1、上海数学(理工农医类)1.(2012上海,理1)计算:=(i为虚数单位).1-2i=1-2i.2.(2012上海,理2)若集合A=x|2x+10,B=x|x-1|0=,B=x|x-1|2=x|-1xa时f(x)单调递增,当xa时,f(x)单调递减,又f(x)在1,+)上是增函数,所以a1.8.(2012上海,理8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面,则该圆锥的体积为.如图,由题意知l2=2,l=2.又展开图为半圆,l=2r,r=1,故圆锥的高为,体积V=r2h=.9.(2012上海,理9)已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=.-1令H(
2、x)=f(x)+x2,则H(1)+H(-1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,f(-1)=-3,g(-1)=f(-1)+2=-1.10.(2012上海,理10)如图,在极坐标系中,过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角=.若将l的极坐标方程写成=f()的形式,则f()=.如图所示,根据正弦定理,有=,=.11.(2012上海,理11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).若每人都选择两个项目,共有不同的选法=27种,而有两人选择的项目完全相同的选法有=18种,故填.12.(2012上海,理12)在平行四
3、边形ABCD中,A=,边AB,AD的长分别为2,1.若M,N分别是边BC,CD上的点,且满足=,则的取值范围是.2,5如图,设=,则0,1,=(+)(+)=(+)(+(-1)=+(-1)+(-1)=12+(-1)(-4)+1+(-1)(-1)=1+4-4+-2+=-(+1)2+6.0,1,2,5.13.(2012上海,理13)已知函数y=f(x)的图像是折线段ABC,其中A(0,0),B,C(1,0).函数y=xf(x)(0x1)的图像与x轴围成的图形的面积为.由题意f(x)=则xf(x)=xf(x)与x轴围成图形的面积为10x2dx+(-10x2+10x)dx=x3+=+-=.14.(201
4、2上海,理14)如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2.若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a,c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是.如图:当AB=BD=AC=CD=a时,该棱锥的体积最大.作AMBC,连接DM,则BC平面ADM,AM=,DM=.又AD=2c,SADM=c.VD-ABC=VB-ADM+VC-ADM=.15.(2012上海,理15)若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则().A.b=2,c=3B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1D.b=2,c=-1B由题意知b2-4c0,则该方程的复数根为:,故=1+i.b=-2
5、,c=3.16.(2012上海,理16)在ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则ABC的形状是().A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定C由正弦定理可知a2+b2c2,从而cos C=0,C为钝角,故该三角形为钝角三角形.17.(2012上海,理17)设10x1x2x3D2B.D1=D2C.D10,而a27=sin=-sin=-a2,a27+a20.同理可得a28+a30,a49+a240,而a51到a74均为正项,a75=0,a76到a99均为负项,且|a76|a51,|a77|a52,|a99|a74,a100=0,故Sn中前100项均为正数.19.(2012上
6、海,理19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:(1)三角形PCD的面积;(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.解:(1)因为PA底面ABCD,所以PACD.又ADCD,所以CD平面PAD.从而CDPD.因为PD=2,CD=2,所以三角形PCD的面积为22=2.(2)解法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(2,2,0),E(1,1).=(1,1),=(0,2,0).设与的夹角为,则cos =,=.由此知,异面直线BC与AE所成的角的大小是.解法二:取PB中点F,连接EF,AF,则EFB
7、C,从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.在AEF中,由EF=,AF=,AE=2,知AEF是等腰直角三角形.所以AEF=.因此,异面直线BC与AE所成的角的大小是.20.(2012上海,理20)已知函数f(x)=lg(x+1).(1)若0f(1-2x)-f(x)1,求x的取值范围;(2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0x1时,有g(x)=f(x),求函数y=g(x)(x1,2)的反函数.解:(1)由得-1x1.由0lg(2-2x)-lg(x+1)=lg1,得10,所以x+12-2x10x+10,-x.由得-x),则直线OM的方程为y=-x.由得所以|ON|2=.同理|OM|
8、2=.设O到直线MN的距离为d,因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,所以=+=3,即d=.综上,O到直线MN的距离是定值.23.(2012上海,理23)对于数集X=-1,x1,x2,xn,其中0x1x22,且-1,1,2,x具有性质P,求x的值;(2)若X具有性质P,求证:1X,且当xn1时,x1=1;(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列x1,x2,xn的通项公式.解:(1)选取a1=(x,2),Y中与a1垂直的元素必有形式(-1,b).所以x=2b,从而x=4.(2)证明:取a1=(x1,x1)Y.设a2=(s,t)Y满足a1a2=0.由(
9、s+t)x1=0得s+t=0,所以s,t异号.因为-1是X中唯一的负数,所以s,t之中一为-1,另一为1,故1X.假设xk=1,其中1kn,则0x11tx1,矛盾;若t=-1,则xn=sx1qk-1,所以xk+1=qk.综上所述,xi=qi-1,i=1,2,n.解法二:设a1=(s1,t1),a2=(s2,t2),则a1a2=0等价于=-.记B=,则数集X具有性质P,当且仅当数集B关于原点对称.注意到-1是X中的唯一负数,B(-,0)=-x2,-x3,-xn共有n-1个数,所以B(0,+)也只有n-1个数.由于,已有n-1个数,对以下三角数阵,所以=,从而数列的通项为xk=x1=qk-1,k=1,2,n.
