1、绝密 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷,理)本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第卷1至2页,第卷3至5页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B)
2、.如果事件A,B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B).圆柱的体积公式V=Sh,其中S表示圆柱的底面面积,h表示圆柱的高.棱锥的体积公式V=13Sh,其中S表示棱锥的底面面积,h表示棱锥的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2019天津,理1)设集合A=-1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xR|1x3,则(AC)B=()A.2B.2,3C.-1,2,3D.1,2,3,4命题点集合的运算.解题思路先求AC,再求(AC)B.解析AC=1,2,(AC)B=1,2,3,4,故选D.答案D2.(2019天津,理2)设变量x,y满足约束条件x+y-20,x-
3、y+20,x-1,y-1,则目标函数z=-4x+y的最大值为()A.2B.3C.5D.6命题点线性规划.解题思路画出可行域,平移目标函数,确定最大值.解析画出可行域如图,平移目标函数z=-4x+y可知过点A时取得最大值,由x=-1,x-y+2=0,得A(-1,1).zmax=-4(-1)+1=5.故选C.答案C3.(2019天津,理3)设xR,则“x2-5x0”是“|x-1|1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件命题点绝对值及一元二次不等式,充分必要条件.解题思路求解绝对值不等式,一元二次不等式,根据集合的包含关系确定充分必要条件.解析由x2-5
4、x0,得0x5.由|x-1|1,得0x2.故“x2-5x0”是“|x-1|0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5命题点抛物线方程、双曲线性质.解题思路由抛物线方程求得准线方程,利用|AB|=4|OF|列方程求解.解析由抛物线方程可得l的方程为x=-1.由y=bax,x=-1,得y1=-ba.由y=-bax,x=-1,得y2=ba.AB=2ba.由|AB|=4|OF|得2ba=4,故ba=2.ca2=a2+b2a2=5a2a2.e=5,故选D.答案D6.(2019天津,理6)已知a=log52,b=log0.5
5、0.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.acbB.abcC.bcaD.cab命题点指、对数函数的单调性.解题思路利用指、对数函数的单调性与1及12的比较.解析a=log52log0.50.5=1,c=0.50.2=120.2121,bca.故选A.答案A7.(2019天津,理7)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2,且g4=2,则f38=()A.-2B.-2C.2D.2命题点三角函数的图象及性质.解题思路先求函数解析式,再求值.解
6、析已知函数为奇函数,且|1.若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立,则a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e命题点分段函数、恒成立问题.解题思路对a进行讨论,分段恒成立即可.解析(1)当a1时,二次函数的对称轴为x=a.需a2-2a2+2a0.a2-2a0.0a2.而f(x)=x-aln x,f(x)=1-ax=x-ax0.此时要使f(x)=x-aln x在(1,+)上单调递增,需1-aln 10.显然成立.可知0a1.(2)当a1时,x=a1,1-2a+2a0,显然成立.此时f(x)=x-ax,当x(1,a),f(x)0,单调递增.需f(a)=a-aln a0,ln a1
7、,ae,可知10,y0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为.命题点基本不等式.解题思路先化简,利用xy的范围求解.解析(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy22xy6xy=43.当且仅当xy=3xy,即xy=3时等号成立.答案4314.(2019天津,理14)在四边形ABCD中,ADBC,AB=23,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BDAE=.命题点解三角形,平面向量数量积.解题思路利用平行及EA=EB,求出EB=EA=2,将BDAE转化为已知的边角求解.解析ADBC,且DAB=30,ABE=30.E
8、A=EB,EAB=30.AEB=120.在AEB中,EA=EB=2,BDAE=(BA+AD)(ABBE)=-BA2+BABE+ADAB+ADBE=-12+232cos 30+523cos 30+52cos 180=-22+6+15=-1.答案-1三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(2019天津,理15)(本小题满分13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin2B+6的值.解(1)在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得bsin C=c
9、sin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)由(1)可得sin B=1-cos2B=154,从而sin 2B=2sin Bcos B=-158,cos 2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+6=sin 2Bcos 6+cos 2Bsin 6=-15832-7812=-35+716.点评本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦
10、定理等基础知识.考查运算求解能力.16.(2019天津,理16)(本小题满分13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故XB3,23,从而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,
11、3.所以,随机变量X的分布列为X0123P1272949827随机变量X的数学期望E(X)=323=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则YB3,23,且M=X=3,Y=1X=2,Y=0.由题意知事件X=3,Y=1与X=2,Y=0互斥,且事件X=3与Y=1,事件X=2与Y=0均相互独立,从而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=82729+49127=20243.点评本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础
12、知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.17.(2019天津,理17)(本小题满分13分)如图,AE平面ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求证:BF平面ADE;(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F的余弦值为13,求线段CF的长.(1)证明依题意,可以建立以A为原点,分别以AB,AD,AE的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CF=h(h0),则F(1,2,h).依题意,AB=(1,0,0)是平面AD
13、E的法向量,又BF=(0,2,h),可得BFAB=0,又因为直线BF平面ADE,所以BF平面ADE.(2)解依题意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则nBD=0,nBE=0,即-x+y=0,-x+2z=0,不妨令z=1,可得n=(2,2,1).因此有cos=CEn|CE|n|=-49.所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49.(3)解设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量,则mBD=0,mBF=0,即-x+y=0,2y+hz=0,不妨令y=1,可得m=1,1,-2h.由题意,有|cos|=|mn|m|n
14、|=4-2h32+4h2=13,解得h=87,经检验,符合题意.所以,线段CF的长为87.点评本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.18.(2019天津,理18)(本小题满分13分)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜率.解(1)设椭圆的半焦距为
15、c,依题意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为x25+y24=1.(2)由题意,设P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立y=kx+2,x25+y24=1,整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2,代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2,进而直线OP的斜率yPxP=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k2.由OPMN,得4-5k2-10k
16、-k2=-1,化简得k2=245,从而k=2305.所以,直线PB的斜率为2305或-2305.点评本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.19.(2019天津,理19)(本小题满分14分)设an是等差数列,bn是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求an和bn的通项公式;(2)设数列cn满足c1=1,cn=1,2kn2k+1,bk,n=2k,其中kN*.求数列a2n(c2n-1)的通项公式;求i=12naici(nN*).解(1)设等差数列an的公差为
17、d,等比数列bn的公比为q.依题意得6q=6+2d,6q2=12+4d,解得d=3,q=2,故an=4+(n-1)3=3n+1,bn=62n-1=32n.所以,an的通项公式为an=3n+1,bn的通项公式为bn=32n.(2)a2n(c2n-1)=a2n(bn-1)=(32n+1)(32n-1)=94n-1.所以,数列a2n(c2n-1)的通项公式为a2n(c2n-1)=94n-1.i=12naici=i=12nai+ai(ci-1)=i=12nai+i=1na2i(c2i-1)=2n4+2n(2n-1)23+i=1n(94i-1)=(322n-1+52n-1)+94(1-4n)1-4-n=
18、2722n-1+52n-1-n-12(nN*).点评本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.20.(2019天津,理20)(本小题满分14分)设函数f(x)=excos x,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x4,2时,证明f(x)+g(x)2-x0;(3)设xn为函数u(x)=f(x)-1在区间2n+4,2n+2内的零点,其中nN,证明2n+2-xncos x,得f(x)0,则f(x)单调递减;当x2k-34,2k+4(kZ)时,有sin x0,则f(x)单调递增.所以,f(x
19、)的单调递增区间为2k-34,2k+4(kZ),f(x)的单调递减区间为2k+4,2k+54(kZ).(2)证明记h(x)=f(x)+g(x)2-x.依题意及(1),有g(x)=ex(cos x-sin x),从而g(x)=-2exsin x.当x4,2时,g(x)0,故h(x)=f(x)+g(x)2-x+g(x)(-1)=g(x)2-x0.因此,h(x)在区间4,2上单调递减,进而h(x)h2=f2=0.所以,当x4,2时,f(x)+g(x)2-x0.(3)证明依题意,u(xn)=f(xn)-1=0,即exncos xn=1.记yn=xn-2n,则yn4,2,且f(yn)=eyncos yn
20、=exn-2ncos (xn-2n)=e-2n(nN).由f(yn)=e-2n1=f(y0)及(1),得yny0.由(2)知,当x4,2时,g(x)0,所以g(x)在4,2上为减函数,因此g(yn)g(y0)g4=0.又由(2)知,f(yn)+g(yn)2-yn0,故2-yn-f(yn)g(yn)=-e-2ng(yn)-e-2ng(y0)=e-2ney0(sin y0-cos y0)e-2nsin x0-cos x0.所以,2n+2-xne-2nsin x0-cos x0.点评本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.
