1、重庆理科数学试题卷(理工农医类)共5页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.特别提醒:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出
2、的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013重庆,理1)已知全集U=1,2,3,4,集合A=1,2,B=2,3,则U(AB)=(). A.1,3,4B.3,4C.3D.4答案:D解析:AB=1,2,3,而U=1,2,3,4,故U(AB)=4,故选D.2.(2013重庆,理2)命题“对任意xR,都有x20”的否定为().A.对任意xR,都有x20B.不存在xR,使得x20C.存在x0R,使得x020D.存在x0R,使得x020答案:D解析:全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题),故选D.3.(2013重庆,理3)(3-a)(a+6)(-6a3)的最大值为().A.9B.92C.3
3、D.322答案:B解析:方法一:(3-a)(a+6)=-a2-3a+18=-a+322+814,因为-6a3,所以当a=-32时取得最大值814=92.方法二:-6a3,3-a0,a+60.而(3-a)+(a+6)=9,由基本不等式得:(3-a)+(a-6)2(3-a)(a+6),即92(3-a)(a+6),(3-a)(a+6)92,当且仅当3-a=a+6,即a=-32时取等号.4.(2013重庆,理4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为().A.2,5B.5,5C.5,8D.8
4、,8答案:C解析:由甲组数据中位数为15,可得x=5;而乙组数据的平均数16.8=9+15+(10+y)+18+245,可解得y=8.故选C.5.(2013重庆,理5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.5603B.5803C.200D.240答案:C解析:由几何体的三视图可得,该几何体是一个横放的直棱柱,棱柱底面为梯形,梯形两底长分别为2和8,高为4,棱柱的高为10,故该几何体体积V=12(2+8)410=200,故选C.6.(2013重庆,理6)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间().A.(a,
5、b)和(b,c)内B.(-,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+)内D.(-,a)和(c,+)内答案:A解析:由题意ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0.显然f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点,故选A.7.(2013重庆,理7)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为().A.52-4B.17-1C.6-22D.17答案:A解析:圆C1,C2的圆心分别为C1,C2,由题意知|PM|PC1|-1,|PN|PC2|
6、-3,|PM|+|PN|PC1|+|PC2|-4,故所求值为|PC1|+|PC2|-4的最小值.又C1关于x轴对称的点为C3(2,-3),所以|PC1|+|PC2|-4的最小值为|C3C2|-4=(2-3)2+(-3-4)2-4=52-4,故选A.8.(2013重庆,理8)执行如图所示的程序框图,如果输出s=3,那么判断框内应填入的条件是().A.k6B.k7C.k8D.k9答案:B解析:由程序框图可知,输出的结果为s=log23log34logk(k+1)=log2(k+1).由s=3,即log2(k+1)=3,解得k=7.又不满足判断框内的条件时才能输出s,条件应为k7.9.(2013重庆
7、,理9)4cos 50-tan 40=().A.2B.2+32C.3D.22-1答案:C解析:4cos 50-tan 40=4sin40cos40-sin40cos40=2sin80-sin40cos40=2sin100-sin40cos40=2sin(60+40)-sin40cos40=232cos40+212sin40-sin40cos40=3.10.(2013重庆,理10)在平面上,AB1AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|12,则|OA|的取值范围是().A.0,52B.52,72C.52,2D.72,2答案:D解析:因为AB1AB2,所以可以A为原点,
8、分别以AB1,AB2所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设B1(a,0),B2(0,b),O(x,y),则AP=AB1+AB2=(a,b),即P(a,b).由|OB1|=|OB2|=1,得(x-a)2+y2=x2+(y-b)2=1.所以(x-a)2=1-y20,(y-b)2=1-x20.由|OP|12,得(x-a)2+(y-b)214,即01-x2+1-y214.所以74x2+y22,即72x2+y22.所以|OA|的取值范围是72,2,故选D.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.(2013重庆,理11)已知复数z=5i1+
9、2i(i是虚数单位),则|z|=.答案:5解析:z=5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2+i,|z|=12+22=5.12.(2013重庆,理12)已知an是等差数列,a1=1,公差d0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=.答案:64解析:由a1=1且a1,a2,a5成等比数列,得a1(a1+4d)=(a1+d)2,解得d=2,故S8=8a1+872d=64.13.(2013重庆,理13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).答案:590解析:方法一
10、:从12名医生中任选5名,不同选法有C125=792种.不满足条件的有:只去骨科和脑外科两科医生的选法有C75=21种,只去骨科和内科两科医生的选法有C85-C55=55种,只去脑外科和内科两科医生的选法有C95-C55=125种,只去内科一科医生的选法有C55=1种,故符合条件的选法有:792-21-55-125-1=590种.方法二:设选骨科医生x名,脑外科医生y名,则需选内科医生(5-x-y)人.(1)当x=y=1时,有C31C41C53=120种不同选法;(2)当x=1,y=2时,有C31C42C52=180种不同选法;(3)当x=1,y=3时,有C31C43C51=60种不同选法;(
11、4)当x=2,y=1时,有C32C41C52=120种不同选法;(5)当x=2,y=2时,有C32C42C51=90种不同选法;(6)当x=3,y=1时,有C33C41C51=20种不同选法.所以不同的选法共有120+180+60+120+90+20=590种.考生注意:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.14.(2013重庆,理14)如图,在ABC中,C=90,A=60,AB=20,过C作ABC的外接圆的切线CD,BDCD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为.答案:5解析:在RtABC中,A=60,AB=20,可得BC=103.由弦切角定
12、理,可得BCD=A=60.在RtBCD中,可求得CD=53,BD=15.又由切割线定理,可得CD2=DEDB,可求得DE=5.15.(2013重庆,理15)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos =4的直线与曲线x=t2,y=t3(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=.答案:16解析:由极坐标方程cos =4,化为直角坐标方程可得x=4,而由曲线参数方程消参得x3=y2,y2=43=64,即y=8,|AB|=|8-(-8)|=16.16.(2013重庆,理16)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|a无解,则实数a的取值范围是.答案:
13、(-,8解析:方法一:设f(x)=|x-5|+|x+3|=2x-2,x5,8,-3x5,-2x+2,x-3,可求得f(x)的值域为8,+),因为原不等式无解,只需a8,故a的取值范围是(-,8.方法二:由绝对值不等式,得|x-5|+|x+3|(x-5)-(x+3)|=8,不等式|x-5|+|x+3|0),f(x)=x-5+6x=(x-2)(x-3)x.令f(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0x3时,f(x)0,故f(x)在(0,2),(3,+)上为增函数;当2x3时,f(x)0,故f(x)在(2,3)上为减函数.由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=92+6ln 2,在x=3处取得
14、极小值f(3)=2+6ln 3.18.(2013重庆,理18)(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分.)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X).解:设Ai表示摸到i个红球,Bj表示摸
15、到j个蓝球,则Ai(i=0,1,2,3)与Bj(j=0,1)独立.(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)=C31C42C73=1835.(2)X的所有可能值为0,10,50,200,且P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=C33C7313=1105,P(X=50)=P(A3B6)=P(A3)P(B6)=C33C7323=2105,P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)=C32C41C7313=12105=435,P(X=0)=1-1105-2105-435=67.综上知X的分布列为X01050200P6743521051105从而有E(X)=067+10435
16、+502105+2001105=4(元).19.(2013重庆,理19)(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分.)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,ACB=ACD=3,F为PC的中点,AFPB.(1)求PA的长;(2)求二面角B-AF-D的正弦值.解:(1)如图,连接BD交AC于O,因为BC=CD,即BCD为等腰三角形.又AC平分BCD,故ACBD.以O为坐标原点,OB,OC,AP的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,则OC=CDcos3=1,而AC=4,得AO=AC-OC=3,又OD=CDsin3=3,故A(0,
17、-3,0),B(3,0,0),C(0,1,0),D(-3,0,0).因PA底面ABCD,可设P(0,-3,z),由F为PC边中点,F0,-1,z2.又AF=0,2,z2,PB=(3,3,-z),因AFPB,故AFPB=0,即6-z22=0,z=23(舍去-23),所以|PA|=23.(2)由(1)知AD=(-3,3,0),AB=(3,3,0),AF=(0,2,3),设平面FAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n1AD=0,n1AF=0,得-3x1+3y1=0,2y1+3z1=0,因此可取n1=(3,3,-2).由n2AB=0,n2AF=0
18、,得3x2+3y2=0,2y2+3z2=0,故可取n2=(3,-3,2).从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos=n1n2|n1|n2|=18,故二面角B-AF-D的正弦值为378.20.(2013重庆,理20)(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分.)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+2ab=c2.(1)求C;(2)设cos Acos B=325,cos(+A)cos(+B)cos2=25,求tan 的值.解:(1)因为a2+b2+2ab=c2,由余弦定理有cos C=a2+b2-c22ab=-2ab2ab=-22,故C=34.(2)由题意得(s
19、insinA-coscosA)(sinsinB-coscosB)cos2=25.因此(tan sin A-cos A)(tan sin B-cos B)=25,tan2sin Asin B-tan (sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=25,tan2sin Asin B-tan sin(A+B)+cos Acos B=25.因为C=34,A+B=4,所以sin(A+B)=22,因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即325-sin Asin B=22,解得sin Asin B=325-22=210.由得tan2-5tan +4=0,解
20、得tan =1或tan =4.21.(2013重庆,理21)(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分.)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=22,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A两点,|AA|=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P,过P,P作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQPQ,求圆Q的标准方程.解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则(-c)2a2+22b2=1.从而e2+4b2=1.由e=22得b2=41-e2=8,从而a2=b21-e2=16.故该椭圆的标准方程为x216+y28=1.(2)
21、由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x02+81-x216=12(x-2x0)2-x02+8(x-4,4).设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-x02.因为PQPQ,且P(x1,-y1),所以QPQP=(x1-x0,y1)(x1-x0,-y1)=0,即(x1-x0)2-y12=0.由椭圆方程及x1=2x0得14x12-81-x1216=0,解得x1=463,x0=x1
22、2=263.从而|QP|2=8-x02=163.故这样的圆有两个,其标准方程分别为x+2632+y2=163,x-2632+y2=163.22.(2013重庆,理22)(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分.)对正整数n,记In=1,2,n,Pn=mkmIn,kIn.(1)求集合P7中元素的个数;(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并.解:(1)当k=4时,mkmI7中有3个数与I7中的3个数重复,因此P7中元素的个数为77-3=46.(2)先证:当n15时,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不
23、然,设A,B为不相交的稀疏集,使AB=PnIn,不妨设1A,则因1+3=22,故3A,即3B.同理6A,10B,又推得15A,但1+15=42,这与A为稀疏集矛盾.再证P14符合要求,当k=1时,mkmI14=I14可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取A1=1,2,4,6,9,11,13,B1=3,5,7,8,10,12,14,则A1,B1为稀疏集,且A1B1=I14.当k=4时,集mkmI14中除整数外剩下的数组成集12,32,52,132,可分解为下面两稀疏集的并:A2=12,52,92,112,B2=32,72,132.当k=9时,集mkmI14中除正整数外剩下的数组成集13,23,43,53,133,143,可分解为下面两稀疏集的并:A3=13,43,53,103,133,B3=23,73,83,113,143.最后,集C=mkmI14,kI14,且k1,4,9中的数的分母均为无理数,它与P14中的任何其他数之和都不是整数,因此,令A=A1A2A3C,B=B1B2B3,则A和B是不相交的稀疏集,且AB=P14.综上,所求n的最大值为14.注:对P14的分拆方法不是唯一的.
