=30.AEB=120.
9、在AEB中,EA=EB=2,BDAE=(BA+AD)(ABBE)=-BA2+BABE+ADAB+ADBE=-12+232cos 30+523cos 30+52cos 180=-22+6+15=-1.答案-1三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(2019天津,文15)(本小题满分13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(
10、1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.解(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6910,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,
11、B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种.由表格知,符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F,共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=1115.点评本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.16.(2019天津,文16)(本小题满分13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)
12、求cos B的值;(2)求sin2B+6的值.解(1)在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)由(1)可得sin B=1-cos2B=154,从而sin 2B=2sin Bcos B=-158,cos 2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+6=sin 2Bcos 6+cos 2Bsin 6=-15832-7812=
13、-35+716.点评本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.17.(2019天津,文17)(本小题满分13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PCD为等边三角形,平面PAC平面PCD,PACD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH平面PAD;(2)求证:PA平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.(1)证明连接BD,易知ACBD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GHPD.又因为GH平面PAD,PD平面PAD,所以GH平面PAD.(
14、2)证明取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DNPC,又因为平面PAC平面PCD,平面PAC平面PCD=PC,所以DN平面PAC,又PA平面PAC,故DNPA.又已知PACD,CDDN=D,所以PA平面PCD.(3)解连接AN,由(2)中DN平面PAC,可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=3,又DNAN,在RtAND中,sinDAN=DNAD=33.所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.点评本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.18
15、.(2019天津,文18)(本小题满分13分)设an是等差数列,bn是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.(1)求an和bn的通项公式;(2)设数列cn满足cn=1,n为奇数,bn2,n为偶数,求a1c1+a2c2+a2nc2n(nN*).解(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.依题意,得3q=3+2d,3q2=15+4d.解得d=3,q=3,故an=3+3(n-1)=3n,bn=33n-1=3n.所以,an的通项公式为an=3n,bn的通项公式为bn=3n.(2)a1c1+a2c2+a2nc2n=(a1+a3+a5+a2n-1)+(a2b
16、1+a4b2+a6b3+a2nbn)=n3+n(n-1)26+(631+1232+1833+6n3n)=3n2+6(131+232+n3n).记Tn=131+232+n3n,则3Tn=132+233+n3n+1,-得,2Tn=-3-32-33-3n+n3n+1=-3(1-3n)1-3+n3n+1=(2n-1)3n+1+32.所以,a1c1+a2c2+a2nc2n=3n2+6Tn=3n2+3(2n-1)3n+1+32=(2n-1)3n+2+6n2+92(nN*).点评本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.19.(2019天津,
17、文19)(本小题满分14分)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B,已知3|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方程.解(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有3a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12.所以,椭圆的离心率为12.(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故椭圆方程为x24c2+y23c2=1,由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=34(x+c).点P的坐标满足
18、x24c2+y23c2=1,y=34(x+c),消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-13c7.代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.因为点P在x轴上方,所以Pc,32c.由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).因为OCAP,且由()知A(-2c,0),故t4=32cc+2c,解得t=2.因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得34(4+c)-21+(34)2=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.点评本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算
19、求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.20.(2019天津,文20)(本小题满分14分)设函数f(x)=ln x-a(x-1)ex,其中aR.(1)若a0,讨论f(x)的单调性;(2)若0ax0,证明3x0-x12.(1)解由已知,f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=1x-aex+a(x-1)ex=1-ax2exx.因此当a0时,1-ax2ex0,从而f(x)0,所以f(x)在(0,+)内单调递增.(2)证明由(1)知,f(x)=1-ax2exx.令g(x)=1-ax2ex,由0a0,且gln1a=1-aln 1a21a=1-ln 1a20,故g(x)=0在(0,+)内有
20、唯一解,从而f(x)=0在(0,+)内有唯一解,不妨设为x0,则1x0g(x0)x=0,所以f(x)在(0,x0)内单调递增;当x(x0,+)时,f(x)=g(x)x1时,h(x)=1x-11时,h(x)h(1)=0,所以xx-1.从而fln 1a=lnln 1a-aln 1a-1eln 1a=lnln 1a-ln 1a+1=hln 1af(1)=0,所以f(x)在(x0,+)内有唯一零点.又f(x)在(0,x0)内有唯一零点1,从而,f(x)在(0,+)内恰有两个零点.由题意,f(x0)=0,f(x1)=0,即ax02ex0=1,ln x1=a(x1-1)ex1,从而ln x1=x1-1x02ex1-x0,即ex1-x0=x02ln x1x1-1.因为当x1时,ln xx01,故ex1-x0x02(x1-1)x1-1=x02,两边取对数,得lnex1-x0ln x02,于是x1-x02ln x02.点评本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.
