1、2021年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)文科一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021全国甲文1)设集合M=1,3,5,7,9,N=x|2x7,则MN=()A.7,9B.5,7,9C.3,5,7,9D.1,3,5,7,9命题意图本题考查集合的交集运算,考查运算求解能力.解析BM=1,3,5,7,9,N=x|x72,MN=5,7,9.故选B.2.(2021全国甲文2)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的
2、是()A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间命题意图考查频率分布直方图,用样本估计总体,考查数据分析与处理能力.解析C该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)1=6%,A正确;该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)1=10%,B正确;该地农户家庭年收入的平均值为0.023+0.044+0.15+0.146+0.
3、27+0.28+0.19+0.110+0.0411+0.0212+0.0213+0.0214=7.68,C不正确;该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率为(0.1+0.14+0.2+0.2)1=64%,D正确.3.(2021全国甲文3)已知(1-i)2z=3+2i,则z=()A.-1-32iB.-1+32iC.-32+iD.-32-i命题意图考查复数的运算,考查运算求解能力.解析B由题意得z=3+2i(1-i)2=3+2i-2i=-1+32i.4.(2021全国甲文4)下列函数中是增函数的为()A.f(x)=-xB.f(x)=23xC.f(x)=x2D.f(x)=3x命题意图本
4、题考查函数的单调性,考查了学生的直观想象、数形结合的能力.解析D借助函数的图形可知,对于A,函数单调递减,不合题意;对于B,根据指数函数的性质可知函数单调递减,不合题意;对于C,函数在定义域内没有单调性,不合题意;对于D,根据幂函数的性质可知,函数在其定义域内为增函数,符合题意.故选D.5.(2021全国甲文5)点(3,0)到双曲线x216-y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.45命题意图本题考查双曲线的几何性质,考查了学生的数形结合及基本运算能力.解析A由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为|33-40|32+(
5、-4)2=95.故选A.6.(2021全国甲文6)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(10101.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6命题意图考查函数模型,指数、对数的运算及应用,考查数学建模及运算求解能力.解析C由题意L=5+lg V,当L=4.9时,有4.9=5+lg V,lg V=-0.1,V=1100.1=1101011.2590.8.7.(2021全国甲文7)在一个正方体中
6、,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是()正视图命题意图考查三视图,考查空间想象能力.解析D由题意还原该正方体的直观图如图所示,该多面体的三视图中,相应的侧视图为D.8.(2021全国甲文8)在ABC中,已知B=120,AC=19,AB=2,则BC=()A.1B.2C.5D.3命题意图本题考查用余弦定理解三角形,考查了学生的基本运算能力.解析D设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-22xcos 120,解得x=3或x=-5(舍).故选D.9.(2021全国甲文9)记Sn为等比数列an的前n项和.若S2=
7、4,S4=6,则S6=()A.7B.8C.9D.10命题意图本题考查了学生的基本运算能力及数学探究与创新能力.解析A设等比数列的公比为q,由题意知q1.根据等比数列的性质可知,S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),S2=4,S4=6,(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.10.(2021全国甲文10)将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为()A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8命题意图本题考查了学生的逻辑推理能力、分析问题与解决问题能力.解析C将3个1和2个0随机排成一行,共有11100,00111,01110,1101
8、0,11001,10110,10011,10101,01101,01011,10种排法,2个0不相邻的排法共有01110,11010,10110,10101,01101,01011,6种排法,故所求的概率为610=0.6,故选C.11.(2021全国甲文11)若0,2,tan 2=cos2-sin,则tan =()A.1515B.55C.53D.153命题意图本题考查三角恒等变换,考查逻辑推理能力、数学运算能力.解析A由题意sin2cos2=cos2-sin,2sincos1-2sin2=cos2-sin,因为0,2,所以cos 0,所以2sin1-2sin2=12-sin,解得sin =14
9、,则cos =1-142=154,所以tan =1515.12.(2021全国甲文12)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f-13=13,则f53=()A.-53B.-13C.13D.53命题意图本题考查函数的奇偶性与周期性,考查了学生的抽象思维及逻辑思维能力.解析Cf(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).f(x+1)=f(-x),f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,则f53=f2-13=f-13=13.故选C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021全国甲文13)若向量a,b满足
10、|a|=3,|a-b|=5,ab=1,则|b|=.命题意图本题考查平面向量模的运算,考查了学生的基本运算能力.解析32由|a-b|2=a2-2ab+b2,得25=9-21+|b|2,解得|b|=32.14.(2021全国甲文14)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30,则该圆锥的侧面积为.命题意图本题考查圆锥体积与侧面积的计算,考查了学生的空间想象能力及基本运算能力.解析39设圆锥的高为h,母线长为l,则1362h=30,解得h=52,则l=62+h2=132,所以圆锥的侧面积为6132=39.15.(2021全国甲文15)已知函数f(x)=2cos(x+)的部分图象如图所示,则f2=.命题
11、意图本题考查三角函数性质及应用,考查了学生的读图识图能力及分析问题与解决问题的能力.解析-3设f(x)的最小正周期为T,由图形可知,34T=1312-3,则T=,所以=2.由2cos136+=2,得=-6+2k,kZ,所以f(x)=2cos2x-6,则f2=2cos56=-3.16.(2021全国甲文16)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为.命题意图本题考查椭圆的标准方程、几何性质,考查逻辑推理、数学运算能力.解析8由题意得a=4,b=2,c=23,则|PQ|=|F1F2|=43.|
12、OQ|=|OF1|=|OF2|=23,QF1QF2,即四边形PF1QF2为矩形.|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48,|QF1|QF2|=12(|QF1|+|QF2|)2-(|QF1|2+|QF2|2)=8,即四边形PF1QF2的面积为8.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)(2021全国甲文17)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床
13、各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828 .命题意图本题考查了统计与概率中的独立性检验,考查数据分析与数学运算能力.解(1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为150200=34;乙机床生产的产品中一级品的频率为120200=35
14、.(2)由题意K2的观测值k=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400(15080-12050)220020027013010.2566.635.所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.(12分)(2021全国甲文18)记Sn为数列an的前n项和,已知an0,a2=3a1,且数列Sn是等差数列.证明:an是等差数列.命题意图本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式,考查逻辑推理能力、数学的运算求解能力.证明Sn是等差数列,a2=3a1,S2-S1=4a1-a1=a1,即数列Sn的公差为a1.Sn=S1+(n-1)a1=na1,即Sn=n2
15、a1.当n2时,Sn=n2a1,Sn-1=(n-1)2a1,则an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,当n=1时,由an=(2n-1)a1得a1=(21-1)a1=a1,an=(2n-1)a1,nN*,an是等差数列.19.(12分)(2021全国甲文19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BFA1B1.(1)求三棱锥F-EBC的体积;(2)已知D为棱A1B1上的点,证明:BFDE.命题意图本题考查空间几何体中线线垂直、空间几何体的体积,考查直观想象与数学运算能力.(1)解在直三棱柱ABC-
16、A1B1C1中,BB1A1B1,BFA1B1,BB1BF=B,BB1,BF平面BCC1B1,A1B1平面BCC1B1.ABA1B1,AB平面BCC1B1,ABBC.AB=AC,AC=22+22=22,CE=2=BE.CF=12CC1=12AB=1,V三棱锥F-EBC=13SEBCCF=1312221=13.(2)证明如图,连接A1E,取BC中点M,连接B1M,EM.E,M分别为AC,BC中点,EMAB.又ABA1B1,A1B1EM,则点A1,B1,M,E四点共面,故DE平面A1B1ME.又在侧面BCC1B1中,FCBMBB1,FBM=MB1B.又MB1B+B1MB=90,FBM+B1MB=90
17、,BFMB1.又BFA1B1,MB1A1B1=B1,MB1,A1B1平面A1B1ME,BF平面A1B1ME,BFDE.20.(12分)(2021全国甲文20)设函数f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点,求a的取值范围.命题意图本题考查利用导数研究函数的单调性及函数交点问题,考查逻辑推理与数学运算能力.解(1)f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,x(0,+),f(x)=2a2x+a-3x=2a2x2+ax-3x=(ax-1)(2ax+3)x.a0,x0,2ax+3x0,当x0,1a时,f(x)0,函数f(
18、x)在0,1a上单调递减,在1a,+上单调递增.(2)y=f(x)的图象与x轴没有公共点,函数f(x)在(0,+)上没有零点,由(1)可得函数f(x)在0,1a上单调递减,在1a,+上单调递增,f1a=3-3ln1a=3+3ln a0,ln a-1,a1e,即实数a的取值范围是1e,+.21.(12分)(2021全国甲文21)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OPOQ,已知点M(2,0),且M与l相切.(1)求C,M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与M相切,判断直线A2A1与M的位置关系,并说明理由.命题意图本题
19、考查抛物线方程、直线与圆的位置关系,考查逻辑推理与数学运算能力.解(1)由题意设抛物线的标准方程为y2=2px,p0,当x=1时,y2=2p,y=2p.OPOQ,2p=1,即2p=1,抛物线的标准方程为y2=x,M的方程为(x-2)2+y2=1.(2)设A1(a2,a),A2(b2,b),A3(c2,c).lA1A2:y-a=1a+b(x-a2),即x-(a+b)y+ab=0,直线A1A2与M相切,|2+ab|1+(a+b)2=1.lA1A3:y-a=1a+c(x-a2)x-(a+c)y+ac=0,直线A1A3与M相切,|2+ac|1+(a+c)2=1.b,c是方程|2+ax|1+(a+x)2
20、=1,即(a2-1)x2+2ax-a2+3=0的两根.又lA2A3:x-(b+c)y+bc=0,圆心(2,0)到直线lA2A3的距离d=|2+bc|1+(b+c)2=2+3-a2a2-11+-2aa2-12=|a2+1|a4+2a2+1=1.d与M的半径相等,即直线A2A3与M相切.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(10分)【选修44:坐标系与参数方程】(2021全国甲文22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=22cos .(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)
21、设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足AP=2 AM,写出P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.命题意图本题考查极坐标与参数方程、轨迹的参数方程,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力.解(1)由2=22cos ,得x2+y2=22x,即(x-2)2+y2=2.(2)设P(x,y),M(x0,y0),由AP=2 AM,得(x-1,y)=2(x0-1,y0),即x0=2x2+1-22,y0=2y2,又点M在C上,所以22x-322+12+22y2=2,即(x+2-3)2+y2=4.则C1是以(3-2,0)为圆心,2为半径的圆,所以C1的参数方程为x=3-2+2cos,
22、y=2sin,02.两圆的圆心分别为(2,0),(3-2,0),半径分别为2和2,两圆心的距离是3-22,半径之差为2-2,显然3-222-2,所以两圆内含,两圆没有公共点.23.(10分)【选修45:不等式选讲】(2021全国甲文23)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象;(2)若f(x+a)g(x),求a的取值范围.命题意图本题考查绝对值不等式,考查逻辑推理、数学运算能力.解(1)f(x)=x-2,x2,2-x,x2;g(x)=-4,x-32,4x+2,-32x12,4,x12.(2)取临界状态,设Q(x,0),P1
23、2,4,令0-4x-12=1,解得x=-72,即过点P,Q的直线斜率是1.由函数f(x)=|x-2|知f(x+a)=|x+a-2|=|x-(2-a)|,函数f(x+a)=|x-(2-a)|的图象的对称轴是直线x=2-a.当2-a-72,即a112时,f(x+a)g(x)成立.所以a112,+.2021年高考数学甲卷(文)查缺补漏表题型题号考查要点学科能力学科素养查缺补漏选择题1集合的基本运算(交集)、一元一次不等式的解法运算求解能力数学运算2利用频率分布直方图求频率及估计样本的平均数数据处理能力数据分析3复数的乘法、除法运算运算求解能力数学运算4基本函数的图象和单调性数形结合能力直观想象5双曲
24、线的几何性质及点到直线的距离运算求解能力数学运算6对数与指数的相互转化运算阅读理解能力、运算求解能力数学运算7空间几何体三视图的正视图与侧视图抽象概括能力、空间想象能力直观想象8解三角形中余弦定理的应用运算求解能力数学运算9等比数列求和公式及等比数列的性质运算求解能力及探究创新能力数学运算10古典概型的概率问题分析问题与解决问题的能力数学抽象、数学运算11同角三角函数关系及二倍角公式运算求解能力数学运算12抽象函数的奇偶性与周期性抽象思维能力、逻辑思维能力及运算求解能力数学抽象、数学运算及逻辑推理填空题13向量模的运算运算求解能力数学运算14圆锥的体积与侧面积空间想象能力、运算求解能力直观想象
25、、数学运算15三角函数的图象及周期读图识图能力、分析问题与解决问题的能力逻辑推理、数学运算16椭圆的定义及几何性质数学探究与创新能力、运算求解能力直观想象、数学运算解答题17频率及独立性检验数据处理能力、运算求解能力数据分析、数学运算18Sn与an的关系及等差数列的判定推理论证能力、运算能力逻辑推理、数学运算19空间几何体的体积及线面垂直、线线垂直的证明空间想象能力、逻辑推理能力逻辑推理、直观想象及数学运算20应用导数研究函数的单调性、求参数的取值范围数形结合能力、运算求解能力逻辑推理、数学运算21求抛物线与圆的方程及直线与圆的位置关系推理论证能力、运算求解能力逻辑推理、数学运算22极坐标与参
26、数方程运算求解能力直观想象、数学运算23不等式的解法、恒成立问题运算求解能力直观想象、逻辑推理【试卷评析】2021年全国甲卷文科数学,突出对基础知识(约占45%)以及主干内容的考查,如函数与导数(27分),立体几何(22分),解析几何(22分),概率统计(22分),数列(17分),三角函数与解三角形(15分).1.注重基础,考查考生的基础知识和基本技能,实现了对学生学过的知识全面覆盖,对基础知识、基本方法、基本运算、基本能力的全面考查,如第1,2,3,4,5,8,9,13,14题等.2.试卷以重点知识构建试题的主体,选材寓于教材又高于教材,立意轻巧灵活又朴实无华,立足基础知识又突出能力的考查,
27、让数学思想方法贯穿试卷的始终,如第6题、第11题、第16题.3.强调数学应用,强化数学思想.试卷通过设置应用题来考查学生应用数学知识的能力,如第17题.通过创设问题情境使考生在新的环境中实现知识迁移,创造性地解决问题,考查学生学习潜能十分明显.如第7题.试卷对数学思想的考查突出体现在数形结合的思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想等.4.注重知识网络交汇处命题.命题思路清晰,考点设置合理,试题叙述简洁,更好地体现了在知识网络的交汇点处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内的命题指向,多视点、多角度、多层次地考查了学生学习所具备的数学素养和潜能.如第21题、第22题.5.突出了数学学科特色,彰显数学实际应用的特点.数学学科的主要特点是对数学语言的学习与应用,试题较好地贯彻和体现了数学简洁、严谨、全面、细致的学科特点及考查学生对数学语言的正确理解与规范使用及解决实际问题的能力.
