1、2021 年“云教金榜”年“云教金榜”N+1 联考摸底测试卷联考摸底测试卷 文科数学文科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合1,2,3,4,5,6A，280Bxx，则AB（ ） A1,2,3,4 B1,23， C56， D456， ， 2若复数z满足3 4i1 iz ，则z （ ） A 71 i 55 B 71 i 2525 C 11 i 2525 D 71 i 55 3某校校刊有 5 名学生编辑，其中 3 名男生，2 名女生现从中随机选出 2 人参加一个交流活动那么选 取的 2 人中，恰好是一名男生和一名女生的概率为（ ） A 3 5 B 2 5
2、C 3 10 D 1 2 4某学校的环保志愿者小组为了研究本校同学家庭用电情况，在全校学生家庭中抽取了 100 户进行调查， 发现这些家庭的月用电量都在50400kW h之间， 并画出了如下的频率分布直方图 则这 100 户家庭中， 月用电量在250300kW h之间的户数为（ ） A7 B14 C16 D28 5已知 1 2 1 log 5 a ， 3 log 5b ， 2 3 5c ，则a，b，c的大小关系为（ ） Aacb Bcba Cabc Dbac 6已知曲线e ln x yx在点1,0处的切线方程为（ ） Aeeyx B1yx Ce1yx D 11 ee yx 7 已知抛物线 2
3、4yx的焦点F是双曲线 22 22 1 xy ab 的右焦点， 抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A， B两点若ABF是等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A 22 1 34 xy B 22 1 43 xy C 22 1 34 77 xy D 22 1 43 77 xy 8执行如图所示的程序框图，则输出的S的值等于（ ） A21 B27 C30 D31 9在正四面体ABCD中，点M，N，P，Q分别为线段AB，BC，CD，DA的中点，则下列命题错 误 的是（ ） A M，N，P，Q四点共面 B/AC平面MNP CMNNP DBC 平面MNP 10已知， 0, 4 ，且 1 sin 3 ， 1 co
4、s 2 3 ，则cos的值为（ ） A 23 27 B 17 27 C 23 27 D 17 27 11已知函数 2sinf xx（0，0,2）的部分图象如图所示，其中 03f， 7 2 18 f ，则下列关于 f x的说法中正确的是（ ） f x的最小正周期为； f x在区间 2 , 99 上单调递增； f x的图象关于直线 13 18 x 轴对称； f x在区间0,内恰有 3 个零点 A B C D 12 记m a x , a b表示a，b中的较大者， 则函数 max sin ,cosf xxx在,上的图象大致为 （ ） A B C D 二、填空题：把答案填写在答题卡中的横线上 13 已知
5、点A是单位圆 22 1xy上的一个动点， 点B的坐标为1,0， 点C的坐标为2,1， 则B A A C 的最大值为_ 14若实数x，y满足约束条件 220, 210, 20, xy xy xy 则3zxy的最小值为_ 15 如图， 在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中， 点P是边AB的中点， 则 11 PABC的体积为_ 16如图，在ABC中，点D是边BC上一点，且4AB ，2BD ， 11 cos 16 B ， 6 cos 4 C ，则 sinDAC的值为_ 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 （一）必考题： 17已知各项均为正数的等比数列 n a满足
6、 312 aa a， 432 2aaa （）求数列 n a的通项公式； （）求数列 2 log nn aa的前n项和 18 某学校的一个社团想要组织一项活动， 为了了解本校高中生对于这项活动的支持态度是否与性别有关， 他们做了一个调查从本校高中生中随机调查了男、女生各 50 人，并将男、女生中持支持和不支持的态度 的人所占的频率绘制成等高条形图，如图所示 （）根据等高条形图填写下面的列联表 支持 不支持 合计 男生 女生 合计 （）根据（）中列联表，能否有95%的把握认为男、女生对这项活动的支持态度有差异？ 附： 2 2 n adbc K abcdacbd 2 P Kk 0.1 0.05 0.
7、01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19如图，在圆锥PO中，底面圆O的半径为 2，线段AB是圆O的直径，顶点P到底面的距离为2 3， 点C在底面圆周上， 二面角PAC O的正切值为2 3， 点M和点N分别为线段PB和线段AC的中点 （）求证：平面PAC 平面PNO； （）求直线CM和平面ABC所成角的大小 20已知离心率为 3 2 的椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）经过点2,0A经过点 6 ,0 5 T 的直线l与 椭圆C交于点P，Q （）求椭圆的方程； （）若APQ的面积为 16 25 ，求直线l的方程 21已知函数
8、 2 2 2 1 lnfxxax x （）当1a 时，求 f x的单调区间和极值； （）若对于任意的正实数x，有 2f x ，求实数a的取值范围 （二）选考题：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑注 意：所做题目必须与所涂题号一致如果多做，则按所做的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为 22 1 94 xy ，点P的坐标为2,3，过点P的直线l，其参数 方程为 2cos, 3sin xt yt （t为参数） 直线l与椭圆C交于A，B两点 （）若 4 ，求AB的长； （）若直线 l 也经过点
9、P，其倾斜角与l的倾斜角互补，且 l 与椭圆C交于C，D两点，求证： PA PBPCPD 23 【选修 45：不等式选讲】 已知函数 82f xxxa （）当2a时，求不等式 16f x 的解集； （）若对于任意的实数x，总有 f xx，求实数a的取值范围 2021 年“云教金榜”年“云教金榜”N+1 联考摸底测试卷联考摸底测试卷 文科数学参考答案及评分细则文科数学参考答案及评分细则 一、选择题 1B 【解析】由已知可得4Bx x，所以1,2,3AB，故选 B 2B 【解析】由已知可得 1 i34i1 i71 i 34i252525 z ，故选 B 3A 【解析】所有可能的情况数通过枚举可知为
10、 10，满足要求的情况数通过枚举可知为 6，因此所求概 率为 63 105 ，故选 A 4B 【解析】可得月用电量在250300kW h之间的户数为0.0028 50 100 14，故选 B 5 B 【解析】 2 log 52a ， 333 1log 3log 5log 92， 即12b， 2 0 3 551c ， 因此cba， 故选 B 6A 【解析】 1 eln x yx x ，所以 1 e x y ，而 1 0 x y ，所以切线方程为eeyx，故选 A 7C 【解析】如图，由已知可得1OF ，进而可得 4 3 3 AFBF， 2 22 7 23 AF OAOF ，故 2 2 7 1 3
11、 b a ，所以 2 2 4 3 b a ，由1c，可得 2 3 7 a ， 222 4 7 bca，故选 C 8C 【解析】执行程序后，S依次得到：0，2，246，6 8 14 ，14 1630，故选 C 9D 【解析】/MQ NP，故 A 正确；/AC MN，故 B 正确；由于ACBD，所以MNNP，故 C 正确；由于MN不垂直于BC，所以 D 不正确故选 D 10A 【解析】coscos22cos 2cos2sin 2sin2，由已知可得 2 2 cos 3 ，故 4 2 sin22sincos 9 ， 2 7 cos21 2sin 9 ，又由， 0, 4 可得 02，故 2 2 sin
12、 2 3 ，所以 714 22 223 cos 939327 ，故选 A 11D 【解析】由已知可得 3 ， 73 182 ，解得3，所以 2sin 3 3 f xx ，由此可 得最小正周期为 2 3 ，所以不正确 f x在 , 18 9 单调递减，所以不正确，而和是正确的，故 选 D 12C 【解析】画出sinyx和cosyx的图象，根据图象观察即可得到所求函数图象另外，也可以 进行分类讨论： 当 3 , 4 x 时，cossinxx， 故 s i nf xx； 当 3 , 44 x 时，cossinxx， 故 cosf xx；当 , 4 x 时，cossinxx，故 sinf xx，故选
13、C 二、填空题 132 1 【解析】设cos ,sinA，故cos1,sinBA，2cos ,1 sinAC，所以 22 coscos2sinsin2sin1 4 BA AC ，故最大值为2 1 142 【解析】如图，作出约束条件 220, 210, 20 xy xy xy 的可行域，当直线3zxy经过点2,0时，取得 最小值 2 15 1 12 【解析】 1111 111 1 3412 P A BCCA BP VV 16 10 4 【解析】 在ABD中， 222 2cosADABBDAB BDB， 可得3AD 又由余弦定理， 可得 1 cos 4 ADB ，进而可得 15 sin 4 ADB
14、在ADC中，sinsinDACADCC， 由 此 可 得sinsincoscossinDACADCCADCC， 由 已 知 可 得 10 sin 4 C ， 代 入 可 得 10 sin 4 DAC 三、解答题 17 解：（） 设数列 n a的公比为q 由 312 aa a， 可得 1 aq； 由 432 2aaa， 可得 2 20qq 因 为 1 0a ，0q ，故可得 1 2aq所以，数列 n a的通项公式为2n n a （n N） （）由（）有 2 log n an记 2 log nnn caa，则2n n cn 记 n c的前n项和为 n S，则 2 1 22 22n n Sn ， 两
15、边乘以 2，可得 231 21 22 2122 nn n Snn ， 两式相减，得 21 2222 nn n Sn ， 故可得 1 2 1 2 2 1 2 n n n Sn ，整理得 1 1 22 n n Sn 18解： （）根据等高条形图得到下面的列联表： 支持 不支持 合计 男生 18 32 50 女生 26 24 50 合计 44 56 100 （）根据（）中列联表，可得 2 2 10018 2432 26 50 50 44 56 K ， 计算得 2 200 77 K 因为 200 2.63.841 77 ，因此没有充分的证据推断“男、女生对这项活动的支持态度 无明显差异”不成立，也就是
16、说可以认为男、女生对这项活动的支持态度无明显差异 19 （）证明：由PAPC，OAOC，点N为AC中点，可得ACPN，ACON，故AC 平 面PNO，所以平面PAC 平面PNO （）解：取OB中点Q，连接MQ和CQ因为M为PB中点，故/MQ PO 又因为PO平面ABC，故MQ 平面ABC， 所以MCQ记为CM与平面ABC所成角，且tan MQ MCQ CQ 由前可得 1 3 2 MQPO下面求CQ的长 由（）可得PNO为二面角PAC O的平面角，故由已知有tan2 3PNO 又因为PO平面AOC，ON 平面AOC，所以POON，故2 3 PO ON 由已知2 3PO ，可得1ON ，故在RtA
17、NO中，可得30OAN， 进而可得60ABC，2BC 在QBC中，1QB ，2BC ，60ABC， 由余弦定理可得3CQ 故 3 tan1 3 MCQ，所以45MCQ， 即直线CM和平面ABC所成角的大小为45 20解： （）由已知可得2a又因为 3 2 c e a ，故可得3c ，进而由 222 bac可得1b所 以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （）设直线l的方程为 6 5 xmx（显然直线0y 不合题意） ，点P的坐标为 11 ,x y，点Q的坐标为 22 ,x y 由已知可得 12 116 225 APQ SATyy ，因为 64 2 55 AT ，故 12 8 5 yy 联立直
18、线和椭圆方程 2 2 6 , 5 1, 4 xmy x y 消去x，整理得 22 2510060640mymy 因此 12 2 12 520 m yy m ， 12 2 64 25100 y y m 由 2 22 121212 8 4 5 yyyyy y ，将上式代入其中， 整理，可得 2 2 2 2564 4 4 m m ，即 42 470mm，解得0m 所以直线l的方程为 6 5 x 21解： （）当1a 时， 2 2 2 1 lnf xxx x 由此可得 2 2 21 lnfxxx xx 令 2 2 1 lng xxx x ，显然 10g 42 3 22 0 xx gx x ，因此 g
19、x在0,单调递增，进 而可得当0,1x时， 0fx；当1,x时， 0fx，即 f x的单调递减区间为0,1，单 调递增区间为1,，有极小值为 12f，没有极大值 （）由已知可得 2 2 21 lnfxxax xx ，显然 10 f ，且 12f 令 2 2 1 lnh xxax x ，故 42 3 22xax h x x ， 0,x 当0a时， 0h x当 2 4220a 时，即4,4a 时， 0h x这时 h x在0,单调 递增，由 10h，可得当0,1x时 0h x ，从而 0fx； 当1,x时， 0h x ，从而 0fx由此可得 f x在0,1单调递减，在1,单调递增， 故0,x ， 1
20、2f xf，所以当,4a 时符合题意 当4,a时 ， 由 0h x可 得 42 220 xax， 2 2 16 0,1 4 aa x ， 或 2 2 16 1, 4 aa x 记对应大于 0 的两个解为 1 x和 2 x，其中 1 0,1x ， 2 1,x 当 2 1,xx时， 0h x，可得 h x在 2 1,x单调递减，故 10h xh，因此 0fx，进而可 得 f x在 2 1,x单调递减，因此当 2 1,xx时， 12f xf，不合题意 综上所述，若对于任意的正实数x总有 2f x ，则实数a的取值范围是,4 22 （）解：将 2cos, 3sin, xt yt 代入椭圆方程，整理得
21、22 5sin416cos54sin610tt 当 4 时，即为 2 1370 21220tt，解得 1 70 224 6 26 t ， 2 70 224 6 26 t ，故 12 24 6 13 ABtt （）证明：由可得 12 2 61 5sin4 t t ，由 12 PA PBt t，可得 2 61 5sin4 PAPB 对于直线 l ，其倾斜角为，其参数方程为 2cos , 3sin xt yt （t为参数） ， 同理可得 22 6161 5sin45sin4 PCPD ，所以PA PBPCPD 23解： （）当2a时， 821f xxx 当1x时， 310f xx由 16f x ，解
22、得2x，故这时有2,1x ； 当18x时， 6f xx由 16f x ，解得10 x，故这时有1,8x； 当8x 时， 310f xx由 16f x ，解得 26 3 x ，故这时有 26 8, 3 x 综上所述，当2a时，不等式 16f x 的解集为 26 2, 3 （）当16a时，由已知可得 38, 2 8,8, 2 38,8. a xax a f xxax xax 因此，当 2 a x 时，38xax 成立，即48ax成立，由此可得48 2 a a ，解得8a 当8 2 a x时，8xax 成立，即8a 当8x 时，38xax 成立，即28ax，由此可得2 8 88a 所以，当16a时，可得a的取值范围是,8 当16a时，88 2222 aaaa f ，不合题 综上所述，a的取值范围是,8
