1、绝密 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷)考生注意:1.本场考试时间120分钟.试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名.将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.行列式4125的值为.2.双曲线x24-y2=1的渐近线方程为.3.在(1+x)7
2、的二项展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示).4.设常数aR,函数f(x)=log2(x+a).若f(x)的反函数的图像经过点(3,1),则a=.5.已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|=.6.记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.7.已知-2,-1,-12,12,1,2,3,若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则=.8.在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AEBF的最小值为.9.有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,
3、从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是(结果用最简分数表示).10.设等比数列an的通项公式为an=qn-1(nN*),前n项和为Sn,若limnSnan+1=12,则q=.11.已知常数a0,函数f(x)=2x2x+ax的图像经过点Pp,65,Qq,-15.若2p+q=36pq,则a=.12.已知实数x1,x2,y1,y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=12,则|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2的最大值为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.1
4、3.设P是椭圆x25+y23=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.22B.23C.25D.4214.已知aR,则“a1”是“1a1”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.九章算术中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是()A.4B.8C.12D.1616.设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数.若f(x)的图像绕原点逆时针旋转6后与原图像重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.3
5、B.32C.33D.0三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;(2)设PO=4,OA,OB是底面半径,且AOB=90,M为线段AB的中点,如图,求异面直线PM与OB所成的角的大小.18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)设常数aR,函数f(x)=asin 2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f4=3+1,求方程f(x)=1-2在区间-,上的解.19.(本题
6、满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0x100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=30,0x30,2x+1 800x-90,30x2,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线:y2=8x(0xt,y0).l与x轴交于点 A,与交于点B,P,Q分别是曲线与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP,
7、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)给定无穷数列an,若无穷数列bn满足:对任意xN*,都有|bn-an|1,则称bn与an“接近”.(1)设an是首项为1,公比为12的等比数列,bn=an+1+1,nN*,判断数列bn是否与an接近,并说明理由;(2)设数列an的前四项为a1=1,a2=2,a3=4,a4=8,bn是一个与an接近的数列,记集合M=x|x=bi,i=1,2,3,4,求M中元素的个数m:(3)已知an是公差为d的等差数列.若存在数列bn满足:bn与an接近
8、,且在b2-b1,b3-b2,b201-b200中至少有100个为正数,求d的取值范围.数学(上海卷)1.184125=45-12=18.2.y=12x令x24-y2=0,得x2-yx2+y=0,所以所求渐近线方程为y=12x.3.21由(1+x)7的二项展开式的通项,得(1+x)7的二项展开式的x2项的系数为C72=21.4.7因为互为反函数的函数的图像关于直线y=x对称,所以函数f(x)=log2(x+a)的图像经过点(1,3),所以3=log2(1+a),即1+a=23,解得a=7.5.5(方法一)因为(1+i)z=1-7i,所以z=1-7i1+i=(1-7i)(1-i)2=-3-4i,
9、所以|z|=(-3)2+(-4)2=5.(方法二)因为(1+i)z=1-7i,所以|1+i|z|=|1-7i|,即2|z|=52,解得|z|=5.6.14设an的公差为d,由a3=0,a6+a7=14,得a1+2d=0,a1+5d+a1+6d=14,解得a1=-4,d=2,所以S7=7(-4)+7(7-1)22=14.7.-1因为幂函数f(x)=x为奇函数,所以只能为-1,1,3.又函数f(x)=x在(0,+)上递减,所以=-1.8.-3依题意,设E(0,a),F(0,b),不妨设ab,则a-b=2,AE=(1,a),BF=(-2,b),a=b+2,所以AEBF=(1,a)(-2,b)=-2+
10、ab=-2+(b+2)b=b2+2b-2=(b+1)2-3,故所求最小值为-3.9.15从编号互不相同的五个砝码中随机选取三个,总的结果数为C53=10,其中选取的三个砝码的总质量为9克的有两种,所以所求概率为210=15.10.3由an=qn-1,得an+1=qn.当q=1时,不满足题意;当q1时,Sn=a1(1-qn)1-q=1-qn1-q.若0|q|1,则limnSnan+1=limn1-qn(1-q)qn=limn1(1-q)1qn-1=-11-q=12,解得q=3.11.6f(x)=2x2x+ax的图像经过点P,Q,2p2p+ap=65,2q2q+aq=-15,两式相加,得2p2p+
11、ap+2q2q+aq=1,即2p(2q+aq)+2q(2p+ap)(2p+ap)(2q+aq)=1,化简,得22p+q+a(p2q+q2p)=2p+q+a(p2q+q2p)+a2pq,即2p+q=a2pq=36pq,a2=36.a0,a=6.12.3+2由已知可得点A(x1,y1),B(x2,y2)在单位圆x2+y2=1上.x1x2+y1y2=12,cosAOB=OAOB|OA|OB|=12(O为坐标原点),AOB=3.设A(cos ,sin ),Bcos+3,sin+3,则|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2=|cos+sin-1|2+cos+3+sin+3-12.当点A(x1,y1)
12、,B(x2,y2)在直线x+y-1=0的下方时,x1+y1-12+x2+y2-12取得最大值,|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2=|cos+sin-1|2+cos+3+sin+3-12=12cos+sin-1+cos+3+sin+3-1=12cos+sin-1+12cos-32sin +12sin +32cos-1=1232+32cos+32-32sin-2=36+24cos+6-24sin-2=3sin+512-2,当且仅当+512=32,即=1312时,x1+y1-12+x2+y2-12取得最大值3+2.综上,|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2的最大值为3+2.13.C由椭
13、圆的定义可知,椭圆上的任意点P到两个焦点的距离之和为2a=25,故选C.14.A由1a0,即a-1a0,解得a1.所以当a1时,1a1成立;但是当1a1不一定成立,故“a1”是“1a1”的充分非必要条件,故选A.15.D设正六棱柱为ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,以侧面AA1B1B,AA1F1F为底面矩形的阳马有E-AA1B1B,E1-AA1B1B,D-AA1B1B,D1-AA1B1B,C-AA1F1F,C1-AA1F1F,D-AA1F1F,D1-AA1F1F,共8个,以对角面AA1C1C,AA1E1E为底面矩形的阳马有F-AA1C1C,F1-AA1C1C,D-AA1C1C,D1-AA
14、1C1C,B-AA1E1E,B1-AA1E1E,D-AA1E1E,D1-AA1E1E,共8个,所以共有8+8=16(个),故选D.16.B若f(1)=3,则f(3)=1,f(1)=-3,与函数的定义矛盾,舍去;若f(1)=33,则f233=0,f(1)=-33,与函数的定义矛盾,舍去;若f(1)=0,则f12=32,f12=-32,与函数的定义矛盾,舍去.因此f(1)的可能取值只能是32,故选B.17.解 (1)圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,母线长为4,圆锥的体积V=13r2h=132242-22=833.(2)PO=4,OA,OB是底面半径,且AOB=90,M为线段AB的中点,以O
15、为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),O(0,0,0),PM=(1,1,-4),OB=(0,2,0).设异面直线PM与OB所成的角为,则cos =|PMOB|PM|OB|=|10+12+(-4)0|12+12+(-4)202+22+02=26.=arccos26.异面直线PM与OB所成的角的大小为arccos26.18.解 (1)f(x)=asin 2x+2cos2x,f(-x)=-asin 2x+2cos2x.f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),-asin 2x+2cos2x=asin 2x
16、+2cos2x,2asin 2x=0,a=0.(2)f4=3+1,asin2+2cos24=a+1=3+1,a=3,f(x)=3sin 2x+2cos2x=3sin 2x+cos 2x+1=2sin2x+6+1.f(x)=1-2,2sin2x+6+1=1-2,sin2x+6=-22,2x+6=-4+2k或2x+6=54+2k,kZ,x=k-524或x=k+1324,kZ.x-,x=-1124或-524或1324或1924.所求方程的解为x=-1124或-524或1324或1924.19.解 (1)由题意知,当30x40,即x2-65x+9000,解得x45,当x(45,100)时,公交群体的人
17、均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0x30时,g(x)=30x%+40(1-x%)=40-x10;当30x100时,g(x)=2x+1 800x-90x%+40(1-x%)=x250-1310x+58.所以g(x)=40-x10,0x30,x250-1310x+58,30x100.则g(x)=-110,0x30,125x-1310,30x100.令g(x)=0,即125x-1310=0,解得x=32.5.当0x32.5时,g(x)单调递减;当32.5x100时,g(x)单调递增.说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤
18、时间是递增的;当32.5%的人自驾时,人均通勤时间最少.20.解 (1)(方法一)设B(t,22t),则|BF|=(t-2)2+8t=t+2,|BF|=t+2.(方法二)设B(t,22t),由抛物线的定义可知,|BF|=t+2.(2)由题意,得F(2,0),|FQ|=2,t=3,|FA|=1,|AQ|=3,Q(3,3).设OQ的中点为D,则D32,32,kPF=32-032-2=-3,直线PF的方程为y=-3(x-2).由y=-3(x-2),y2=8x,整理,得3x2-20x+12=0,解得x=23或x=6(舍去),AQP的面积S=1233-23=736.(3)存在.设Py28,y,Em28,
19、m,则kPF=yy28-2=8yy2-16,kFQ=16-y28y,直线QF的方程为y=16-y28y(x-2),yQ=16-y28y(8-2)=48-3y24y,Q8,48-3y24y.FP+FQ=FE,Ey28+6,48+y24y,48+y24y2=8y28+6,解得y2=165.存在以FP,FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在上,且P25,455.21.解 (1)数列bn与an接近.理由:由an是首项为1,公比为12的等比数列,可得an=12n-1,bn=an+1+1=12n+1,则|bn-an|=12n+1-12n-1=1-12n0,取bn=an,可得bn+1-bn=an+1-an=d0,则b2-b1,b3-b2,b201-b200中有200个正数,符合题意;若d=0,取bn=a1-1n,则|bn-an|=a1-1n-a1=1n0,则b2-b1,b3-b2,b201-b200中有200个正数,符合题意;若-2d0,则b2-b1,b3-b2,b201-b200中恰有100个正数,符合题意;若d-2,假设存在数列bn满足:bn与an接近,则为an-1bnan+1,an+1-1bn+1an+1+1,可得bn+1-bnan+1+1-(an-1)=2+d0,b2-b1,b3-b2,b201-b200中没有正数,与已知矛盾.故d-2不符合题意.综上可得,d的取值范围是(-2,+).
