1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国)数学(理科)注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014课标全国,理1)已知集合A=x|x2-2x-30,B=x|-2x0)的一个焦
2、点,则点F到C的一条渐近线的距离为().A.3B.3C.3mD.3m答案:A解析:由题意,可得双曲线C为x23m-y23=1,则双曲线的半焦距c=3m+3.不妨取右焦点(3m+3,0),其渐近线方程为y=1mx,即xmy=0.所以由点到直线的距离公式得d=3m+31+m=3.故选A.5.(2014课标全国,理5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为().A.18B.38C.58D.78答案:D解析:(方法一)由题意知基本事件总数为24=16,对4名同学平均分组共有C42A22=3(种),对4名同学按1,3分组共有C41种,所以周六、周日都
3、有同学参加共有3A22+C41A22=14(种).由古典概型得所求概率为1416=78.(方法二)周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16-2=14(种).故所求概率为1416=78.故选D.6.(2014课标全国,理6)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在0,的图像大致为().答案:C解析:由题意|OM|=|cos x
4、|,f(x)=|OM|sin x|=|sin xcos x|=12|sin 2x|,由此可知C正确.7.(2014课标全国,理7)执行右面的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=().A.203B.72C.165D.158答案:D解析:当a=1,b=2,k=3,n=1时,13,M=1+12=32,a=2,b=32,n=2;23,M=2+23=83,a=32,b=83,n=3;33,M=32+38=158,a=83,b=158,n=4;43,程序结束,输出M=158.8.(2014课标全国,理8)设0,2,0,2,且tan =1+sincos,则().A.3-=2B.3+=2
5、C.2-=2D.2+=2答案:C解析:由已知,得sincos=1+sincos,sin cos =cos +cos sin .sin cos -cos sin =cos .sin(-)=cos ,sin(-)=sin2-.0,2,0,2,-2-2,02-0,则a的取值范围是().A.(2,+)B.(1,+)C.(-,-2)D.(-,-1)答案:C解析:当a=0时,显然f(x)有2个零点,不符合题意;当a0时,f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),易知函数f(x)在(-,0)上单调递增.又f(0)=1,当x-时,f(x)=x2(ax-3)+1-,故不适合题意;当a0就满足题意.由f2a0,
6、得8a2-12a2+10,解得a2(舍去).故a-2.12.(2014课标全国,理12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为().A.62B.6C.42D.4答案:B解析:如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,D1G=(42)2+22=6.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014课标全国,理
7、13)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)答案:-20解析:(x+y)8的通项公式为Tr+1=C8rx8-ryr(r=0,1,8,rZ).当r=7时,T8=C87xy7=8xy7,当r=6时,T7=C86x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x8xy7-y28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.14.(2014课标全国,理14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案:A解析:根据甲、
8、乙、丙说的可列表得ABC甲乙丙15.(2014课标全国,理15)已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为.答案:90解析:由AO=12(AB+AC)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即BAC=90,故AB与AC的夹角为90.16.(2014课标全国,理16)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.答案:3解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)c.a=2,a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=b
9、2+c2-a22bc=12.sin A=32.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.b2+c22bc,即4+bc2bc,bc4.SABC=12bcsin A3,即(SABC)max=3.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014课标全国,理17)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.分析:(1)已知数列an的前n项和Sn与相邻两项an,an+1间的递推关系式anan+1=Sn-1,要证an+2-an=,故考虑利用an
10、+1=Sn+1-Sn消去Sn进行证明.(2)若an为等差数列,则有2a2=a1+a3,故可由此求出,进而由an+2-an=4验证an是否为等差数列即可.解:(1)由题设,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1,两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.(2)由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4.由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,
11、an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.18.(本小题满分12分)(2014课标全国,理18)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利
12、用的结果,求E(X).附:15012.2.若ZN(,2),则P(-Z+)=0.682 6,P(-2Z+2)=0.954 4.分析:(1)利用x=x1p1+x2p2+xnpn求x,利用s2=(x1-x)2p1+(x2-x)2p2+(xn-x)2pn,求s2.(2)由(1)可知,2,则N(,2)可知.将P(187.8Z212.2)进行转化,利用3原则求解.由可知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为p,则100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数X服从二项分布B(100,p),则由E(X)=100p可求E(X).解:(1)抽取产品的质量指标值的样本
13、平均数x和样本方差s2分别为x=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.682 6.由知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6,依题意知XB(100,0.682 6),所以E(X)=1000.682 6=68.26.1
14、9.(本小题满分12分)(2014课标全国,理19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,ABB1C.(1)证明:AC=AB1;(2)若ACAB1,CBB1=60,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.分析:(1)因为侧面BB1C1C为菱形,故考虑利用菱形的性质:对角线互相垂直平分,故连接BC1,不妨设其交B1C于点O,则O为B1C的中点,要证AC=AB1,故只需证B1CAO.又B1CAB,故考虑通过证B1C平面ABO来达到目的.(2)利用空间直角坐标系求解,由(1)知B1OAO,B1OBO.故考虑以O点为坐标原点,以OB的方向为x轴正方向,OB1的方向为y轴正
15、方向,OA的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系,但需证明OBOA,然后分别求出平面AA1B1和平面A1B1C1的法向量n,m,最后利用cos=nm|n|m|求出二面角A-A1B1-C1的余弦值.解:(1)连接BC1,交B1C于点O,连接AO,因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1CBC1,且O为B1C及BC1的中点.又ABB1C,所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO,故B1CAO.又B1O=CO,故AC=AB1.(2)因为ACAB1,且O为B1C的中点,所以AO=CO.又因为AB=BC,所以BOABOC.故OAOB,从而OA,OB,OB1两两互相垂直.以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,
16、|OB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为CBB1=60,所以CBB1为等边三角形.又AB=BC,则A0,0,33,B(1,0,0),B10,33,0,C0,-33,0,AB1=0,33,-33,A1B1=AB=1,0,-33,B1C1=BC=-1,-33,0.设n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则nAB1=0,nA1B1=0,即33y-33z=0,x-33z=0.所以可取n=(1,3,3).设m是平面A1B1C1的法向量,则mA1B1=0,mB1C1=0.同理可取m=(1,-3,3).则cos=nm|n|m|=17.所以二面角A-A1B1-C1的余弦值为17.2
17、0.(本小题满分12分)(2014课标全国,理20)已知点A(0,-2),椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为233,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程.分析:(1)由过A(0,-2),F(c,0)的直线AF的斜率为233或过两点的直线斜率公式可求c,再由e=ca=32,可求a,由b2=a2-c2可求b2,则椭圆E的方程可求.(2)由题意知动直线l的斜率存在,故可设其斜率为k,写出直线方程,并与椭圆方程联立,消去y,整理成关于x的一元二次方程,利用弦长公式求出弦P
18、Q的长|PQ|,利用点到直线的公式求出点O到直线PQ的距离d,则由SOPQ=12|PQ|d,可将SOPQ表示成关于k的函数,转化为求函数f(k)的最大值问题.注意k应使得一元二次方程的判别式大于0.解:(1)设F(c,0),由条件知,2c=233,得c=3.又ca=32,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为x24+y2=1.(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入x24+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当=16(4k2-3)0,即k234时,x1,2=8k24k2-34k2+1.从而|PQ|=k2+1|
19、x1-x2|=4k2+14k2-34k2+1.又点O到直线PQ的距离d=2k2+1,所以OPQ的面积SOPQ=12d|PQ|=44k2-34k2+1.设4k2-3=t,则t0,SOPQ=4tt2+4=4t+4t.因为t+4t4,当且仅当t=2,即k=72时等号成立,且满足0.所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为y=72x-2或y=-72x-2.21.(本小题满分12分)(2014课标全国,理21)设函数f(x)=aexln x+bex-1x,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)1.分析:(1)由已知可得f(1)=e(1-1
20、)+2=2,切线斜率k=e=f(1),由此可求出a,b.(2)由(1)可求f(x),结合不等式的特点将之转化为g(x)h(x)的形式,通过比较g(x)的最小值与h(x)的最大值进行证明.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aexln x+axex-bx2ex-1+bxex-1.由题意可得f(1)=2,f(1)=e.故a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=exln x+2xex-1,从而f(x)1等价于xln xxe-x-2e.设函数g(x)=xln x,则g(x)=1+ln x.所以当x0,1e时,g(x)0.故g(x)在0,1e单调递减,在1e,+单调递增,从而g(x
21、)在(0,+)的最小值为g1e=-1e.设函数h(x)=xe-x-2e,则h(x)=e-x(1-x).所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.请考生在第22,23,24题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2014课标全国,理22)选修41:几何证明选讲如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(1)证明:D=E;(2)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:ADE为等边三角形.分析:(1)由CB=CE可得CBE=E,
22、要证D=E,故只需证CBE=D,利用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可证.(2)由(1)知D=E,要证ADE为等边三角形,只需证A=E,又因为CBE=E,故只需证A=CBE,只需证ADBC,因为已知MB=MC,故考虑利用等腰三角形的三线合一的性质.故取BC的中点N,连接MN,则MNBC,通过证明MNAD来达到证明ADBC的目的.解:(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以D=CBE.由已知得CBE=E,故D=E.(2)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MNBC,故O在直线MN上.又AD不是O的直径,M为AD的中点,故OMAD,即MNAD.所以ADBC,故A=CBE.又CBE=E
23、,故A=E.由(1)知,D=E,所以ADE为等边三角形.23.(本小题满分10分)(2014课标全国,理23)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.分析:(1)利用椭圆x2a2+y2b2=1(a0,b0)的参数方程为x=acos,y=bsin(为参数),写出曲线C的参数方程.消去直线l的参数方程中的参数t可得直线l的普通方程.(2)设出点P的坐标的参数形式.求出点P到直线l的距离d,则|PA|=
24、dsin30.转化为求关于的三角函数的最值问题,利用辅助角公式asin +bcos =a2+b2sin(+)求解.解:(1)曲线C的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为d=55|4cos +3sin -6|,则|PA|=dsin30=255|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =43.当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255.当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255.24.(本小题满分10分)(2014课标全国,理24)选修45:不等式选讲若a0,b0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.分析:(1)因为a3+b32a3b3,故只需求ab的最小值,可利用1a+1b2ab,将1a+1b=ab转化为关于ab的不等式求解.(2)要判断是否存在a,b,使得2a+3b=6,即转化为求2a+3b的范围,观察6是否在其范围内即可求解.解:(1)由ab=1a+1b2ab,得ab2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b32a3b342,且当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)知,2a+3b26ab43.由于436,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.
